数列的概念二B提高练（解析版）

4.1数列的概念（1）・B提高练

一、选择题

1+atl

1.在数列｛《J中，4=-2,/+1=1〃，则限一（)

1-凡

1

A.—2B.—C.--D.3

32

【答案】A

1+CI11

=~

【详解】•・•《一2,。加一，•♦a)~,a?=~，%=3,a5=-2

1一4

・•・该数列是周期数列，周期7=4.又2021=505x4+1,=4=-2,故选：A.

2.已知数列｛4｝,它的前〃项和5“=（〃+1）2,则4的值为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【详解】tz6=S6-S5=49-36=13,故选：A

3.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）

A.%+i=an+小neTV*B.an=an_x+njiwN”,〃N2

C.a.]=〃“+(〃+22D.an=%-1),〃£N*,〃22

【答案】B

【详解】结合图象易知，4=1,。2=3=%+2,a3=6=a2+3,t/4=10=+4.

4.数列｛〃“｝的％=1,"=(〃,%)出=(《用,〃+1),且5J_B，则％oo=<)

100100

A.——B.----C.I(X)D.-100

9999

【答案】D

【详解】因为&_LB，所以〃〃向+5+1）勺=0,即4

an+l

a,1%2区=_399

—―=--....-=--佝9

所以loo

4,2d3为4“100

1

所以」x—^X」X…X—=一■-X(—―)X(—―)X.••X(

出6，。侬234Too

a.1

所以---二一右，又6=1所以q0G=700.故选：D

。⑼100

2%，0«/4；3

5.（多选题）若数列｛q｝满足%“=，4=£，则数列｛4｝中的项的值可能为（）

2^.5

【答案】ABC

3

【详解】数列｛〃“｝满足心q=§,依次取〃=1,2,3,4,…代入计算得,

2^-1=-,%=24=2,4=2小=±3

%=2%-1=5=4,因此继续下去会循环，数

5^5^5

1234

列｛q｝是周期为4的周期数歹J,所有可能取值为:一，一,一.故选：ABC.

5

6.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,

5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列（m｝

称为“斐波那契数列”，记S,为数列｛〃〃｝的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.。8=34B.§8=54C.52020=42022—1D.0+43+05+…+。2021=42022

【答案】BCD

【详解】对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A错误；

对于B,S8=14-1+2+3+5+8+13+21=54.故B正确；对于C,可得q=。川一。“」（〃之2）,

则%+的+%+%+…+q=q+（%-4）+3一％）+3一%）+…+（4+「%）

即5“=一出+%+%=4+2T，/•52020=出022-1，故C王确;

对于D,由4=4+1-4_](〃22)可得,

4+4+%+・一+旬21=%+(《一%)+(4-4)+・一+(42022一心2o)=〃2O22,故D正确.

二、填空题

7.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且S“=/+4,•，则%=

5,〃二1

【答案】《

2/?-1,/?>2

【详解】因为数列｛4,｝的前〃项和为S“，且S“=1+4,，

22

当〃之2时，an=S“-S“7=n+4-(/?-1)-4=2/7-1：

°f5,/z=1

又q=S|=「+4=5不满足上式，所以〃eN”.

2/2-1,/?>2

[n-\,n=2k

8.在数列｛《』中，凡二<”o./若，则加=

【答案】8

【详解】当〃？为偶数时，由4M4"=凤川得3"~><(6+1)=3〃山，解得m二8符合;

当加为奇数时，由。吁M”=4z得(利一l+l)x3'"=(/〃+1+1),即3"'=1+—

m

2

令X=3',y2=\+-,在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示:

22

由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程3"'=1+—只有•个根，且夕=1+一,所以由

mI

2

3M=1+—得>=1,由。吁⑼”川可知加22,所以〃z=l不满足题意.综上，加=8.

m

9.已知数列｛4｝的通项公式为4=会1,前几项和为工，则S“取得最小值时〃的值为

【答案】8

【详解】令为=」^之()，解得〃<3或〃之一，「.当〃<30寸，^n>0,S”单调递增,

2//-172

当时，q<0,S“单调递减，当〃之8时，。“>0,S〃单调递增，所以S“取得最小值时〃

的值为8.

10.被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况卜一年后可长成成兔，

再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，

则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被

称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔

子数列｛/｝：£=g=1，£=EI+《T（〃>2）,若将数列｛匕｝的每一项除以2所得的余数按

原来项的顺序构成新的数列｛%｝，则数列｛〃“｝的前2020项和为.

【答案】1347

【详解】由题意可得优｝=｛1,1,2,3,5,8』3,21,34,…｝,所以数列｛4｝=｛1,1,0,1,1,0J1Q…｝,

所以数列｛q｝是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1,所以数列｛4｝的前2020项

和为2x673+1=1347.

三、解答题

11.在数列｛斯｝中,。1=2,。”+1=斯+111（1+；），求

【详解】由题意，得知+is=ln誓，

・：a”-a”-i=ln~3（〃22）,

H-1

.2

42必=叱，

•:当w>2时，%---...-）=ln・：4产2+ln〃（论2）.

n-ln-21

当w=l时,ai=2+hi1=2,符合上式,

-a“=2+ln

12.设数列｛4｝的前〃项和为S”，且方程々J—q二。有一根为s“一=

（1）求外、a2；

（2）求数列｛4｝的通项公式.

2

【解析】（1）〃=1时，x—a]x—al=0^一根S]—1=4-1,

于是（4_1了_4（q_1）-q=0,解得6=：•

〃=2H寸，f—生工一生二0有一根S2-1=。2一万，

于是~a2^a2~~^~a2=^'解得。2=\.

(2)由题设，得⑸一if—%⑸-1)-。“=(),

即S；—2s“+1-勺5〃=0.①

当〃22时，4”=S「S“T，代入①得S.R-2s“+1=0.②

1]12

由于(1)知S]=4=5，S2=%+a2=/+w=§.

由②可S3=:，由此猜想S〃=—9—,〃=1,2,3…，

4〃+1

A级必备知识基础练

1.［探究点一］己知在数列9”)中⑷=2,册+i=a“+〃(〃£N*),则如的值为()

A.5B.6C.7D.8

2」探究点三］已知数列｛m｝的前〃项和s”q,则四的值等于()

A费B.-/C击D.击

3.［探究点三旧知数列｛〃〃｝的前〃项和S”=4〃2-10〃,则〃2。6=()

A.52B.68C.96D.I08

4.［探究点二］已知0=1q=〃(4“+i-an)(n4N*),则数列｛｝的通项公式是()

A.2n-1B.”广

C.n2D.n

5」探究点一］(多选题)已知数列｛.o｝满足即=凡应二〃,/1+1=_5%1(〃22),则卜列结论正确的是()

A.X2020=4

B.12022=4-。

C.X||=X2O2I

D.X|+X2+，，*+.V2020=28-4

6」探究点一］若数列｛«1｝满足。〃+产2加1,且恁=16,则a(,=.

7.［探究点二］根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.

(1)«|=0,a))+］=an+2n-1(nwN");

(2)0=1,“”+i=斯+^("wN");

(3)«i=-1,斯+1=小+“5；1)(〃eN).

B级关键能力提升练

8.已知数列｛an｝,an+1=3、则畋022=()

2B.3C.-11D.13

9.在数列｛%｝中M=l,对所有的心2,都有。必。3…4”二层,则S+的等于()

25R25「61p.31

AA.—B.77C.77D.—

9161615

10.设｛。〃｝是首项为1的正项数歹U,且(〃+1)W+i-〃忌+。”+[4〃=0(〃WN"),则它的通项公式

an=.

11.已知数列｛斯｝满足0〉0,且〃/尸合外,则数列伍”｝的最大项是.

2an,0<an<1,

12

(2%-I,/W册<1.

若41=g,试求(12021+。2022-

c级学科素养创新练

13•在数列中⑼=施+尸｛设一器:1,则如=()

1368

C

A.5-5一5-5-

14.已知数列0=1,42M3,…&(〃WN)的法则如下:若斯为自然数，则斯+尸斯-2,否则斯+产小+3,则

06=•

1.D因为。尸2,。〃+1=。〃+儿所以。2=。1+1=2+1=3,03=6+2=3+2=5,。4=。3+3=5+3=8.

2.D%=S6-S5=：-.故选D.

22

3.B由题意，可得当时,an=Sn-Stt.x=4/:-10n-[4(n-1)-10(n-1)1=8/z-14,所以

。2。6=(8x2-14)x(8x6-14)=68.

4.D(方法1构造法)

由已知整理，得(〃+1)。〃=〃斯+1,

・•・署/•**数列辑｝是常数列，且字=A1，・•・4二〃•

(方法2累乘法)

当儿22时，色■=白■，生=当，…，”==；,这(〃・1)个式子两边分别相乘，得回=〃.=

an，in-1an.2n-2散2Q】1''Qi

atl-n.

当〃=1时,〃”二〃也成立，所以a„=n.

5.BCDx\=a,X2=b,X3=X2-x\=b-a,

X4=X3-X2=-a^5=X4-X3=-byXf)=X5-X4=Cl-b,

Xi=A6-A'5-a=X1M=X7-X6=b=X2,

・・・｛法｝是周期数列,周期为6,

・'・X2020=X4=-«,A不正确；％2O22=X6=67-Z?,B正确也Q21=X5=AlbC正确Xl+M+…+12

02o=xi+x2+X3+x4=2b-a,D正确.

6.：•.,〃“+]=2”“-1,，。8=247-1=16,解得£17=^-,

又a-)-2ub-\一呆解密"6-多

41

7.解(I)。1=0,。2=1,8=4,44=9.

猜想a”=(〃-1)2(〃eN").

(2)6/1=l,«2=1/O=^=2,«4=1.

猜想知=等(〃£N").

(3)0=-1,〃2=」,。3=±。4=：.猜想a„=--(neN").

234n

8.A由题意，可知:m=3,