人教版高中数学必修2考点训练：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（解析版）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

【考点梳理】

>考点一：圆柱的表面积和体积

>考点二：圆锥的表面积和体积

>考点三：圆台的表面积和体积

>考点四：球的表面积和体积

>考点五：球与多面体相切问题

>考点六：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题

【知识梳理】

知识一圆柱、圆锥、圆台的表面积

图形表面积公式

3底面积：S底=2兀户

圆柱侧面积：SM=2nrl

2wr表面积；

底面积：5底=+

圆锥侧面积：Sw=Ttr[

旋转体

表面积：5=几”+/)

上底面面积：S上底=兀/2

下底面面积：S下帐=正

圆台

侧面积；SZ+rZ)

表面积：S=兀〃，2+―+r'/+»)

知识二圆柱、圆锥、圆台的体积

几何体体积说明

圆柱底面圆的半径为小面积为

圆柱Van=Sh=nrh

S,高为〃

圆锥底面圆的半径为，，面积为

圆锥Vpj惟——3S/?—§兀厂

S,高为人

V即=；（5+小铲一+小二）〃圆台上底面圆的半径为/•',面

圆台积为S',下底面圆的半径为，，

=\ii^2-\-rr'+r'2）h

面积为S,高为h

知识点三球的表面积和体积公式

1.球的表面积公式S=4TIR2（R为球的半径）.2.球的体积公式丫=飙

【题型归纳】

题型一：圆柱的表面积和体积

1.（23-24高一下.贵州.期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为4兀2的正方形，则该圆柱的体积为（）

A.TVB.—C.—D.27rl

43

【答案】D

【分析】根据题意可得该圆柱的高〃=2兀，底面半径/=1,进而可得体积.

【详解】设圆柱的底面半径为「，高为h,

因为圆柱的侧而展开图是一个面积为4/的正方形，则该圆柱的高力=2兀，

底面圆*J周长为2"=2兀，解得〃=1,

所以圆柱的体积V=nr2h=2r.

故选：D.

2.（23-24高二.上海.课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（）

I+2TI八1+4兀-1+2兀、I+4冗

A.----B.----C.----D.----

27r47tn2兀

【答案】A

【分析】设侧面展开图正方形边长为。，用。表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值.

【详解】设正方形边长为。，圆柱底面半径为「，易知圆柱高为“，

271

全面积为5=2口2+/=2兀X,而侧面积为S，=/,

（2力（2兀）

所以全面积与侧面积之比这盘=£-+1=M.

327t27t

故选：A

3.（23-24高一下•江苏镇江•期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,

若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20,则原圆柱的侧面积是（)

2

【分析】原圆柱的底面圆半径为「，高为h,得到2滴=20,从而求出侧面积.

【详解】设圆柱的底面圆半径为「，高为力，则原圆柱的表面积为2M2+2兀吐,

新几何体的表面积为2冗产+2nrh+2rh，

故=20,原圆柱的侧面积为271Th=207r.

故选：B

题型二：圆锥的表面积和体积

4.（23-24高一下.重庆.期末）己知圆谯的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的

底面半径为（）

A.百B.127rC.2GD.2G兀

【答案】C

【分析】由轴截面正三角形可■得/=2,2=Gr，进而由圆锥的侧面枳数值与其体枳数值相等可求半径.

【详解】几何体如图所示：

因为轴截面△E48是正三角形，所以/=2几/?=/-，

圆锥的侧面积等于nrl=2nr~,

圆锥的体积等于！=立"’，

33

由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，

得2nr2=—兀厂’,

3

得「=2、万，

故选：C.

5.（2324高一下•四川凉山・期末）若圆锥的表面积为16兀，且其侧面展开图是一个圆心角为寺的扇形，则圆锥的

3

体积为（）

A.3B,电红C,3叵D.8兀

333

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为「，母线长为/,高为力，由条件结合圆锥表面积公式，弧长公式列方程求「，/,利

用勾股定理可求。，再利用体积公式求圆锥的体枳.

【详解】设圆锥的底面半径为「，母线长为/,高为人

因为圆锥的表面积为16兀，

所以兀川+nr'=16冗，

因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，的扇形，

口一7.2几,

所以2"=彳/,

所以r=2,1=6,

所以=4々,

所以圆锥的体积V=-nrh="叵.

33

6.（23-24高一下•广西南宁•期末）已知圆锥的底面半径为拉，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A瓜R2瓜c4mn8#

A・71b・------7tC•-------71D.------71

3333

【答案】B

【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算.

【详解】设圆锥母线长为/,高为人底面半径为r=&,

则由2〃x夜=兀/，得/=141,所以人=，尸一尸=瓜,

4

所以V=-!-nr2/?=-7txV2xy/6=宜".

333

故选：B.

题型三：圆台的表面积和体积

7.（23-24高一下•广东广州•期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7,圆台的侧面积为84兀,

则圆台较小底面的半径为（）

A.8B.7C.5D.3

【答案】D

【分析】根据侧面枳公式求解即可.

【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为3r，较小底面的半径为「，则%（r+3/>7=84万，

故r=3.

故选：D

8.（23-24高一下•山东临沂•期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3,圆台的侧面积为36兀,

则圆台较小底面的半径为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】根据台体的侧面积公式运算求解.

【详解】设圆台较小底面的半径为「，可知较大的底面半径为2人

贝|」3江（2厂+厂）=9几「=36几，解得厂=4,

所以圆台较小底面的半径为4.

故选：C.

9.（23-24高一下•贵州铜仁・期末）如图，和。分别为圆台上下底面中心，且|«O|二K,在轴截面钻片4中，相四。

为正三侑形.若|A四=4,则圆台的表面积为（）

A.9冗B.10nC.IED.127r

【答案】C

【分析】由△A4。为正三角形，|。0=6,可得|。隹|=1,再由|人8|=4,可得|O4|=2,利用勾股定理求出母线

长，再结合圆台的表面积公式求解即可.

5

【详解】因为△人片。为正三角形，|。0|=百，所以|«闻=1,

又因为|A8|=4,所以|0邳=3M|=葭4=2,

22

即圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,圆的高为G，

可得圆台的母线长为+（石『=2,

所以圆台的表面枳为S=7txF+兀x2?+7tx（l+2）x2=1E.

故选：C.

题型四：球的表面积和体积

10.（2025•辽宁•一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4,一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球

的表面积为（）

A.8nB.16兀C.24兀D.32兀

【答案】D

【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形

的高，即可得到求得半径，然后得到表面积.

所以|。州=2,Q川=4,

•・・4民4。,。。与圆。相切，点。2，尸,。1为切点,

:.\DO

i=|DF|=2,|AF|=|FO2|=4,

过点。作DE上AB与点、E,

：.\O}D\=\O2E]=2,.\|A£|=2,则m02|=|。同=』人。『一青砰=4次,

6

即球的半径一零二2夜一..这个球的表面积S=4+=32兀'

故选：D.

11.（23-24高一下.重庆九龙坡•期中）直三棱柱ABC-ABC中，AB=3,BC=4,A4,=AC=5,则它的外接球的

表面积是（）

A.206TlB.25y/2nC.50兀D.200兀

【答案】C

【分析】根据直二棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的

表面积.

【详解】由题意，直三棱柱A8C-A4G中，A8=3,8c=4,AA.=AC=5,画出长方体，如图所示:

则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线2R=AG=VF7不工=5五，则外接球

的表面积是S=4兀/?2=5（）冗,

故选：C

12.（23-24高一下.山东威海.期末）在三棱锥P-A4C中，Q4_L平面ABC,V/WC为等腰三角形且面积为6,

4AC=12（）o,PA=4.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.20兀B.24KC.32兀D.48TI

【答案】C

【分析】由三角形的面积公式可求得44=4C=2,设VA4c的外心为进而可求得。/=2,过。作平面A8。的

垂线。。，可得外接球的半径，进而可求表面积.

【详解】因为VA3c为等腰三角形且面积为所以g/W・/lC*inl20o=G,又A3=4C,

所以AB=AC=2,所以NABC=30。，设VABC的外心为01,

可得。A=-477^=2,过。|作平面ABC的垂线。。，

sin3002

则球心在直线。。上，设球心为。，可得。在AP的垂直平分线上，

7

所以Q0=《AP=2,所以04?=002+0/2=8,

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4nOA2=32冗.

故选：C.

题型五：球与多面体相切问题

13.（2025•黑龙江吉林•模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为立，则此圆台的表面积与其内切球

2

（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（）

A4c3「8n13

A.—D.—C.-D.—

3236

【答案】D

【分析】设上底面半径为，3下底面半径为弓，根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得4=3、且8c=4小

以及内切球。的半径r=G「，再结合圆台和球的面积公式运算求解.

【详解】设上底面半径为小下底面半径为弓，

如图，取圆台的轴截面，作CM_L48,垂足为

设内切球。与梯形两腰分别切于点£尸，

可知8C=4+4，BM=r2-f],

由题意可知：母线与底面所成角为=

BM/;1

则正=3=5,可得钎3%

即8c=4。，BM=2”，可得CM=NBC，-BM?=2A，

可知内切球。的半径厂=百4，

8

可得金价二〃巧2+9花，，+兀（。+37；）乂47；=26叫2,S甲=4兀乂（，5力-=12町？，

S团台二26兀（2二］3

所以~S^~\2nr；~~6,

故选：D.

14.（23-24高一下•广东深圳•阶段练支）已知圆台。。2存在内切球0（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若

圆台。。2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8,设球。的体积与圆台。02分别为匕匕，则3=（）

A.-B.-C.盘D.-

341311

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再

利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.

【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，i，，式弓＞4＞0），母线长为/，高为力，内切球。的半径为R,

显然回台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，贝〃2K=h,

由乃了+?=’,整理得31一10口+3/=0,而4＞小解得弓=3彳，/=4小

4（4+弓）/8

因此圆台的高〃=（为―4）2=2氐,R=M

则圆台GQ的体积++

内切球。的体积匕=g万（W=46",所以年■哈

故选：C

15.（23-24高一下.广东佛山.期末）如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心

位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为126，则正八面体外接

球的体枳为（）

9

【答案】B

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.

【详解】如图正八面体，连接4c和8。交于点。，

因为E4=EC,ED=EB,

所以瓦＞_L4C,EOLBD,又AC和为平面A8co内相交直线，

所以E0_L平面ABC。，所以。为止八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为R,因为正八面体的表面积为8x且AB?=12G，所以正八面体的棱长为逐，

4

所以EB=EC=BC=R,OB=OC=6,EO=ylEB2-OB，=5

则/?=73,V=-n/?-=-nx3^3=443n.

33

故选：B.

题型六：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题

16.（24-25高一下•全国♦单元测试）如图所示（单位：cm）,求图中阴影部分绕A3旋转一周所形成的几何体的表面

10

注：圆台的侧面积公式：S=n(R+r)l,其中凡r分别为圆台.上、下底面圆的半径，/为母线长.

【答案】表面积68元cm?,体积华(cm)

【分析】图中阴影部分绕48旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和5,高为4的圆台，再减去一个

半径为2的半球，根据球和圆台的表面积和体积公式即可求解所成几何体的表面枳和体积.

【详解】由题意知，图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和5,高为4的圆台，

再减去一个半径为2的半球，

所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，

S»F球=8ncm,S阳台便j=357tcm,AHI台尿=25zrcm,

故所求几何体的表面积为687151?；

2222

由％台=§xnx2+^（7ix2）x（7Tx5）+nx5x4=527r（cm’），

--4116兀/3\

%球兀xZx-=——(cm),

•J/r，

所以所求几何体的体积为4台-%球=52兀-野二竽(cm)

17.(23-24高一下.福建泉州.期中)如图，三棱柱ABC-44G的侧棱垂直于底面，其高为2cm,底面三角形的边长

分另U为3cm,4cm,5cm.

(I)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积丫；

(2)求该三棱柱的外接球的表面积.

【答案】⑴(12-260?

⑵297rcm'

【分析】(1)求出三棱柱的体积，得到VABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案;

(2)将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.

【详解】(1)因为底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,

所以底面三角形为直角三角形，两直常边分别为3cm,4cm,

又因为三棱柱A8C-A4和的侧棱垂直于底面，其高为2cm,

II

所以匕*vg=5x3x4x2=12（cm）

设圆柱底面圆的半径为

2xlx3x4

则广__ZS.ABC

I-」_____=r

AB+13C+AC3+4+5

圆柱体积％a=兀、葭2=2几(5?).

所以剩下的几何体的体积v=(12-22cm3.

(2)由(1)直三棱柱ABC-A8c可补形为棱长分别为女m,4cm,2cm的长方体,

它的外接球的球半径R满足2扭=5/32+42+2?=晒，即R=-|^cm.

所以，该直三棱柱的外接球的表面积为5=4”=297rcm2.

18.(23-24高一下•浙江•期中)如图一个圆锥的底面半径为I,高为3,在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.

(1)求此圆锥的表面积与体积;

⑵试用x表示圆柱的高〃；

(3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？

12

【答案】⑴表面积（亚+l）兀，体积兀

（2）//=3（l-x）,（0<x<1）

397r

（3）当工=^时，Smax=]•

【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可;

（2）根据相似计算即可得出关系式；

（3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值.

【详解】（1）由r=l,h=3,得/=、亿，

所以S闸=n/7=ViOn,5底=兀，=兀，

故5表=即+1）兀,

V=—■兀/11=71;

3

（2）由相似可得—=；,得力=3（l—x）,（0<x<l）；

（3）记圆柱得全面积为S,

5=2兀­/2+2兀12=2兀广3（1—；1）+2兀/=2兀（一242+3工）=-4兀工一（）4-^»

39n

*/0<A<1,・\当x=一时，S=一.

44

【双基达标】

一、单选题

I.（24-25高一下•全国）如图所示，一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为I的

圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（）

13

A.12+3兀B.12+1.571C.24+271D.24+1.5/1

【答案】D

【分析】根据圆柱的侧面积公式以及王方体的表面积公式即可求解.

_1cc,3兀

【详解】所得几何体的表面积为6x22-2x兀+2Jix—x2=24H----,

2;22

故选：D

2.（24-25高一下•全国•期末）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心。到这个圆面的距离为4,则这个球的体

积为（）

1007t208冗5007r4166几

A•O・LU•----------

3333

【答案】C

【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即叽

【详解】

如图，设截面圆的圆心为O',由题意可知，圆面的直径为6,则OX=3,

又00=4,所以球的半径R=Q4=5,

所以球的体积丫=*巾=等，

故选：C.

3.（23-24高一下•江苏•期末）若底面半径为「，母线长为/的圆锥的表面积与直径为/的球的表面枳相等，则，=（）

A.75-1B,C.V3-1D.

22

【答案】B

【分析】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可.

【详解】易知圆锥的表面积为“/+♦,球的表面积为4兀田=冗尸,

故71“+兀/=Til2»

（负舍）.

2

14

故选：B.

4.（23-24高一下.江苏常州•期末）如图，一个底面半径为2dm,母线长为26dm的圆锥形封闭透明容器内部装有

一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的则当圆锥的顶点在桌面上，且

底面平行于水平桌面时，液面的高度为（）

A.y/ldmB.2dmC.3dmD.2V7dm

【答案】D

【分析】结合圆锥体枳公式，利用液体的体积相等可求答案.

【详解】因为圆锥的底面半径为2dm,母线长为2j5dm,所以高为J（2石产-22=4,

当圆锥怅面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的《，

所以液面的半径为1,此时液体的体积为丫=^。2+22+［、2）、2=半，

当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，

设圆锥的底面半径为「，高为3则有3=：,即/?=2r,

.此时液体的体积为V=y2h=yr\

由,,=手，得,•=⑺，所以〃=2盯.

故选：D.

5.（23-24高一下•江苏南京•期末）设PARC是球。表面上的四个点，QA_L平面ABC,ZABC=90°,PA=5,八8=3,

8c=4,则球。的表面积为（）

A.—nB.50兀C.757rD.200兀

3

【答案】B

【分析】根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式,

即可求解.

【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示，

把P,AB,C扩展为三棱柱，

上下底面三角形外接圆圆心连线的中点。与A的距离为球的半径R,

由B4=5,AB=3,AC=4,ZABC=90°,

15

则JAG+BC?="+42=5,

设三角形ABC外接圆半径为「，球。的半径为R,

则2r=AC=5,且R=AO=

所以外接球的表面积为S=4兀2=4nx^=50n.

故选：B.

6.（23-24高一下.云南昆明•期中）若正三棱柱的所有棱长均为。，且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是

（）

8284

A.-7tB.—7tC.3兀D.一冗

333

【答案】B

【分析】根据三棱柱侧面积公式求出“，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平

方，再根据球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于〃的等边三角形，侧面积为3。2,

，3。2=12,・・・。=2,

取三棱柱AB。-的两底面中心。，。，连结oa,

取。。j勺中点。，则力为三棱柱外接球的球心，

连结小），则B。为三棱柱外接球的半径.

•・•NABC是边长为2的正三角形，。是VABC的中心，

・•・BO=-Xy/3=—.

33

又•••OO=3oa=1

7

ABD2=OB2+OD2=-.

3

7OQ

・•・三棱柱外接球的表面积s=4兀尿=4兀X：=与九

故选：B.

16

7.（23-24高一下•四川绵阳•期末）等腰直角VABC的面积为1,以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成

的面围成的几何体的体积为（）

JT9jr

A.WB.yC.兀D.2n

【答案】B

【分析】由题可得该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为I,高为I,进而即得.

【详解】在RtZXAAC中，54BC=1/\CX^C=I,又AC=BC,

解得AC=8C=&，所以A3=12』+2」=2,

所以AB边上的高为CO=l,

以斜边48所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体为两个底面重合的圆锥组成,

其中圆锥的底面半径为8=1,高为1,

所以该几何体的体积为

故选：B.

8.（23.24高一下•河南南阳•期末）如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶

点。滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水

4x/2

D.

3

17

【答案】C

【分析】根据阿傩的性质可得画维母线长及圆维的高，再根据等面积法可得距离的最人值.

【详解】

如图所示根据圆锥的性质，可知2兀。4=3・可8,

3

由圆锥底面半径为r=1,则A3=2r=2,OA=OB=QAB=3「=3,

所以OC=JOA2+CA2=2叵，

易知圆推上到水平面的距离最大的点为B,设距离为4,

所以

22

则八处型=*=这，

OA33

故选：C.

9.（23-24高一下•天津和平.期末）已知圆台的上、下底面半径分别为2cm,12cm,侧面积等于280nmz,若存在

一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（）

A.16cmB.86cmC.8&cmD.8cm

【答案】D

【分析】根据题意，可得该圆台轴截面的内切圆即为其轴截面所在E三角形的内切圆，从而求得圆台的内切球半径

为4后,再结合正方体的外接球半径与棱长的关系即可求得.

【详解】设圆台的高为力，母线长为/,正方体的棱长为

由题意可得兀（2+12）/=28。兀，解得/=20,则a=J/2—（12—21=10函,

易得圆台的母线与下底面所成角为60。，所以可以将该圆台的轴截面补形为i力长为24cm的正三角形.

设该正三角形的内切圆半径为R,则根据等面积法可得gx24x24xsin600=gx24Rx3,解得/?=46，

又2R=8G<106，...该内切圆也为此圆台轴截面的内切圆，

二圆台的内切球半径为R'=.

•.•该正方体可以在圆台内部任意转动，.•.小42*,解得。<8,

所以当正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为8cm.

18

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关犍在于，理解正方体在同台内部可以任意转动，即正方体在圆台的内切球内,

从而得解.

二、多选题

10.(24-25高一下•全国•课后作、也)(多选)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台。0一

在轴截面/WC。中，AB=AD=BC=4cm,CD=2AB,则下列说法正确的有()

A.该圆台的高为Gem

B.该圆台轴截面面枳为24cm2

C.该圆台轴截面面积为126[/

D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到4。的中点，所经过的最短路程为10cm

【答案】CD

【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图

结合勾股定理即可判断D选项.

【详解】如图①，作BELCD交CD于E,则。七=乌产=2(cm),

则BE=O]O?=—2'=2G(cm)，则圆台的高为26cm,故A错误；

圆台的轴截面面积为gx(4+8)x2G=126(cm2),故B错误，C正确；

力力Cpr------——I。

将圆台为一半侧面展开,如图②，设P为AO的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形CO。,

可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,圆锥侧面展开图的圆心角为夕=*27■rx4=*

O

连接C户，可得NCOP=90°,OC=8cm,OP=4+2=6(cm),则CP=而栽7=1(Xcm)，

19

所以沿着该圆台表面从点C到A。中点的最短距离为10cm,故D正确.

败选：CD.

11.（23-24高一下•河南郑州•期中）已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球。与圆台的两个底面和侧面都相切,

则下列命题中正确的有（）

A.圆台的母线长为4B.圆台的体积为266n

C.圆台的表面积为26兀D.球。的表面积为12兀

【答案】ACD

【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和

内切球的半径，即可得出结论.

【详解】画出圆台的轴截面，如图所示：

则四边形八ACQ是等腰梯形，且。V=l,AM=3,内切圆圆心即球心。；

所以圆台的母线长为AO=AE+ED=AM+ON=3+1=4,选项A正确；

连接04、0。和0£,则△AOD是直角三角形，且。炉二AE.EE>=3,

所以球的半径为，=OE=G，

所以圆台的体积为丫=；兀『+32+底铲卜26=带5兀，故选项B错误；

圆台的表面积为S="（I?+32）+71x（1+3）x4=2671,故选项C正确；

球。的表面积为5'=4"（6『=12兀，故选项D正确.

故选：ACD.

12.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）某圆锥的底面半径是3,母线长为4,则下列关于此圆锥的说法正确的是（）

A.圆锥的体积是9夕兀B.圆锥侧面展开图的圆心角是竽

C.该圆锥的轴截面的面积是8D.圆锥侧面积是12兀

【答案】BD

【分析】根据给定条件，求出圆锥的高，再逐项分析判断即得.

【详解】圆锥的底面半径/=3,母线长/=4,则该圆锥的高"=庐了=",

对于A,圆锥的体积V=g兀产力=3声冗，A错误；

20

对■于B.圆锥侧面展开图扇形弧长为2口=6兀，该扇形圆心角为7=j~，B正确；

对于C.该圆锥的轴截面是底边长为6,高为g的等腰三角形，面积为3小，C错误；

对于D,该圆锥的侧面积5="/=12加，D正确.

故选：BD

13.（23-24高一下•青海西宁•期末）如图，-个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与•个球的直径2R相等,

则下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为4冗2

B.圆锥的侧面积为2兀2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

【答案】ACD

【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的例面积公式、球体

的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可.

【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为R,高为2R,圆锥的底面半径为R,高为2R,

A项，圆柱的侧面积为2兀氏27?=4冗外,故A正确；

B项，圆锥的母线长为JK+（2R）2=石R,

所以，见锥的侧面枳为兀R・石/?=石成」，故B错误；

C项，球的表面积为4九川,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；

D项，圆柱的体积为兀/?12/?=2兀R',

圆锥的体枳为1店-2R=争）

球的体积为与2，

因此，员I柱、圆锥、球的体积之比为2兀2:皿:皿=3:1:2,D正确.

33

故选：ACD.

14.（23-24高一下•河北邢台・期末）如图，四棱台48CD-ABCQ的测棱长均相等，四边形4BC。和四边形A&CQ

都是矩形，AA=8,AA=6,AB=16,40=12,44=13,则下列结论正确的是（）

21

A.该四棱台的体积为1344

B.该四棱台的侧面积为72/万+72后

C.该四棱台外接球的表面积为6767r

D.若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为3而一3

2

【答案】ABD

【分析】求出棱台的高，由棱台体枳公式即可求得棱台体积，判断A；求出棱台的侧面的高，即可求得侧面枳，判

断B；求出外接球半径，即可判断C；判断该四棱台内有一个球体，该球体半径最大时球体与平面CQRG及平面

BAA瓦相切，继而结合平面几何知识求得球的半径，即可判断D.

【详解】如图1，连接AC,8。交于点。连接AC，BR交于点连接。。一

由题意可得AC=J162+12?=20,A<?I=V82+62=10,

2

则40=10,4。1=5.在直角梯形4。。小中，OOi=^AA；-(AO-AiOi)=12,

该棱台的体积V=；x(l92+48+Jl92x48)xl2=1344,A正确.

梯形八人3B的高为7132-42=3后，梯形AD^4的高为V13--32=4710，

则梯形"8"的面积，=gx(8+16)x3>/i7=36Vi7,

梯形AORA的面积S2=gx(6+12)x4j万=36所，

该四棱台的侧面枳为72J万+72JQ,B正确.

设该四棱台外接球的球心为。2,半径为R，结合题意可得。2在线段。。|上，

22

设。。2=x,则OR=12-x,由勾股定理得“2+1（）2=（］2-力2+52,解得X==,

O

则心雪'该四棱台外接球的表面积为4束二yC错误.

因为耳，所以当该球体的半径最大时，该球体与平面CORG及平面8AA5相切,

设切点分别为Q,P，该球体的球心为。3,半径为八

过点Q，p,O,。、的截面与棱。C,AB,AG，AA分别交于点七，F,M,M

连接月0,川交于点九如图2.

0也=3,由MN〃叮，则第二空8=07+12,

OEOT

图2

解得0J=12,所以07=24,同理求得E7'=6jI7.

因为"~"E。，所以舞喑,即"帝，解得「=吗±

经检验，O,O3=i2-r>r,符合题意，D正确,

故选：ABD

【点睛】关键点点哨：判断本题的关键是选项D的判断，解答时要硼定该球半径最大时，球体与平面CDRG及平面

B/UN相切，进而将空间问题转化为平面问题解决.

15.（23-24高一下•河北唐山・期末）在直三棱柱人8C-A8C中，高为h、BA=BC=6,/ABC=90,下列说法正确

的是（）

A.%-AABfi,=2V^_A8C

B.若存在一个球与棱柱的每个面都相切，则力=2^-75

c.若力=G，则三楂锥A-A3c外接球的体积为1

D.若h=g,以A为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为等

【答案】ACD

【分析】由柱体、锥体体积公式计算判断A；利用体积法求出内切球半径判断B；求出外接球半径，进而求出球的

体积判断C；分析球面在三棱柱各个面上的交线，进而求出交线长判断D

23

3II

【详解】对于A，直三棱柱ABC—A4G的体积v==于，v^AfiC=vCi_ABC=-s^BCh=-v,

2

则％.N用="%-机=§旷=2匕_枷，A正确;

对于B：直三棱柱ABC-AMG的表面积5=(26+#)〃+3,显然比棱柱内切球半径为

因此V=.S；〃=，即(26+J^).b+3=9,解得力=2\/5—#，B错误；

对于C.三棱锥A-A8C的外接球即为直三棱柱ABC-44G的外接球，

球心到平面48。的距离为乜=正，而VA8C外接圆半径为以。=如，

2222

则三棱锥A-ABC的外接球半径R=J(曰＞+(曰)2=«|，此球体积为与xg)3=与，C正确；

对于D,以A为球心作半径为2的球面，与三棱柱的棱AC4G，8C叫人用的交点依次为E,D,F、G、H,

可算得A。=AH=BF=3G=1,Z/\AD=幺A"=ZBAG=NBAF=-,

6

因此球面与矩形ACGA的交线是A为圆心，半径为2,圆心角为2&间的圆弧，

球面与△A&G的交线是从为圆心，半径为1,圆心角为5，D