期末复习：三角函数与三角恒等变换【18大题型】（解析版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版）

三角函数与三角恒等变换【18大题型】

内容导航

明•期末考情把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01扇形的弧长与扇形面积公式题型02利用三角函数的定义求值

题型03三角函数的符号判断题型04sina、cosa、tana知一求二

题型05正余弦齐次式的应用题型05sinaacosa>sina±cosa关系应用

题型06利用诱导公式化简求值题型08求三角函数的定义域

题型09求三角函数的值域题型10三角函数的奇偶性及应用

题型11三角函数的周期性及应月题型12三角函数的对称性及应用

题型13三角函数的单调性及应月题型14根据三角函数的性质求3的取值范图

题型15三角恒等变换给角求值与给值求值题型16三角恒等变换给值求角

题型17根据三角函数的图象求解析式题型18三角函数图像变换问题

题型19三角函数的实际应用

过•分层验收阶梯实战演练，脸收复习成效

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

任意角与弧度制1、能准确区分正角、负角、零角，熟练基础必考小题，多为选择、填空基础题；命

判断象限角与终边相同的角；题侧重公式直接应用与角度弧度换算；

2、能熟练完成角度与弧度的互化，规范易错点；线边相同角的集合书写不规范、扇

书写弧度制；形面积公式混淆、角度弧度混用计算失误

3、能依据定义求解扇形弧长、面积相关

问题。

三角函数的定义1、能根据终边上点的坐标，准确求解正高频基础考点，小题必考，偶尔融入解答题

弦、余弦、正切值;第一步；命题侧重定义理解与符号判断；

2、能判断任意象限角的三角函数符号；易错点：记错各象限三角函数符号、忽略终

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3、能利用三角函数定义化简简单三角式边在坐标轴上的特殊情况

同角三角函数的1、能熟练运用平方关系、商数关系化简高频重难点，小题、解答题均会考查；是三

基本关系三角代数式；的化简求值的基础工具；

2、能已知一个三角函数值，准确求解同易错点：利用平方关系开方时忽略角的范

角其余三角函数值；围、公式混用、化简不彻底

3、能结合角的范围判断函数值正负，规

避多解错误

三角函数的诱导1、能熟记所有诱导公式，掌握“奇变偶不期末核心必考考点，贯穿所有三角题型；命

公式变，符号看象限”核心法则；题侧重公式灵活应用，不单独考公式默写；

2、能快速完成任意角三角函数的化简、易错点：记错奇偶性、符号判断错误、复杂

求值；国度诱导变形出错，是期末最易丢分的基础

3、能利用诱导公式处理三角恒等变形模块

三角函数的图象1、能画出y=sinx、y=cosx、期末重点难点，小题高频考查性质辨析，解

与性质y=tanx的图象，理解图象的对称性、答题常考最值、单调区间；

变换规律；命题趋势：图像与性质综合考查、结合定义

域限制求参数范围；

2、能熟练求三种函数的定义域、值域、

周期、奇偶性、单调区间；易错点：正切函数定义域遗忘、单调区间书

写不规范、忽略周期性导致漏解/多解

3、能利用函数性质解决简单的不等式、

参数求解问题

函数1、能由图象求A、（9、（P的参数值；期末压轴小题、解答题高频考点，属于中高

y=4sin®x+（p）的2、能分析y=Asin®x+（p）的周期、值域、档题型：命题趋势：图像变换与解析式求解

图象与性质单调性、对称轴与对称中心；结合、多参数综合考查；

3、能进行图象的平移、伸缩变换易错点：平移变换混淆左右、伸缩变换改变

周期出错、（P的取值范围判断失误

三角函数的简单1.能将实际周期问题转化为三角函数模低频解答题考点，部分期末试卷压轴应用题

应用型；2.能利用三角函数模型求解最值、周里；命题贴近生活周期场景（潮汐、波动、

期、实际取值问题旋转等）：

易错点：建模错误、忽略实际问题的定义域

限制

■记•必备知识.

愎知识点01任意角与弧度制

1、角的概念

2/49

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形：②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标京点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角"终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是5=/£=£-360。+呢££Z}.

2、弧度制、弧长公式及扇形面积公式

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

/

角«的弧度数公式|a|="（弧长用，表示）

r

_n、/180V

角度与弧度的换算①1°=---rad；②1rad=---

180\TI1

弧长公式弧长l=\a\r

11

扇形面积公式S'=-/r=-|a|/-2

理知识点02三角函数的概念

1、三角函数的定义

二:角函数正弦余弦正切

设〃是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么

定义y叫做”的正弦，记作x叫做a的余弦，记作V

-叫做a的正切।记作tana

sinacosaX

I+十+

II+——

各象限符号

III——+

IV—十—

,从融(L0)_斗（他

三角函数线

有向线段MP为正弦线有向线段。必为余弦线有向线段力T为正切线

2、同角三角函数基本关系

3/49

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.

.....sina/n

(3)商数关系：----=tana|ar：+E,A£Z

cosa\2

(3)基本关系式的几种变形

①sin%=1-cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；cos2a=1-sin2a=(l+sin«)(I-sina).

②(sina±cosa)2=l±2sin«cosa.

③sin«=tan«cosa(a#^n+-»kQZ

号知识点03三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

n7T

角2E+a(k£Z)兀+a-an-a—a--Fa

22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—COSftcosa—cosasina—sina

1

正切tanatana—tana一tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

理知识点04三角函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数y=sinx,x£[0,2用的图象中，五个关键点是：（0,0）,(兀，0)J—,-1),(2兀，0).

-1),序0),(2兀，1).

（2）在余弦函数y=cosx,x£[0,2R的图象中，五个关键点是：（0、1）,份，0）,（兀，

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中AWZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yy

_篁1

图象~2、F

-fX

rJ2r

定义域RR

值域[-U][-13]R

周期性27r2兀it

4/49

奇偶性奇函数偶函数奇函数

nn修/:兀，标+目兀、

递增区间2kn~~,2E+二[2版一兀，2E]

22

713兀

递减区间24兀+24兀十二~[2kit,2E+句无

22

对称中心(kit,0)

n

对称轴方程x=kn-\-一x=kn无

2

懂知识点05三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

c（“_份cos(«—//)=cosacos夕+sinasin//

C(a+〃)cos(<z+/?)=cos«cos/?—sinasin/7

S(a-〃)sin(«—p)=sinttcos^—cosasin/?

S(a+#sin(«+/?)=sinacos夕+cos«siny?

tana-tan夕

tan(«—p)=-----------------：

Xa—fl)1+tanatariB

变形：tana—tan/?=tan(«—^)(1+tanatanfl)

tana+tan4

tan(a+/?)=-----------------：

T（a+向1—tanatanp

变形：tantt+tan/?=tan(«+/?)(1—tanmanfl)

【注意】在公式T（a坳中6G力，〃士力都不等于E+，R£Z）,即保证12114，1211/?,1211（0±a）都有意义.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2«=(sin«—cosa)2

cos2a—cos2a-sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；

C2a1+cos2a1-cos2a

变形：cos-a=-------------,sin-«=-------------

22

2tana

%tan2a=----------

1—tan26x

3、辅助角公式

5/49

知识点06函数,F=Xsiii®x+0)的图象与性质

1、y=Asin(gr+(p)的有关概念

y=Zsin(cox+8)振幅周期频率相位初相

2兀1co

(J>0»(D>0)AT=—f—~——a)x+(p(p

U)T2n

2、用五点法画j，=/isin(ttM：+o)(/l>0,w>0)

n3兀

sx+p071271

22

Tt(pn-(p3冗(p2兀一0

X

Q)2cococo2OJCO(0

y=4sin®x+8)0A0-A0

3、三角函数的图象变换

由函数y=sinx的图象通过变换得到y=4sin(cox+9)(4>0,0>>0)的图象的两种方法

3题型一扇形的弧长与面积公式

:解|题j巧

打、设扇形的半径为八弧长为/,。(0<々<2幻或〃。为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下:

类别/度量单位角度制弧度制

6/49

.〃山,

扇形的弧长/=----l=ar

180

cnm21.12

扇形的面积S=-------Sc=—lr=—ar

36022

i2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点：

:（I）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时,

;要灵活运用公式求解或列方程（组）；

|（2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。

【典例1】（24-25高一下•辽宁葫芦岛・期末）扇形的半径为2,圆心角为g,则此扇形弧长为（）

兀c兀〃兀c2兀

A・肩B.3C.5D-T

【答案】D

【解析】扇形的半径为2,圆心隹为g,则此扇形弧长为会.故选：D

JJ

【变式1-1］（25-26高一下•湖南长沙•期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻

生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪卜一个扇形048,再在该扇形

内剪下一个同心小扇形0co（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面力BCD当扇子扇形的圆心角为T时，

扇面看上去形状较为美观.已知/D=20cm,弧C。的长为一“cm,则此扇面的面积为（）

-800兀

C.—^―cm2D.300兀cm，

【答案】C

【解析】设OO=Rcm,因为圆心角。=与，弧8的长为

代入弧长公式/=|a|R可得竿二gxR,解得R=10cm.所以04=10+20=30cm.

由扇形面积公式S=；|a|&可得，S身形.8=；。0才=；x胃x302=3007T（cnr）,

c1.12兀，八，1007T/

S阐形=5同。。一二'X§xlO-二亍（cm）

7/49

所以此扇面的面积S=S圳c-S艰形g)=300兀-竽=竿((^2).故选：C.

【变式1-2](25・26高一上•湖南娄底•期末)为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16

米的扇形景观区域.

(1)若要使该景观区域的面积不小于12m2,求半径「的取值范围？

(2)请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？

【答案】(1乂2,6]：(2)答案见解析

【解析】(1)设该扇形的弧长为/m,.•./+2-=16,

S=-/r=-(16-2r)r212n2r2-16z,4-24<0=>(r-2)(r-6)<0=>2<r<6,

22一

・•・半径厂的取值范围在[2,6].

(2)/+2r=16,

1f16

=16>

244242

当且仅当/=2尸时取得最大值，

所以当半径为4m,扇形的弧长为8m时，最大面积为16mL且圆心角。='=2.

r

【变式1-3](25・26高一上•山东聊城•期末)某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌,

铭牌的外弧半径。力=6,设铭牌对应的圆心角为内弧半径。月=x(0<x<4),若铭牌的面积为

丁+45

(1)求”关于x的函数解析式；

(2)记弧前，石的长度分别为求4的最小值.

【答案】(1)。=^~~^且0<*<4；(2)6.

36-x

【解析】(1)由题意g•夕>;45,则/.(36_幺)=尸;45

所以夕=工12且0<x<4；

36-x2

8/49

⑵由「仁"3-。8)=(67)，匕=3=八6)-2(、+6)+81

36—xx+6x+6

OIIOI

=x+6+——-12>2J(A+6)-———12=6,

x+6Vx+6

Q1

当且仅当x+6=——=x+6=9nx=3时取等号，

x+6

所以6-4的最小值6.

3题型二利用三角函数的定义求值

解।题।技i巧

1、设扇形的半径为「，弧长为/,a（0<a<2幻或〃。为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下:

类别/度量单位角度制孤度制

扇形的弧长/=-----l=ar

180

扇形的面积S=------S=­/?•=~ar2

36022

：2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点：

:（1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要

i灵活运用公式求解或列方程（组）；

:（2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。

【M列11（24-257二卡疝豪版露麻5三知席&庙终而章工^^（-3,2）,疝sina=（）~

A2>/132拒「3后3Vl3

•-----1r5•------V•----nU.------

13131313

【答案】A

【解析】由题意有「=|0尸|=]（一3『+2?=,

所以sina=?=乙=故选:A.

rV1313

【变式2-1]（24-25高一下•北京海淀•期末）在平面直角坐标系立沙中，角。以。x为始边，终边经过点

。,2/),r>0,则cosa=()

A.立B.一立262y/5_

55亍~5~

【答案】A

9/49

【解析】由题意可得，cosa=/,=3=手.故选:A.

"+4厂753

【变式2-2]（24-25高一下•四川泸州•期末）己知。是第二象限的角，P（x,3）为其终边上的一点，且

sintz=",则％=()

A.-6R.±6C.i6>/2D.-6五

【答案】D

【解析】依题意，x<0/=|O4=J?R，其中，。为坐标原点,

31广

则sma=6+9="所以x=_6&.故选：D.

【变式2-3]（24-25高一上・贵州毕节•期末）（多选）已知角。的终边经过点（见3）,且cosa=：,则（）

A.〃？=4B.m-±4

3

C.tana=—D.tana=±—

44

【答案】AC

/、44/八、

【解析】由题意角。的终边经过点（叭3）,且cosa=《，可知而彳=>°），

解得〃7=4,故A正确，B错误：

所以角a的终边经过点（4,3）,所以tana=（,故C正确，D错误.故选：AC.

包题型三三角函数的符号判断

解I题I技I巧

三角函数的符号如下图:

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定就石银…;;二至元…三通2:三定万丁西条亚丁箕吾艾忌在第二篆祠至三面函薮值至方元「茬第三麻随只

有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.

《丽苗…苍GM滴二下近茜直着:丽茉5.百强益而芯而力;财。时篦为“，…5..........

A.第一或二象限角B.第二或三象限角

C.第一或三象限角D.笫三或四象限鱼

【答案】A

cos0<0

【解析】因为cos夕dan。〉。，所以1△八或

tan。<()

所以e可能为第一象限角或第二象限角.故选：A.

【变式3-11(24-25高一下•四川达州•期末)sinetanLcO是角2为第三象限角的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

sin/?<0[sin<9>0

【解析】sinOtanOcO可得，.八或，,n，即。为第三象限角或第二象限角，

所以sin/anevO是角。为第三象限角的必要不充分条件.故选：B.

【变式3-2](24・25高一上•安徽宿州•期末)点力(cos2,tan5)在平面直角坐标系中位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为2£与兀｝5唁,2兀1即2为第二象限角，5为第四象限角，

所以cos2<0,tan5<0,所以点，(cos2,tan5)在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：C.

【变式3-3](24-25高一下•上海浦东新•期末)已知。是第四象限的角，则点P(tana,cosa)在第象

限.

【答案】二

【解析】因为。是第四象限的角，所以tana<0,cosa>0,

故点P(tana,cosa)在第二象限.

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^题型四sina、cosa、tana知一求二

解|题|技|巧

I、核心依据：同角三角函数的基本关系，Bpsin2a+cos2a=l（恒成立，无定义域限制）和tana=sina/cosa（定

义域限制：Mr/2+kTt,k£Z,即cosa#0）o

2、解题步骤：

第一步，由已知的一个三角函数值，结合siMa+cos2a=1,求出另一个三角函数值；

第二步，根据角a所在的象限，判断所求三角函数值的符号（开方时需确定正负，避免漏解）；

第三步，若需要求tana,利用tana=sina/cosa,代入已求出的sina和cosa的值计算，注意此时需确保cosa^O

（若cosa=0,tana不存在）。

3

【典例4]（24-25高一下•湖南邵阳・期末）已知8为第一象限角.若sin。=三，则cos8=（）

3344

A.—B.-C.—D.—

4455

【答案】D

【解析】因为sin6=],所以cos?8

4

又因为。为第一象限角，所以cose=1.故选：D.

【变式4-1]（24-25高一下•江西南昌•期末）已知a为锐角，若cosa=；,则tana=（）

A.—B.2C.2V2D.7

42

【答案】C

【解析】已知知a为锐角，则sina=a—cos2a=延,

3

242

则tana==—^―=20.故选：C.

COSOI1_

3

【变式4-2]（24-25高一下•广东深圳期末）已知tana=-2,ae（0,7T）,则sina=（）

A2>/5口币「逐n2V5

A・-----------i5•V•1J・

5555

【答案】D

【解析】因为tana=-2.aw（0.兀），所以角a在第一象限，则sina>0,

12/49

由tana二^-=-2①

cosa

sin2a+cos2a=1②

联立解得：sina=^£,故选：D.

5

【变式4-3]（25・26高一上•广东江门•期末）若。是第三象限角，且6cos2a=-5sina,则tana的值为

（）

A.』B.9C.叵D.迈

6525

【答案】D

【解析】因为6cos2a=-5sina，cos2a=l-sin?a，

所以6-6sin2a=-5sina,{ifn）f#6sin2a-5sina-6=0，

32

解得sina=5或sina=-Q,又a是第三象限角，

所以sina=-：，进而得到cosan-Jl-siifa=一,1一：=-当■

所以tana=驷S=^5.故选：D.

cosa5

3题型五正余弦齐次式的应用

解।题।技i巧

化切求值的方法技巧：

（1）对分式齐次式，因为cosaw0,一般可在分子和分母中同时除以cos"。，使所求代数式化为关于lana

的代数式，从而得解・；

（2）对整式（一般是指关于sir?a,cos?a）齐次式，把分母看为“1"，用sin?a+cos2a替换“1”，从而把

问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos?a,即可得到关于tana的代数式，从而得解。

’【演悯”5『7辞2丁高二下妾薇泊6丽茉厂目痴菊忆丽茹扬写，承而菲贡单轴重苍…瓦而写孤麻原立重否;

且终边过点（3,4）,则剋3吧

sina-cosa

【答案】7

,、4

【解析】根据角a的终边过点夕（3,4）,利用三角函数的定义式，可以求得tana=§,

13/49

7

g、i后sina+cosatana+1_3

所以有一----------=3=7

sina-cosatana-14_•

3~3

1+sin2a

【变式5・1】（24-25高一下•湖北恩施,期末）已知=1,则tan2a

2cos-a+sin2a

【答案】1

【解析】因为2a=]

2cos~a+sin2a

所以1+sin2a=2cos2a+sin2a.

所以I=2cos2a.cos2a=—,

2

因为sin?a+cos2a=1，

所以sin?a=g，<tan?a=\.

已知角。的终边落在J，5上，则焉脸

【变式5-2］（24-25高一下•云南保山•期末）

【答案】|

【解析】•••角。的终边落在y=2x上,

/.tan0=2,

I-sin20sin?®+cc$，e-2sin®cos。tan'+1-2tan04+1-4_1

sin2cos20sin2cos*0tan*G-\4-1=3

"in。一4

【变式5-3]（25-26高一上•黑龙江大庆•期末）若至竺巴答巴=，则2sinacosa+3cos20=

cosa+2sina5

7171

A.-B.-C.——D.——

5555

【答案】A

_2sina-cosa2tan«-139-

【解析】因为-----——=—-----=->所以tana=2,

cosa+2sina1+2tana5

3.2sinacosa+3cos%2tana+32x2+37

nJ得2smacosa+3cos*2tz=-------；-----------；------=--------------=-----------=—.故选：A.

sirra+cos'atan'a+14+15

14/49

匚名题型六sina±cosa>sina•cosa关系应用

解|题|技|巧

sina+cosa,sina-cosa,sinacosa三个式子中,已知其中一个，可求其他两个,即“知一求二”,

它们之间的关系是：(sina±cosa)2=1±2sina-cosao求解过程中需注意三角函数值的符号。

【典例6](24-25高一下•上海•期末)若0<x<：,且sinx+cosx=(,则sinx-cosx的值为.

【答案】

14924

【解析】(sinx+cosx)=1+2sin.xcosx=—,得2sinxcosx=—,

''2525

।/・\2・1

则(sinx-cosx)~=l-2sinACOsx=—,

九,1

且0<x<二，贝ijsinx-cosx<0,所以sinx-cosx=一一,

45

【变式6-1](24-25高一上•江苏苏州・期末)已知sina+cosa=：,ae(0"),则(sina-l)(cosa+l)=

2

【答案一石

【解析】itlsina+cosa=—,得($ina+cosa)-=l+2sinacosa=-!-

525

解得sinacosa=一£,所以(sina—cosa?=1-2sinacesa=£

又因为ae(0,7i),且sinacosa<0,所以sina>0,cosa<0,所以sina-cosa=2,

5

127,2

则(sina-l)(cosa+1)=sinacosa+(sina-cosa)-1=----+----1=------

25525

)6

【变式6-2]（24-25高一下•江西赣州•期末）已知ae（0,兀）,sina+cosa=-----,贝ijsina-ccsa=)

5

5555

【答案】A

)8]7

【解析】(sina+cosa)-=1+2sinacosa=—=2sinacosa=-----,

15/49

、42

故(sina-cosa)~=1-2sincrcoscr=-

又,.♦sinacosa<0且a£(0,n)=>sina>0,故cosa<0,

^/42

sina-costz>0,故sina-cosa=-----.故选：A.

5

[变式6-3](25-26高一上•广东深圳•期末)(多选)已知sin44cos，=g,。丘(0,冗)，则下列等式正确的

*()

127

A.sin0cosJ=-----B.sin^-cos^=-

25