河南省部分重点高中2025-2026学年高一年级下册4月考试 数学试题（含解析）

河南省叶县高级中学、偃师高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月

月考数学试卷

一、单选题

1.已知集合6={m£2工<3},B={x|x>-2},则A18=()

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{1,2,3}

2.已知向量。，。满足忖=2,且a.〃=6，则向量〃在向量。上的投影向量为()

21-3-

A.—bB.-bC.-bD.3b

332

3.已知8地在A地的北偏东75方向上，且相距2()千米，C地在B地的北偏东15方向上，且相距30千米，

则A,C两地(视为质点)之间的距离是()

A.10/千米B.lOjF千米

C.10而千米D.ioM千米

4.是的

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.在V48C中，角A,B,C的对也分别为。，b,c,若V48C的面积S满足4>/玄="+d-从，则9=()

A.2B.工C.红D.

6336

6.已知函数-2-*+V+3,且《)=11,则/(-〃)=()

A.-8B.-5C.5D.8

AF

7.在V48c中，BD=2DC，E是线段4c的中点，直线AO与死交于点尸，则——=()

FD

133

A.—B.—C.-D.4

552

8.在锐角VA6C中，角A,B,。所对的边分别为叫b,。.若”=1,仄;34=1十”必，则。的取值范围

是()

A.(x/2,V3)B.(1,6)C.(V2,2)D.(1,2)

二、多选题

9.已知向量1=(-3,4),b=(2j?i),则下列结论正确的是()

8

A.若.〃/?,则〃?=-§

3

B.若aJ.b1则〃?=/

C.若卜/+力卜石，贝iJ〃z=-2

D.若〃=?4,则向量a,》夹角的余弦值是更

5

10.在VA3c中，角A,B,C的无•边分别为。，b,。，且4=4，sin«=1,。是边AB的中点，CO=J7,

则（）

A.VA8C是等腰三角形B.a=4

C.V人的面积为&D.V-AC的周长为12+46

3

11.已知函数/（x）=aF-2m1+3"-1（。<0）有两个零点〃?，〃（〃?>〃），则（）

A.m4"/?=1

B.0<m-n<2

C.—42〃~+m<3

8

D.当±+!取得最小值时，log3(3"2-8a)=2

inn''

三、填空题

12.在VABC中，角A氏C的对边分别是。，b,c,且力=2,c=5,A=^,则。=.

兀)2.(8兀).(cIE、

13.已知sina+-=-,rIIplijsina+—+sin2a+—=____.

I7j3k1)\14)

14.已知非零向量a,b满足4("町(d-劝)=21,且:+,=3,则卜一目的取值范围为____.

四、解答题

15.在VA8C中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,且2/?ccosA=Hxx)sC+gx)s8.

(1)证明：〃+c2=2a2.

(2)若a=8,cosA=—,求b+c的值.

16.如图，在平行四边形A4C。中，A8=8,4。=6,NA8C=120,DE=3EC，AE=3AF.

(2)求向量AE，3“夹角的余弦值

17.已知函数/(x)=Acos(公t+w)(A>0,3>0,0<°〈兀)的部分图象如图所示.

⑴求“力的解析式;

⑵求/("在|\一当上的值域；

O_

(3)求关于x的方程/("=1在［-3冗,0］上的所有实数解之和.

18.如图，某水域的两条直线型岸边乙，4交于点A,点8在4上，且A8=4千米，某渔民准备经过点A安

装一直线型隔离网8c(Cffi/2±),围出VA8C养殖区，。是线段8c的中点，且4)=2千米设BC=x千

米，AC=)，千米.

(1)当x=6时，求y的值.

(2)将》表示成X的函数.

(3)该渔民至多可以围出多少平方千米的养殖区？并求出此时隔离网BC的长度.

19.若函数y=〃x)对定义域内的每一个值看,在其定义域内都存在唯一的吃，使得/(5)+/仁)=()成立,

则称/(力为“双射奇函数”.

⑴判断函数/(力=丁-21-1是否是定义在［0,3］上的“双射奇函数”，并说明理由；

⑵若函数g(x)=log2X是定义在［见〃］上的“双射奇函数“，求2"1+〃的最小值；

(3)若函数〃(x)=2sin2x+(2a+l)sinx+a2-6是定义在一上的“双射奇函数”,且存在xe,使

-1-*

得对任意/wR,不等式〃(x)之一一+(〃—/+5)sinx+5成立，求b的取值范围.

参考答案及解析

1.A

解析：由题意可得A={0J2},

则"8={0,1,2}.

2.C

解析:由题意可得向量。在向量b上的投影向量为丁-.

3.D

解析：如图，由题意可得人4=20千米，3c=30千米，Z/\BC=120，

则AC=J"?+BC2-2"4c.eosN/WC=卜)0+900-2x20x30x(一g、=10M千米.

4.C

解析：，反之a>〃推不出ln(a-/?)>(),所以“a>/?”是“ln(a-Z?)>0"的必

要不充分条件，选C.

5.A

解析：由题意可得x；acsinB=2accosB,贝ljtanB=乎，且B«0㈤，故8=套.

6.B

解析：设g(x)=/a)_3=2'—2T+f,则g(_x)=2T_2'_V=_g(x),所以g(x)是定义在R上的奇函数，

所以g(M+g(—力=()，即/(同一3+/(—工)一3=0,所以/(x)+/(—力=6,

因为f(a)=lL所以f(-a)=6-ll=-5.

7.C

__.222-

解析：因为8O=2OC，所以8O=；8C=：AC—

12

所以4。=A8+8O=—A8+—AC.

33

1-2

设A/=Z:A。，则4/二§AA8+5kAC,

因为6,F,E三点共线，E是线段AC的中点，

1_J

所以4户=74R+(l-Z)4E=：AB+i^Ar,

8.D

解析：因为4=1,反O“=1+8S8,所以反OSA=〃(1+COSB),

即sinficosA=sinA+sinAcosB,

所以sinBcoS-sinAcosB=sia4,

即sin(3-A)=sinA,

又在锐角三角形中，—1<8—AV1.0<4V3，

222

则3—4=4或8—4+4=兀，即3=2A或B=不（舍去）.

因为。=兀一人一4=兀一34

由正弦定理可得上7二」77,

siiiAsine

osinC_asin3A

则C=

sin4sin>4

22

a(sin2AcosA+cos2AsinA)a2sia4cosA+(2cos-1)sinAj

=4COS2A-1

sinAsinA

0<A<-

2

因为VA8C是锐角三角形，所以•0<2A<-

2

0<^-3A<-

2

所以所以立~<cos4<,

6422

asinCasin3A.,.,

则c=-----=-------=4cos-4—le(l,2).

siaAsinA

9.ABD

Q

解析：由〃//，得-3〃?-4x2=0,得加=一,，A正确.

3

由a/b，得—3x2+4，〃=0,得5=；,B正确.

a+b=(-3+2,4+m)=(-1,4+m)

由=得(-1)+(4+〃?)=5,即〃广+8〃?+12=0,

解得〃?=一2或/w=-6,C错误.

.ab-3x2+4x4

由…，得…二府对

即向量。，8夹角的余弦值是手，D正确.

10.AC

解析：对于A,因为sin"二:，所以8=］或8=学，

266

因为从=今，所以8=?

5o

则C=3=g,则VA8C是等腰三角形，故A正确.

6

对于B,在〃ACO中，由余弦定理可得C£>2=4Z>2+AC2-24O.4CCOSA,

7

即_//=7,则6=2,

4

由正弦定理可得a=-sinA=2x/5,故B错误.

sinB

对于C,V48C的面积为:尻siM=G,故C正确，

对于D,周长为4+26,故D错误.

11.BCD

解析：由题意可得〃z+〃=2,A错误.

当avO时，/（0）=30-I<0,则冽>〃>0.

由二次函数的性质可知小+〃=2,0<n<l,则所以加一〃的取值范围是（0,2）,B正确.

I

因为〃z+〃=2,所以〃?=2-〃，所以2/+〃?2，『-n+2=2n——

4i+/

因为所以竺42(〃一口+身<3,C正确.

8I4J8

ri心八八41I/4\}\(4nm八、9

因为〃z+〃=2,m>0,〃>(),则rtI一+-z+—F-=——+—+5p—,

inn2ImnJ2\inn)2

4?

当且仅当〃?=QQ时等号成立，此时3"2=84+9,

JJ

设g(a)=3-2_&/_9,

因为g(T)=3、8_9=2>0,g(_；)=34+2_9=^_7="-肝<(),且函数g(a)连续,

所以存在，满足g(a)=O,

所以g(〃)=0有负数解，此时1唱(3"+2_8〃)=2,D正确.

12.M

解析：由余弦定理可得一劝ccosA=22+52-2x2x5xg=19,则。=胸.

13-4

解析：由题意可得sin（2a+胃）n71

=si•n2n(a+—I+—cos•2a+—冗)=l，-2csi.n~2fa+—兀).

727)7)

因为sin|a+—=-1»所以sin2a+^^\=1-2x2]

3I14J⑶9

则sinfa+吗+sin(2a+里[in+sin|2a+^-

I7JI14Jl14J

2I5

--1--=---

I7)9399

14.[2,8]

解析：记〃i=a+A，〃=a-〃，

则4+2/）=一机——n,a-2b=——，〃+一〃，

2222

因为4,+2b）•（万一%）=21,

所以（3而一”）（34—而）=21,

所以3〃/一10〃2〃+302+21=0,

设向量〃1,〃的夹角为。，

因为|〃?|=,+6卜3,

所以3〃2一30同cos6+48=0,

所以/+16=10同cos，410同，解得2封〃归8,

即卜一，的取值范围是[2,8].

15.（1）证明见解析

⑵[4

解析：（1）解法一：因为2/?cvosA=abcosC+accosB,

b2+c2-a2a2+b2-c2a2+c2-h2

所以2曲----------=ah-----------+ac-----------，

2bclablac

,a~+b~-c~a~+c~-h~

^Hn）b~+c~-a~=----------+----------,

22

所以k|c24=储，即从|°2=2".

解法二：因为2Z?crosA=abcosC+accosB,

所以2sinBsinGcosA=sinA（sinBcosC+sinCcos/?）=siMsin（4+C）.

因为A+8+C=乃，所以sin（8+C）=sin4,

所以2sinBsinCcos/\=sin2A,由正弦定理可得2Z?ccosA=6/,

再利用余弦定理得2bcm=/.

2bc

所以6+c?—"=。2,即/+C2=2〃2.

32

（2）由余弦定理可得/=〃2+02-2机85,则从+c?-万物=64.

32

由（1）可知6+C2=2"=I28,即128-正机=64，则历=34.

因为（方+。）'=从+2/?。+。2=128+2x34=196,

所以/?+c=14.

331

16.（\）AE=-AB+AD,BF=--AB+-AD

443

⑵-警

33

解析：（1）因为OE=3EC，所以。七二:。。=:48,

44

所以AE=4O+OE=+

4

因为4笈=3AP，所以"=以石=!4。+：48,

334

1113

则8/=A产-A4=-AO+—

3434

（2）因为NABC=120,所以N8AO=60.

因为A8=8,4。=6，所以4^=64，4^=36，A8AO=24,

则|AE|=J（AO+：AB）==6X/5,

22

Bf|=Al-AD--ADAB+—AB=2V7,

1Vv34JV9216

AEBF=\AD+-AB\\-AD--AB\=-AD2--ADAB--AB2=-36,

I4乂34J3216

屋…4AEBF-36V21

故cos2咐=网网=赤方=-亍.

17.⑴,f（x）=2cos（2x+：

⑵卜2,0]

⑶39兀

⑶一丁

0+里.

解析：（1）由图可知"”的一条对称轴为丫

人

28

则该函数的最小正周期7=4停用=兀.

因为丁=育，且0>0，所以G=2.

因为小）的图象经过点所以4COS（2X1+Q[=0,所以e=E+：（旌Z）.

ko\0/4

因为所以。二%

因为/("的图象经过点(o，&)，所以4cos；=^A=&,则A=2,

故f(x)=2cos卜x+

⑵因为一V,所以2喈71W号7n

]，贝Ijcos2x+-G

444j-阁

-兀，-即上的值域为卜2

故f")在

OL

(3)由/(力=1,即2cos2x+：)=1,得cos(：

2cxH—兀

4J2

则2x+—=2//z^+—ng2x+—=--(/??eZ),

4343''

解得X=/727T+—n£X=/7ZJI--(Z7/£Z).

2424''

因为xe[—3兀,0],所以.』二-7罢17r，x?47兀23兀55兀3171m

五,寸一不…24524五'

39，

n贝ilj.q+犬2+七+工4+&+X6=一——，

qq

即关于X的方程〃X)=1在-3兀,0］上的所有实数解之和为-宁7r

18.(i)Vio

/r、42x~-32/v

(2)y=---——,XG(4J2)

(3)8平方千米，4石千米

解析：(1)法I：x=6,即3C=6.

因为O是线段3c的中点，所以加=3.

在4ABD中，由余弦定理可得AD~=AB2+BD2-2AB-BDcos^ABC,

7

即2?=甲+32-2x4x3cos/A3C,解得cosZABC=-.

O

在NABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos/ABC=10,

则ac=M，即y的值是JiU.

法2：在△A8。中，由余弦定理可得A82=AO2+8£)2-2AO-8DCOSNBD4,

AD-4-BD2-AB-224-32-42

则COS/3D4二

2ADBD2x2x34

因为NBD4+/CD4=7t,

所以cos4CDA=-cosNBDA=-,

4

贝ijAC*2=AD2+CD2-2ADCDco$NCDA=10,

故AC=W，即y的值是J6.

(2)法1：在中，由余弦定理可得人£)2=A62+5Z)2-2A8.BDCOSNABC,

则22=42+(±]-2x4x-cosZ/lBC,即1/-4xcos/48C+12=0①.

在VASC中,由余弓玄定理可得AC2=AB2+6c。-2A6-SCcos/ABC,

贝ijy2=42+x2-2x4xcos/48C,即V一Sxcos^ABC+16-/=0@.

由①②，得),2=：工2一8,则)，=匕_8=以2_32,

2)\22

因为4_2<]<4+2,故4cx<]2,故y=J2r；—32，)正竹,即).

法2：在△A3。中，由余弦定珅可得人《2=A/)2+R/)2-2A/).A/)COS/A/)A,

2?+^2~42x2-48

AD2+BD2-AB2

则cos/8D4=

2ADBD2X2XL8X

2

22

同理可得8S""二四优%x-4y+16

8A-

因为N6D4+NCD4=7T,

所以cosNCD4+cosNBDA=0，

所以4+人.+监皿

f,

即丁=9_8,),=g-32,同法],其中4Vx<12,

2

故y="x；-名,xc(4/2).

16+y-x

(3)法1：在V/1RC中，CQSZBAC=

V44C的面积S=；x4),xsin/BAC

/"。北小2卬一、”，

则…“备卜4f卜32)2+64.

由(2)知Y=2^+16,

当『=32时，Sz取得最大值64,即5皿=8,

此时BC=72/+16=4石千米.

法2：因为。是线段8c的中点，

所以2AQ=A4+AC，

所以4m=