山东省菏泽市2024-2025学年高一年级下册期中数学（解析版）

2024-2025学年度高一第二学期期中考试

数学试题(B)

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一

项是最符合题目要求的.

1.下面命题中，正确的是()

A.若同=b,则。=gB.若同>b,则a>bC.若a=—b»则2//BA若同=0,则a=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的概念逐一判断

【详解】对于A,若|司二|可，但两向量方向不确定，则互不成立，故选项A错误；

对于B,向量无法比较大小，故选项B错误；

对干C，若不=一5,则两向量反向，因此不//B，故选项C正确；

对于D,若同=0,则日=0，故选项D错误.

故选:C

2.复数i-(l+i)的虚部是()

A.-1B.IC.-iD.i

【答案】B

【解析】

【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为。十万(〃力ER)的形式，则复数的虚部可求.

【详解】因为i,(l+i)=i+i2=—l+i,虚部为1.

故选:B.

3.已知向量力=(1,6),〃在万上的投影向量为一2不，且|=6,则cos//)=()

2B.一也11

A.c.D.

3223

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解.

【详解】依题意，向量5在2上的投影向量为空3=-2£,则丝二一2

由。=(1,JJ)，得|£|二/2+(e)2=2,于是75二—2|3|2=-8,又|/:|二6,

-ci-b—82

所以cos〈//〉==—上=-W

\a\\b\2x63

故选：A

4.设Z=-2+L则1在复平面内对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】先求出z,从而得到I，进而得到［在复平面内对应的点的坐标，从而求得答案.

【详解】由于z=-2+l=-2-i,故］=_2+i，

1

所以之在复平面内对应的点为（一2,1）,在第二象限.

故选：B.

5.在VA8C中，BD=DC＞通=2而.若而+在=4而+〃沅，则九十〃的值为（）

3421

A.—B.-C.-D.一

2533

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出义、〃的值，即可得解.

【详解】因为丽=成，所以4方=g（4月+A。），

_____2___,2_,

又荏=2方，所以在=a+赤=a+—而=一不己+—而，

33

所以而+在=g（而+|而=/而_;而,

又3B+CE=/l而+〃记，历、衣不共线,

2=—

A9

所以J],所以Z十〃=§.

故选:C

6.已知复数2=上三，W|JZ2O25=（）

l+i

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,再根据复数的乘方计算可得.

【详解】因为”号=(IT)：二j

(l+i)d-i)~

所以Z2025

故选：A

7.在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行

李包上的两个拉力分别为耳，耳,且园=|耳|,耳与耳的夹角为0,则下列结论中正确的是（）

A.6越小越费力，夕越大越省力B.。的范围为［0,兀］

C.当心当时，园=花|D.当6=5时，园=河

【答案】c

【解析】

一|G

【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得同卜-----0,根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断

COS2

B；将用的值代入计算判断CD.

【详解】如图所示，根据题意依次分析选项:

G

一一一°1一,

对于A,由于K+F；=G，且同=同则有同cos5T©,即园=------0.

C°S2

又同为定值，故。越小越省力，夕越大越费力，A错误；

对于B,当。=兀时，不+月=6,行李包不会处于平衡状态，即6/兀，B错误；

G1

对干C,当"』时，有同cosg=3恂,则园=恂,C正确;

对于D,当时，有同cos：=Jq,则行园=恂，D错误.

故选:C

8.在VA3C中，内角A3,C的对边分别为a,NA4C=120',c=2,〃=l,。为AC边上一点，且

々BAD-90"，则△八8的面积为＜)

A石BcV3DV3

A・ri.1✓・L/.

45610

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得！於3皿/加。=』0AOsin/D4C,可求A。：可求AACQ

222

的面积.

【详解】因为在V45C中，ZBAC=120S又D为BC边上一点,且—840=90，

所以NCAD=NBAC—NBAD=120-90°=30，

又S4ABe=SgBD+Sq。，

所以」Z?csin/3AC=—c'AD-sin^BAD+—h-AD-sin^DAC,

222

所以工乂1乂2乂^^=，乂2乂4£)+，乂1乂/40乂，，解得4£)=""，

222225

r-F-Hc_1,2>/31_73

Hf以S“n=-X1X----X-=----

小25210

故选:D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（）

A.zz为纯虚数

B.若目=2,则-=1

ZZ

C.若|z+i|=l,则z的轨迹是以（0,—1）为圆心，半径为1的国

D.若五一z=0,则iz+5=0

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,举例判断即可，对于B,根据复数模的性质分析判断，对于C,设Z=X+V[X,），£R）,

再由|z+i|二l可得答案，对于D,设2=。+沅，然后由iN-z=0可得a=。，再化简iz+5判断.

【详解】对于A,若z=（）,z-5=0,不是纯虚数，故A错误

11

对干B,因为忖=2,所以FT=—»故B正确

z目2

对干C,设z=x+)H(x,yeR),|z+i|=l即x2+(y+l)2=1,

表示圆心在（0,—1）,半径为1的圆，故C正确

对干D,五一z=0,设z=a+6i,则N=a—历

iz-z=ai+b—^a+bi)=b—a-^^a—b)\=O=>a=b

iz+5=i(a+oi)+a-4i=ai-〃+a-ai=0,故D正确

故选:BCD.

10.已知向量示=(1,6),万二(cosa,sina),则下列结论正确的是()

八

A.若&J_b,则tana=------

3

B.若U〃B,则a=Q

J

C.若方在5上的投影向量为-!4,则向量不与〃的夹角为4

43

D.卜一同的最大值为3

【答案】ACD

【解析】

【分析】应用向量垂直计算判断A,应用向量平行得出正切进而得出角判断B,根据投影向量公式计算得

出夹角判断C,应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D.

【详解】对于A,由万，得8sa+6sina=0，因此lana=-^^，故A正确；

3

对于B,若,则J?cosa=sina，所以tana=J5，所以a=1+E，keZ,故B错误；

对于C,因|引=2,|刈=1,

由■在日上的投影向量为一!己二万cos❷万,5*acos♦万，〃❷

•五,解得cos。］,

4引一22

一-2元

又.2〃心［。,可，.•.♦7方.=可,故C正确;

对干D,因=(1,6)—(cosa,sina)=(l-cosa,G-sinab

2

故|2=(l-cos«)2+(百一sina)=5-仅Gsina+2cosa)=5-4sina+—,

6)

当$ina+—=-1即YU+2E(ZeZ)时,

I6)

也即a=-}-+2E(k£Z)时，|白一5|2取得最大值9,即|日一万|的最大值为3,故D正确.

故选：ACD.

11.在VA3c中，角ARC所对的边分别为“c,asin8=/”皿史£,。=3,。为VA3c外接圆

2

圆心，则下列结论正确的有（）

7T

A.A二一B.VA3C外接圆面积为12兀

3

C.BOBC=-D.S.八8c的最大值为2叵

204

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角4可利用正余弦定理、

三角形而积公式、数量积运算计算判断各选项作答.

【详解】在VA/C中，由正弦定理及〃sin8=Z?sin史三得：sinAsinB=sinBsinf

22

AAAAJ\reA

而sin3>0,则有sinA=cos—,即2sin—cos—=cos—,又0<一<一,cos—>0,

2222222

则sing=《，所以g=即4=工，A正确；

22263

R=L，=_L._L=G

由正弦定理得VA8C外接圆半径2sinA2.兀，该圆面积兀斤二3兀，B错误;

sin—

3

-----------]9

如图，BOBC=\BO||BC|cosZOBC=-aa=~,C正确；

22

由余弦定理得：9=a2=b2+c2-2/?ccos->2bc-be=be,当且仅当〃=c=3时取等号,

3

因此S"c=L/?csinZ=X^/2c<2^，D正确.

△八8c2344

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.请写出一个满足目=1的复数z=.（写出一个即可）

【答案】i（答案不唯一）

【解析】

【分析】写出符合题意的答案即可.

【详解】令2="则忖=1，

故答案为：i（答案不唯一）

13.如图，在边长为3的正方形/WCQ中，DE=2EC＞若P为线段BE上的动点，则Q.而的最小值

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值.

【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系，

由正方形边长为3且。月=2EC，

可得4（0,0）,3（3,0）,。（0,3）,£（2,3）,

设丽=2丽=（—432）,2G[0,1],则尸（3-434）,

则丽=（3—43；1）,方=（3—23/1_3）,

故丽•丽=（3—41+34（34—3）=1042-154+9=+孩

327

故当“二时，而.而取得最小值为可.

故答案为：—.

8

14.深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形A3C及以

弦BC和劣弧3c所围成的弓形所组成，其中48=AC,劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为

0.已知=外接圆的半径是2,则该图形的面积为.

【解析】

【分析】由题意及图形分别求出三角形A8C及弓形面枳可得答案.

【详解】如图将圆0补充完整，连接OB,0C,取3C中点为连接A。.

兀

因=/R4C为8C对应的圆周角，/BOC为3C对应的圆心角，

6

则N80C='，△QBC为正三弟形，又外接圆半径为2,则弓形面积为

3

,c1兀62兀

扇形BOC-SA80c=5X3x4---x4=--瓜

因A5=AC,则三角形ABC为等腰三角形，AZ）平分角/84C.

BD.n1

r,兀r---=S1I1—=>13A=------

则/BAD=—，又BD=1,则BA12.兀.

12sin—

12

7171.7171兀.兀V6-V2

又sin乌=sin=sin—cos——cos—sin—

125-4>3434~4~

则4=显6,则S6ABe=4A52sinNa4C=，x(G+>/^yx，=2+G.

v6—v222'，2

则图形面积为；--V3+2+V3=—+2.

33

故答案为：=+2.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在复平面内，复数z=（>-2加一8）+（〃/+3〃L10）i,〃!wR.

（1）若复数z对应的点在虚轴上，求实数加的取值范围；

（2）若复数z对应的点在第二象限或第四象限，求实数，〃的取直范围.

【答案】（1）一2或4

（2）2<〃?<4或-5vm<-2.

【解析】

【分析】（1）依题意可得实部为0,解得即可；

（2）依题意可得（小2—2，〃—8）（j/+3m—10）<0,解不等式即可得解.

【小问1详解】

由题意得nr—2m—8=0，解得m=-2或m=4：

【小问2详解】

复数z=（〃?2—2机一8）+（〃P+3，〃—10）i在复平面内对应的点为（加1-2W-8,/772+3加一10）,

依题意可得一+3〃?-10）<0,

fnr-2加一8>（）trr-2加一8<0

则<或.

nr+3m—10<0nr+3/?z-10>0

解得一5<〃z<—2或2<加<4,即实数小的取值范围为一5<<一2或2<〃?<4.

16.已知向量白=（2,3）,万=（1,2）,1=%+5（攵£R）.

（I）若向量^与值-3万共线，求实数上的值;

（2）若向量乙与B的夹角为锐角，求实数Z的取值范围.

【答案】（1）k=-\

3

⑵（0,-HX?）

【解析】

【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知须出一工2»一。，即可求出参数值;

（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是M石＞0.目匕与〃不共线，从而可得不等式组求解即可.

【小问1详解】

由题意可得5=%+1=（2次+1,3次+2）,5-3^=（2,3）-3（1,2）=（-1,-3）,

若向量下与2-3石共线，可得一3（24+1）+32+2=0,

解得Z=-g.

【小问2详解】

若向量E与B的夹角为锐角可得26＞0,且^与B不共线,

（22+1）+2（3左+2）＞0

即可得＜

2（22+1）/34+2

解得女且/H0,

即实数上的取值范围为{〃|〃＞一』且々#0}

8

17.如图，在VA8C中，4点=一人反函=一围.设A月.

23

（1）用口6蓑示AN,MN、

一41-

（2）若尸为VA8C内部一点，巨BP=一一G+一匕.求证：M,P,N三点共线.

99

___21____11-

【答案】（1）AN=—a+—b,MN=—a+—b

3363

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）借助向量加法法则与•减法法则计算即可得；

（2）借助向量线性运算法则可用日石表示出MA，再利用向量共线定理推导即可得证.

【小问1详解】

AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-（AC-AS]=-AB+-AC=-a+-b,

33、,3333

MN=AN-AM=-AB-^-AC--AB=-AB+-AC=-a+-b；

3326363

【小问2详解】

~MP=~BP-~BM=BP+-AB=--a^-b+-a=—a+-b,

2992189

-----1]—__

又MN=-a+-b,故丽=3赭P，

63

故M,P,N三点共线.

18.已知复数马=2sin6-J5i,4=l+(2cos6)i,^G[O,JI].

(i)若4=z2,求角e；

(2)复数4，z?对应的向量分别是。，b,

(i)求队6的取值范围；

(ii)存在夕使等式(/14一6)・(2-/16)=。成立，求实数2的取值范围.

【答案】(1)—

6

rr、

(2)(i)—25/3,4,(ii)卜叫-——,+oo

_*)

【解析】

【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解：

(2)(i)利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出『6的取值范围；

(ii)利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为义和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进

而计算义的取值范围.

【小问1详解】

二马=2sin6-后,3=l+(2cos6)i,且4=z2,

।巧

2sin/9=1,2cos9=-\/J，即sin8=—,cos6=------，

22

又。£[。,可，故。=2.

6

【小问2详解】

(i)由复数的坐标表示可得，a=(2sinO,-G),B=(l,2cos。)，

：.db=2sin20cos。=4sin[。一]

又。£[0,司，则一工工。一殳42.

333

・♦・当=g时，限6取最大值为4,当6-々=一^时，取最小值为一26,

...晨6的取值范围为|"一2四,41；

(ii):己二(2sin9,-G),5=(l,2cos^),

Za-b=(22sin6?-l,->/32-2cos^ja-Ab=(2sin，-4--24cos，)

又(41一万)•(1-〃)=(),则(21sin9—l)(2sin夕一4)+(—一2cos夕)(一G-24COS0)=0,

化简得，824-(22+l)(2x/3cos<9-2sin<9)=0,

82…1八兀1由小问(i)的结论可知4sin，一弓w「一26,4

=4sinI0——3J

,,F7ik37L

84解得或八4'

—2>/3«<4,

A2+l

综上所述，2的取值范围为：卜8,-百卜一芋+8.

19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作

一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三

个内角均小于120。时，使得NAOB=NBOC=NC0A=120。的点。即为费马点；当VA8C有一个内

角大于或等于120。时，最大内隹的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知VABC的内角A,

B,C所对的边分别为小〃，c,且cos2B+cos2C-cos2A=l.

(1)求角4

(2)若。c=6,设点2为VA6c的费马点，求丽・丽+而•元+无•丽；

(3)设点尸为VA8C的费马点，|P3|+|PC|="B4|,求实数/的最小值.

【答案】⑴A二£

2

⑵-26

(3)2+26

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简COS23+COS2c-8s2A=l可得〃2=/+。2,即可

求得答案；

（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案：

（3）由（1）结论可得N4P3=/8PC=NCQ4=J,设|PB|=m|PA|,|PC|=〃|PA|,|PA|二x,推

3

出m+〃=，，利用余弦定理以及勾股定理