2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷（人教A版必修第二册第六章~第九章高效培优）（全解全析）

高一数学下学期第三次月考卷（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生多•必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第六章〜第九章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设复数2=尹2，5■是z的共施复数，则彳的虚部为（〕

1-1

A.-B.--C.-iD.--i

2222

【答案】B

则5=-；-手，则三的虚部为一今

2.已知X[,w，…，毛的平均数为3,则5须+2,5/+2,…，5与+2的平均数为（）

A.5B.7C.17D.25

【答案】C

【详解】•=再+―+/+…+£=3,所以5占+2,5々+2,…，5/+2的平均数为

n

（5再+2）+（5.+2）+（5刍+2）+…+（5x°+2）5（x〔+x,+…+x”）+2〃_

3.已知/,加,〃为三条不同的直线，a，D为两个不同的平面，则以下选项正确的是（）

A.若，小〃ua,帆///7,〃///,则

1/14

B.若aC\p=l,m!/a,ml/p,则〃?/〃

C.若mLa.aLp,则

D.若aJ_⑸aDp=/,/n_L/,则mla

【答案】B

【详解】对于A，面面平行的判定定理要求加，〃相交，若mUn,则a,P可能相交，故A错误；

对干R•过加作平面1交a于。.则加,过加作平面b交6干/>,则加〃6.故Mia，

又。不在平面夕内，又bu平面夕，所以“//,而an/=/,aua,故a/〃，故〃"〃，故B正确；

府于C,若m工a,a上万,贝ijmu夕或mHp,故C错误；

对于D,若a_L/?,ac4="〃_L/,如果或/〃ua,则不能判断〃?la,故D错误.

4.如图，某建筑物的高度8C=300m,一架无人机。上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15。，地面某

处4的俯角为45。，且々力。=60。，则此无人机距离地面的高度.。。为（）

A.100mB.200mC.300mD.200vlm

【答案】B

JC=^C_=3OO=2()OVJ

【详解】由题意，在Rt△48C中，Z5JC=60%8C=300,所以sin60°7r

在力C。中，N4QC=450+15°=60。，AQAC=180°-45°-60°=75°,

所以/%。。=180。-75。-60°=45°,

由正弦定理，-^-=^^n.4O=4Csn450=200”1二200匹.

sin45°sin60°?sin600正

又ZWQ为等腰直角三角形，所以P。=力。.sin45。=20072x号=200.

故选项B正确.

5.给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底卜，斗满足24石，则称｛瓦可为平面向量的正交基

底.现在任取平面向量的一组基底归，可，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（）

2/14

e.-

A.,B.彳，，6+~^re>

F

qe-

c.D.

【答案】D

【详解】选项e+^p-e2

Al2=lej+［；,，“J'考虑反例［1W，此时该式=［「H0,错误；

INJ

e.e^-

B选项e+

2Fl2hl

当［不与可垂直时，该结果就不等于0,错误;

笔小’可考虑反例I_L此时该式=|可2=0,错误:

C选项6,6-

E

=eeeeeeee=0

D选项e2-£L£L7^i--ha-\'\=i-2-r2＞因此这两个向量垂直，正确.

同

6.某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学

生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学、高中的学生人数

之比为3:2,则样本容量为()

A.460B.690C.880D.980

【答案】C

【详解】设样本中小学学生人数为3x,则高中学生人数为2x,所以3x-80=2x+4(),

解得x=120,即高中学生数为2x=240,初中学生人数为2x+40=280,

小学学生人数为3x=360，样本容量为240+280+360=880.

7.引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主耍测试学生上肢力量.在对某岛中1000名岛一、岛二

年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取10()人，已知这100()名学生中高一年级

男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74,高二男生成绩的平均数和

方差分别为6.5和5.34,则总体方差/=()

(附：/=；5：+(］一万J+十口；+(石一万)［)

A.6.42B,6.18C.5.96D.5.84

3/14

【答案】A

【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有I。。＞黑=60人，高二男生有40

IUUU

人，

记高一男生成绩的平均数和方差分别为1=5.5和s；=6.74：

高二男生成绩的平均数和方差分别为兀=6.5和父=5.34,

60x5.5+40x6.5

则样本平均数为万==5.9,

100

样本总体方差』二言〔6.74+（5.5-5.9）］+器［5.34+（6.5-5.9）［=（x6.9+］x5.7=6.42.

8.已知A4?C的内角4SC所对的边分别是。也c,若“=1,4=135、则.甘上二的值为（

)

smn+2sinC

A.2V2B.V2C.qD.包

24

【答案】B

b_c_a_\

【详解】由正弦定理，得sinBsinCsinJ&

­

”,।b+2cs

，r'sin^+2sinC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.有一组样本数据王,工2,…,乙，由这组数据得到新样本数据必，为”，其中乂=g+/＞（«＞0）（/=1,2,

则下列说法正确的是（）

A.若样本数据芭,々，…，4的极差为“，则样本数据必，多，…，”的极差为

B.若样本数据芭,与，…，%的中位数为N,则样本数据乂,为，…，B的中位数为4N

C.若样本数据和占,…，匕的平均数为亍,则样本数据如为…，片的平均数为应+6

D.若样本数据X”/,…,x”的方差为一,则样本数据乂,必,…，尤的方差为

【答案】AC

【详解】若样本数据百/2,…，马的极差为“，中位数为N,平均数为亍，方差为则样本数据乂,外，…，”

的极差为必力，选项A正确;

4/14

中位数为，N+M选项B错误;

平均数为近+。，选项C正确;

方差为选项D错误.

10.下列命题正确的是（）

A.在△44C中，（胚+项）.正=|祝。则△力4C的形状一定是直角三角形

B.若/,B,C,。四点在同一条宜线上，且48=CQ,则而=而

C.平行四边形力8C。中，^\AB+AD\=\AD-AB\,则四边形力〃。。是矩形

ABCA

D.三个不共线的向量历，反，满足而•扃洞J【网

则。是的内心

【答案】ACD

【详解】因为（而+就）・抚=|正『=抚2,所以（而十初一配）•衣=0,

得那.抚=0，则而1万，

故△48C的形状一定是直角三角形，故A正确；

由于四点的相对顺序不确定，故B错误；

因为河+而卜回-画，且48CO是平行四边形，所以园=|叫,

所以四边形48CQ是矩形，故C正确;

ABCA

因为与+三与△力8c中//的外角平分线平行，且。儿=0

\AB\\CA\AB\CA

所以。4是//的角平分线,

同理，04是的角平分线，0c是NC的角平分线,

故。是△/BC的内心，故D正确.

II.已知三棱柱力BC-44G为正三棱柱，旦力4=2,AB=2g,。是4G的中点，点?是线段4。上的动

5/14

点，则下列结论正确的是（）

A.四面体力-BG4外接球的体积为空叵

3

B.若直线P8与底面力8。所成角为e,则cose取值范围为浮，当

c.若4P=2,则异面直线解与8G所成的角为g

D.过〃。且与力尸垂直的截面a与4尸交于点£,则棱锥P-〃C£体枳最小值为地

【答案】AB

【详解】

对于A,四面体4-8G4外接球即为正三棱柱48C-44G外接球，

因为ZUBC外接圆的半径,一2^x26=2,且|泡卜2,

设正三棱柱48C-外接球的半径为R,设正三棱柱的高为h=\AA\=2,

则由方=仅=B故其体积为3兴=型普，A正确;

（2

对于B,取8c的中点尸，连接AF,BD,4。，

由正三棱柱的性质可知平面产1平面ABC,

.八|Ml21

所以当点尸与4重合时，。最小为乙844，sinZBAA}=p-=-=-.

42

/npr\DF\22中

sin/.DBF=\---f[=----

DB

当点。与。重合时，0最大为ZDBF,\\pTsf2：

所以sinde，易求得cosOe,B1E确；

6/14

对FC,将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱,

则NG4P（或其补角）为异面直线4。与8G所成的角，|4G|=|8cb4,|力0|=2后，

因为NG4G=60。，NG4£>=30。，所以NG4Q=90。，所以侬=J（2石y+2?=4,

所以co$NG/P=立，即NG/P/Z,C错误；

43

对于D,因％=；K2X^^X（2>/5）=25/3,

故要使三棱锥P-8CE的体积最小，则三棱锥七-月8。的体积最大，

设8c的中点为尸，作出截面如图所示，

因为彳P_La,所以力P_LM,所以点E在以4尸为直径的圆上，

所以点E到底面48C距离的最大值为!/户|=

2222

VZ

所以三棱锥P-BCE的体积的最小值为2力-；xTxTXM=T,D错误.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设复数z=lg（〃/-2/〃-3）+（用2+3〃?+2）i,当实数胴=时，z是实数.

【答案】-2

【详解】因为复数N=lg（*-2〃?-3）+（"/+3m+2）i是实数，

▼,I-2in-3>0

所以<,.._»解得加=一2，

m~+3m+2=0

所以当〃?=-2时，z是实数.

13.现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验,将它们编号为000,001,002,...499,利用随机数表抽取样本,

从卜衣第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从卜一行第一个数继续.则抽出的

第三袋牛奶的编号是______

35025839212067663016478591695556719

98105071851286735807443952387933211

【答案】169

【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：206,301,169,-,

7/14

所以抽出的第三袋牛奶的编号是169.

14.已知三棱锥S-4?。为正三棱锥，SA=3,AB=26,若尸为正三棱锥S-45C的外接球球面上的一个

动点，Q为△力台。内切圆上的一个动点，则归。|的最大值为.

【答案】吟匝

【详解】如图，设球心为O,外接球的半径为尺，△力〃。的内切圆圆心为Q,

则S、。、。三点共线，连接。。、0。，

在&SCQ中，由勾股定理得sq=，2-乎.如)=后,

在4。。°中，由勾股定理得。。：+。02=。。2,

即(石-町+22=心整理得R=噜，

设△48C内切圆的半径为「，则有=$(Z18c，

X2xgx(2埒

故双•一4\1_］，

%-3x26

由。是a/BC内切圆上一点，则QO=i,

在直角△oq。中，由勾股定理得。。；十。©2=。。2,

即。。水笔»霜.

则叱3+1。0|=*尊二吗叵

当且仅当〃、0、。三点共线且。在P、。之间时等号成立.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8/14

15.(13分)已知复数z=(〃/+〃?-2)+(4-〃?，i,meR,i是虚数单位.

(1)若复数z是纯虚数，求小的值：

(2)当机=-1时，复数z是关于x的方程、2+川+夕=0的一个根，求实数p,的值.

【答案】(1)1(2)〃=4M=13

【详解】(1)因为复数z=(〃?22卜(4叫i是纯虚数，所以7+丁：=°.

'''74—"W0

由〃/+-2=（加一1）（〃？+2）=0,解得/〃=1或m--2.

当加=1时,4-zn2=3*0＞符合要求;

当加=-2时，4-〃/=0,不符合要求，舍去，

所以小的值为1;

(2)当机=-1时，复数z=-2+3i,

由题意知复数z=-2+3i是关于X的方程/+px+q=0的一个根.

因为方程F+px+qnO的系数P，«为实数，

所以方程的另外一个根是z的共轨复数彳=-2-31

[(-2+3i)+(-2-3i)=-p

所以由韦达定理可得""，

p=4

解得日

g=13

16.(15分)为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台44。。-44G"

建筑.

(1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台48CO-/£CQ的体积;

(2)求该正四棱台44。。-44弓"的侧面积；

9/14

【答案】⑴竿(mh2)64口(m)

【详解】(1)因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10,高为8,

故正四棱台48CQ-4£G2体积为尸=(、仅2+102+行而卜8=竿(]/),

(2)记«,O分别为楼台上、下底面的中心，分别取8g,8。的中点M,M

连接OQ,O\M,ON,MN、在梯形QMNO中，过用作A/〃_LON于〃，

由干正四棱台侧面是全等的等腰梯形，且QO=M〃=8,O1M=3,ON=5,

所以〃N=2,所以MN=dMH，+HN?=而+2?=2g，

故该正四棱台的侧面积为S=4xgx(6+10)x2jF7=64M(m)

17.(15分)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“仓J建文明城市''知识竞赛，从所有答卷中随机

抽取100份作为样本，将样本的成绩分成[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125]这五组,得到

(1)估计样本成绩的平均数及方差；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)已知落在[75,85)内的平均成绩是80分，方差是4分，落在[85,95)内的平均成绩是88分，方差是6分,

求两组成绩合并后的平均数z和方差?.

附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为〃?，豆，M；〃，弓，尺,记两组数据总体的样本

10/14

平均数为口则总体样本方差一=」一卜：+«—F)2]+」-H+(E-沔2].

【答案】(1)平均数100,方差104(2斤=86.5,52=15.375

【详解】(1)由频率分布直方图得，

平均数7=10x(80x0.006+90x0.026+100x0.038+110x0.022+120x0.008)=100,

方差s"=(80-100)2x0.006x10+(90-l00)2x0.026xl0+0

+(110-100)2X0.022X10+(120-100)2X0.008X10=104.

(2)第一组[75,85)的样本容量M=100x0.()06x10=6,吊=80,s：=4,

第二组[85,95)的样本容量“=100x0.026x10=26,另=88,s；=6,

,人v,①―6x80+26x88「

所以合并后的平均数Z=——--=86.5,

6+26

贝ljJ[4+(80—86.5尸]+[6+(88—86.5)[=15.375.

18.(17分)在锐角三角形△48。中，角4区C所对的边分别为。也c,且满足:

sinCsinP-sin*,「

----=------；-----+1,"nC

sin5sin"

(1)证明:力=28；

(2)求』的取值范围.

c+2b

【答案】⑴证明见解析⑵岛€

【详解】(1)在△力8c中，因为包工=电£回逆+1,由正弦定理可得，£

sin8sin-/lba~

由余弦定理知，62=/+°2_2«8s8,则：=2"TJ

ba

所以a=2bcos8,即sinJ=2sin8cos8,所以siM=sin28,

所以/=28或4+28=兀.

若4+28=汽，因为力+8+C=;r,所以8=C,与已知条件矛盾，不满足.

故4=28.

(2)当△力8c为锐角三角形时，()</<],()<8<5，()<C<5,

即：0<B<-,0<2B<-,0<n-3B<-t所以Be(四，色

222(64)

11/14

a_sinJ_sin28_sin28_sin28

c+2bsinC+2sin5sin38+2sin8sin(28+8)+2sin8sin28cos8+cos28sin8+2sin8

_sin23_sin28

2sinBcos25+(l-2sin2町sin8+2sinB2sinB(l-sin28)+(l-2sin?邛sinB+2sin8

_sin2B_2sin4cos6_2cos5

2sin8-2sin，4+sin4-2sin"+2sinB5sin5-4sin?B5-4sin2B

2cosB_2

-1+4UOS^-4COS5+^.

cosB

令y=4/+；=41+2）由对勾函数性质可知y=4/+；在（；,+力）上单调增,

所以4/+；中心半（则亡c〔（余

19.（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-44GA，下部是正四棱柱

48CO-44GD（如图所示），且正四棱柱的高。。是正四棱锥的高pq的3倍.

（1）若4B=6,pq=2,求该几何