人教版八年级数学下册讲义 第08课 勾股定理 全章复习与巩固（学生版）

第08课勾股定理全章复习与巩固

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课程标准

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

3A知识精讲

知识点01

勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边久人的平方和等于斜边c的平方.（即:)

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为6的线段.

知识点02勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其

中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长久b、C,满足。2+从=/,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边.不妨设最大边长为C：

（2）验证与/+匕2是否具有相等关系，若片+〃=/,则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反之，

则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程V+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以不、y、z为

三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（以b、。）是勾股数，当t为正整数时，以山、"、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、C,且。<0<C,那么存在/=〃+c成立.（例如④中存在7?=24+25、

92=40+41等）

知识点03勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

B能力拓展

考法01勾股定理及逆定理的应用

【典例1］如图所示，直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90",AD=36,AB=104，BC=85/5,E是

AB上一点，且AE=4逐，求点E到CD的距离EF.

【即学即练】如图所示.在/\ARC中,D是RC边卜的点,已知AD=12,AC=15.BD=5,求DC的

长.

考法02勾股定理与其他知识结合应用

【典例2】如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米,

CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

c二二二二二二二二二n

C

A・

【叩学即练】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最

短.求EP+BP的最小值.

【典例3】如图所示，等腰直角AABC中，ZACB=90°,E、F为AB上两点（E左F右），且NECF=45°,

求证:线段AE,BF,EF之间的数量关系.

c

【典例4】在AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a'b'g?时，AABC是直角三角形;a2+b2^c2

时.利用代数式a?+b2和cd的大小关系,可以判断△ABC的形状（按角分类）.

（1）请你通过画图探究并判断：当AABC三边长分别为6,8,9时，AABC为三角形；当△ABC三

边长分别为6,8,11时，ZSABC为三角形.

（2）小明同学根据上述探究,有下面的猜想："当l+b'c?时，AABC为锐角三角形；当a2+b?Vc2时，AABC

为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当a=2,b=4时，最长边c在什么范围内取值时，aABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

考法03本章中的数学思想方法

1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问

题转化为直角三角形问题来解决.

【典例5】如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的

点，且DE_LDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.

【即学即练】已知凸四边形ABCD中,ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,

求证：BD2=AB2+BC2

2.方程的思想方法

【典例6】如图所示，已知△ABC中，ZC=90°,ZA=60°,a+b=3+y/3，求a,〃,c的值.

【即学即练】直角三角形周长为12。〃，斜边长为5。〃，求直角三角形的面积.

【即学即练】如图所示，在aABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点

以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时,

△EPQ的面积为多少？

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）.

A.1.5,2,2B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

2.在同ABC中，0A,团B,13C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果她一加=（3C,那么0ABC是直.角三角形

B.如果a2=b2Y,那么0ABC是直角三角形,且回C=90°

C.如果团A：0B:0C=1：3：2,那么团ABC是直角三角形

D.如果a2：b2：c2=9：16:25,那么0ABe是直角三角形

3.如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BD是aABC

的边AC上的高，则80的长为（）

A.—V26B.—V26C.—V13D.—V13

1313713

4.如图，在四边形力8c。中，ND=NAC/e=90。，8=12,4)=16,4c=15,贝().

D

A.20B.25C.35D.30

5.已知R/.A4c中，0C=9O°,若a+〃=14cm,c=10cm,则用AA4c的面积是()

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6.如图，已知中，NA3C=45。，F是高AD和跖的交点，AC=0BD=2,则线段。尸的长度为

()

A.2\/2B.2C.>/3D.1

7.如图，圆柱的底面周长是24,高是5,一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短

A.9B.13C.14D.25

8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形若府A5c是“匀

称三角形〃，且NC=900,AC>BC,贝1」47:8。：4?为（）

A.61:2B.2：G：6C.2:1:5/5D.无法确定

9.如图，将矩形"CO沿对角线4。折叠，使点。落在/处，B/：交AO于点E.若阴。C=62。，则团。£五

的度数为（）

AD

C.62°D.56°

10.如图，在RJABC中，AB=AC,NBAC=90°,点D,E为BC上两点.zfDAE=45°,F为.ABC外一

点，且咫_L8C,FAA.AE,则下列结论：

①CE=BF；@BD2+CE2=DE2;③SaADE=：AD-EF；（4）CE2+BE2=2AE2»其中正确的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

题组B能力提升练

11.如图，一个池塘，其底面是访长为10尺的正方形，一棵芦苇48生长在它的中央，高出水面的部分上。

为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部“恰好碰到岸边的夕，则这根芦苇

的长度是尺.

12.如图，等腰AA8C中，AB=AC,8c=10,3O_LAC于。，且30=8.则叉虫=

A

D

B

13.如图，在四边形ABC。中，AD=2五,AB=2币,8c=10,8=8,ZBAD=90°,那么四边形ABC。

的面积是,

14.如图所示，在数轴上点4所表示的数为“，则〃的值为

高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到8点，那么它爬行的

最短距离是,cm.

题组C培优拔尖练

16.已知直角三角形的两条直角边的长分别为26+1和26-1,求斜边c的长.

17.在四边形A8CD中，乙4=/8=90。，石为A8边上的点.

(1)连接C£，DE,CE±DE；

①如图1,若AE=8C',求证：AD=BE；

②如图2,若AE=BE,求证：CE平分NAC。；

(2)如图3,尸是/BCD的平分线CE上的点，连接圻DF,若8C=4,CD=6,BF=DF=—,求

2

C2的长.

18.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，

如图，有一台风中心沿东西方向由A行驶向B,已知点C为一海港，且点C与直线上的