人教A版高一数学暑假预习：函数的应用（一）（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

3.5函数的应用(一)

【题型解读】

【知识储备】

1.实际问题中函数建模的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代

入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

2.一次函数模型的应用

一次函数模型：儿r尸去+伙A力为常数，原0).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

3.二次函数模型的应用

二次函数模型：/口)="2+区+03力工为常数，存()).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

4.幕函数模型的应用

幕函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)限据题意，直接列出相应的函数关系式.

5.分段函数模型的应用

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛

的应用.

6.“对勾”函数模型的应用

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：)，二蛇+白伍＞0力＞0),当工＞0时，在。

X

］上递减，在+8)上递搜.另外，还要注意换元法的运用.

【题型精讲】

【题型一一次函数模型的应用】

例I（2022•河北・武安市第一中学高一期末）我国占代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金

出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关王而税一，次关六而税一，并五关所税，适

重一斤，问本持金儿何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的第2关收税金为剩

余金的;，第3关收税金为剩余金的;，第4关收才兑金为剩余金的。，第5关收税金为剩余金的9，5关所

3456

收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（）

A.2斤B.1斤C.g斤D.历斤

【题型精练】

1.（2022.山东.济南一中期中）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售

出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________.•

2.（2022•安徽宣城市•高一期末）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为），

=6x+3OOOO.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）

A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套

【题型二二次函数模型的应用】

例2（2022・山东济宁•高一期中）如图，有一长AM=3（）米，宽AN=2（）米的矩形地块，物业计划将其中

的矩形48co建为仓库，要求顶点。在地块对角线MN上，出。分别在边AM.4V上，其他地方建停车场和

路，设AB=x米.

则矩形ABCD的面积S关于/的函数解析式为

【题型精练】

1.（2022・四川凉山•高一期末）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品

x万件时的生产成本为C（x）=gd+2x+20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个

月应生产该商品数量为万件.

2.（2022•河北石家庄期中）某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x（xwN.且

x>l）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为x（x+2。）万元，该项目每年运行的总收入为50万元.

⑴试问该项目运行到第几年开始盈利？

（2）该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：

①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；

②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出.

假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由.

3.（2022•河北张家口•高一期末）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山新能源汽车环保、

节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025

年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年

初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末（xeNj每台设备的累计维修保养费用为

（3CO/+32OOX）元，每台充电桩每年可给公司收益8000元.（加。4.36）

（1）每台充电桩第几年年末开始获利；

（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.

【题型三分段函数模型的应用】

例3（2022•绥德中学高一期末）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每口

115元.根据经验，若每辆自行车的FI租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1

元，租不出去的自行车就增加3辆.

旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y

表示出租所有自行车的日净收入.（日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）

（1）求函数>=/（x）的解析式；

（2）试问口净收入最多时每辆自行车的口租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？•

【题型精练】

1.（2022•北京大兴•高一期末）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规

律：每生产产品x（百台），其总成本为6（片）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产

成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入"1）（万元）满足：

+y-°&°""吗假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:

10.2（x>5）

（1）要使工厂有扁利，产量x应定制在什么范围？,

（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？•

2.（2022・河南开封•高一期末）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开

幕.冬奥会吉祥物"冰墩墩'’早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“墩难求”，并衍生出很多不同品类的

吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩''玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x

万盒，需投入成本〃万元，当产量小于或等于50万盒时/?（x）=180x+l（X）；当产量大于50万盒时

/Z（A）=X2+60x4-3500,若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售

完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价x销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

⑴求“冰墩墩'’玩具手办销售利润），（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

（2）当产后为多少万盒时，该企业在牛产中所获得利润最大.

3.（2022・陕西・长安一中高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/

柴洵车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备

看，通过市场分析，全年需投入同定成本3000万元，每生产%（百辆）需另投入成本），（万元），且

10_?+200.%0<%<40,

）'=）》10000，八由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

601x+------4500/240.

x

（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数美系式：（利润=销售额减去成本）

（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.

【题型四“对勾”函数模型的应用】

例4（2021•广西高一期末）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园A8CQ,公园

由矩形的休闲区（阴影部分）A渴CQ和环公园人行道组成，已知休闲区4用GR的面积为1000平方米，

人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米.

（1）求矩形A8CZ）所占面积S（单位：平方米）关于*的函数解析式；

（2）要使公园所占面积最小,问休闲区A8GR的长和宽应分别为多少米？

【题型精练】

1.（2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带

来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟）满足2qK2O,，eN“，经测算，在某

一时段，地铁载客量与发车时间间隔£相关，当103420时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当

2口＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10-，）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560

人,记地铁载客量为P&）.

（1）求P"）的解析式；,

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为。=皿匕鹏-360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时

段这条线路每分钟的净收益最大？

2.（2022・安徽宣城•高一期中）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成

严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步

复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促

2

销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）xTJ件与年促销费用，〃万元（〃之0）满足k4-

m+\

已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为E&万

X

元/万件（产品年平均成本）的L5倍.

⑴将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用机万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

3.（2022・广东深圳•高一期木）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加然、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装

材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料

上多投入x（l<x<l。）万元，珍珠保的销售量可增加〃=生吨，每吨的销售价格为（3一心］万元，另外生产

x+1IP）

〃吨珍珠棉还需要投入其他成本4万元.

（I）写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系；

（2）当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？

3.5函数的应用(一)

【题型解读】

【知识储备】

1.实际问题中函数建模的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

⑵建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征止确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此

解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

2.一次函数模型的应用

一次函数模型：«x)=kx+b(k,b为常数,原0).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

3.二次函数模型的应用

二次函数模型：J(x)=ax2+bx+c(a.b.c为常数.cM).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最

省等最值

问题常用到二次函数模型.

4.幕函数模型的应用

寻函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

⑵根据题意，直接列相应的函数关系式.

5.分段函数模型的应用

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问

题中具有广泛的应用.

6.“对勾”函数模型的应用

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：产”+2(〃>()力>()),

X

当Q0时，在上递减，在（、上,+8）上递增.另外，还要注意换元法的运用.

【题型精讲】

【题型一一次函数模型的应用】

例1（2022•河北・武安市第一中学高一期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问

题：”今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，

次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关,

第1关收税金为持金的;，第2关收税金为剩余金的!，第3关收税金为剩余金的;，第4

关收税金为剩余金的工，第5关收税金为剩余金的!，5关所收税金之和恰好重1斤，则此

56

人总共持金（）

A.2斤B.1斤C.1斤D.

。2）1U

【答案】C

【解析】设总共持金X斤，再根据过5关后剩X-1斤列式计算即可.

由题得xx[l—万1——

3JIF

故选：C

【题型精练】

1.（2022・山东・济南一中期中）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120

元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________.•

【答案】y=-3+5（Ue（O,2OO）.,

【解析】设每件件价小元时，售出y件，设丁=履+"左=0,

因为x=80,），=30,所以3O=8（M+b①，

因为x=120,y=20，，所以20=1204+8②，

解由①②组成的方程组得，k=-；力=50,所以y=:x+50.

44

由y=--x+50>0,x<200.•

故答案为：y=--x+5O,xe(O,2OO).-

2.（2022•安徽宣城市-高一期末）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）

之间的关系为），=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏木，至少日生产文具

盒()

A.2000套B.300()套C.4000套D.5000套

【解析】解：设利润为z,

则z=12x-y=12x-(6x+30000)=6x-30000,

由z=6x-3000020,得戈2500().

・••要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套.

故选：D.

【题型二二次函数模型的应用】

例2(2022•山东济宁•高一期中)如图，有一长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块，物

.业计划将其中的矩形A8CQ建为仓库，要求顶点。在地决对角线MN上，分别在边

上，其他地方建停车场和路，设AK=x米.

则矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为一

2

【答案】S=--x2+20x(0<x<30)

DCDN

【解析】在直角4M中~AM~~AN

所以方20—A。

20

2

Z.AO=20——x,

3

2o

S=.r(20--x)=--x2+20.r(0<x<30),♦

所以矩形ABCD的面积S关丁x的函数解析式为S=+20x(0<x<30).

【题型精练】

1.(2022.四川凉山.高一期末)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成木，某企业一个

月生产某种商品上万件时的生产成本为。(x)=g/+2x+20(万元).一万件售价为20万元,

为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件.

【答案】18

【解析】设利润为〃x),则〃x)=20x-C(x)=-；(%-18产+142,当x=18时，“外有最大

值，

故答案为：18」

2.(2022•河北石家庄期中)某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到

第x(xeN+且工〉1)年花在该项目的其他费用(不包括收购费用)为x(x+20)万元，该

项目每年运行的总收入为50万元.

(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？

(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：

①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；

②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出.

假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由.

【答案】(1)第4年

(2)选择方案②.理由见解析

【解析】(1)解：设项目运行到第x年的盈利为丫万元，

则尸50刀-小+20)-81=-12+30工-81,

由>〉0，WX2-30X+81<0.解得3cx<27,

所以该项目运行到第4年开始盈利.

(2)解：方案①)，=-/+3(11-81=-(15y+144,

当x=15时，丫有最大值144.

即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为144+56=200万元，

、，x।(si、I$rr

方案②)=-戈+30-a=30-x+—<30-2Jx--=12,

xxvx)Vx

Q1

当且仅当工=一，即x=9时，等号成立.

x

即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12x9+92=200万元.

综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选举方案②.

3.(2022•河北张家口.高一期末)习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山

新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业

发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到35(X)万辆，并希望新能源汽车

至少占总销量的五分之一江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500

元，到第x年年末(工€乂)每台设备的累计维修保养费用为(300f+3200.。元，每台充电桩

每年可给公司收益8000元.(炳=4.36)

(1)每台充电机第几年年末开始获利；

(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.

【答案】(1)第4年；

⑵第7年.

【解析】(1)设每台充电桩在第x年年末的利润为了(“，

则/(x)=8000%-(3OOx2+3200A)-13500=-3OOx2+4800x-13500,

令/(x)>0,解得：8—M<X<8+M，又加才4.36，.\3.64<x<12.36.

VxwN.,.•.每台充电桩从第4年年末开始获利；

(2)设g(x)为每台充电桩在第x年年末的年平均利润，

则g(x)=Z0=_3OOX_^52]+48OO；

•.・y=300x+生里在(0,3石)上单调递减，在卜石,+8)上单调递增，

・•.g(x)在(0,3石)上单调递增，在卜石,+8)上单调递减，

又XGN.，3石=6.708,g⑹=750,g(7)«771,「.g⑺vg(6),

・•.每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大.

【题型三分段函数模型的应用】

例3(2022•绥德中学高一期末)某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行

车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部

租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.

旅游点规定：每辆自行车的口租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的口租金x元

只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的

总收入减去管理费用后的所得)

(1)求函数y=的解析式；

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

)

【答案】⑴50A-1I5,(3<X<6,XG/V

/(3N+68106c-N)；(2)H租金定为11元时，日净收

入最多，为270元.

【解析】(1)由题知：当x«6时，/(x)=50x-115,

令50%一115>(),解得x〉23,因为xwN,所以3<x<6,xwN.

当6cx420时，/(x)=[50-3(x-6)]x-l15=-3x2+68x-l15,6<x<20,XGN.

50X-115,(3<X<6^€/V)

所以=<

-3x2+68.r-l15,(6<x<20,xGN)

(2)当34x46,且xwN时，/(x)=50x-115为增函数,

所以〃力皿=〃6）=侬元.

2011

当6<工<20,且xwN时,f(x)=-3x2+68x-115=-3+彳

当x=U时，/（x）a=270元.

综上所述，当每口自行车口租金定为11元时，口净收入最多，为270元.

【题型精练】

I.（2022・北京大兴•高一期末）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产

销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为。（元）（万元），其中固定成本为2万

元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入

—0.4A-'+4.2A--0.8(0«%W5)

R（x）（万元）满足:&心=«,假定该产品产销平衡，那么根据

10.2(x>5)

上述统计规律：

（1）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

【答案】（1）产品应控制在大于100台，小于820台的范围内；（2）当工厂生产400台产品

时，赢利最多,

【解析】依题意，G（x）=x+2.设利润函数为〃x）,则

-0.4X2+3.2A-2.8(0<X<5)

f(x)=R(x)-G(x)=<

8.2—x(x>5)

（1）要使工厂有赢利,即解不等式/@）>。・，当0。5时,

解不等式-0.4/+32r-2.8>().

即X2-8X+7<0.-

1<x<7/.1<x<5,

当x>5•时，解不等式8.2-x>0,

得x<82,/.5<x<8.2.

综上所述，要使工厂赢利，厂应满足l〈x<8.2,

即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内.•

（2）04x45时，〃x）=-0.4（x—4）2+3.6故当x=4时，/（2有最大值3.6.

而当x>5•时，<8.2-5=3.2

所以，当工厂生产400台产品时，扁利最多.•

2.（2022・河南开封•高一期末）笫24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022

年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难

求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接j'“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生

产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产X万盒，需投入成本/心:）万元，当产量小于或等

于50万盒时〃*）=180x+100；当产量大于50万盒时〃（外=/+60工+3500,若每盒玩具手

办售价200元，通过市场分析•，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润:销售总价-

成本总价，销售总价;销售单价x销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

（I）求“冰墩墩''玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式;

（2）当产量为多少万盒时,该企业在生产中所获得利润最大.

20x-300.0^x<50

【答案】（i）y=_,XGN

-X2+14CIV-3700,X>50

（2）70万盒，利润最大为1200万元

【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时,y=200x-200-180x-100=20x-300,

当产量大于50万盒时,y=200x-200-x2-60A-35(X)=-X2+14O.r-3700,

故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为：

20.r-300,0<x<50

y=<-，XGN、

-X2+140X-3700,X>50

⑵当x<50时，y<20x50-300=7()0(万元)；

当x>50时，y=-x2+14O.v-37OO,

当x=70时，），=一丁+140、—3700取到最大值1200万元.

3.（2022•陕西・长安一中高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能

源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业

计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产

1Ox2+200x,0<x<40,

一百辆）需另投入成本八万元），且）,=6。皿理一45。。44。.由市场调研知'每辆

车售价6万元，旦全年内生产的车辆当年能全部销售完.

⑴求出2020年的利润5（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去

成本）

⑵当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.

-1Of+400/-3000,0<x<40

【答案】⑴S（x）=15。。…如包心4。

x

(2)100百辆时，1300万元

【解析】(1)解：由题意得当0<x<40,

S(x)=600x-(10x2+200x)-3000=-1Ox2+400x-3000,

当x，40时，S(x)=600x601x+-4500|-3000=1500-x-^522,

IxJx

-10x2+400x-3000,0<x<40

所以5(x)=，“八10000

1500~x----------,xN40

x

(2)当0<x<40时，S(x)=-10x2+400x-3000,

当x=20时，5nm(x)=1000,

当x>。时，S(X)=I500T-3=1500-。+如竺)

由对勾函数…+等,当E00时％12。。,

AS(x)<1500-200=1300,.•j=100时，5nm(x)=1300,

・.1300>1000.“=100时,

即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元

【题型四“对勾”函数模型的应用】

例4(2021•广西高一期末)如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公

园ABC。，公园由矩形的休闲区(阴影部分)AqGR和环公园人行道组成，已知休闲区

A4GA的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米.

41_---------------------•_I」

|10米||1()米8

(1)求矩形A8CQ所占面积S(单位：平方米)关于>的函数解析式；

(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A&G。的长和宽应分别为多少米？•

10()()

【答案】(1)S=(x+20)(—+8),(x>0)；(2)休闲区A4GR的长和宽应分别为50米，20

x

米.

【解析】(1)因为休闲区的长为X米，休闲区44GA的面枳为1000平方米，所以休闲区

的宽为驷米；从而矩形A3CZ)长与宽分别为4+20米，侬+8米，

XX

1000

因此矩形ABCD所占面积S=(x+20)(——+8),*>0),

x

/C、0，”、,10006102()(X)0c一/八c/20000,，“八

(2)S=(x+20)(--------1-8)=1160+---------+8,v>1160+2J-----------8x=1960

XXVX

当且仅当也2=8x.x=5O时取等号，此时侬=20

因此要使公园所占面积最小，休闲区•的长和宽应分别为50米，20米.

【题型精练】

1.（2022•陕西・咸阳市高新一中高一期中）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给

更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔£（单位：分钟）满足

2</<20,经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔£相关，当10<区20

时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当24r<10时，载客量会减少，减少的人数与

（10-/）的平方成正比，H.发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为〃（/）.

（1）求〃⑺的解析式：•

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为。=6〃⑺-336。―360（元），问当发车时间间隔

t

为多少时，该时段这条线珞每分钟的净收益最大？

-10/2+10()/+200,?<t<

【答案】（1）OwN)；(2)6分钟.

120Ci,?(^z<20

2200—KfHO—八2

【解析】（1）由题意知〃⑺=%200与<1'•一（4为常数），■

因p(2)=1200-Z(10-2尸=1200-64%=560,则Z=10,

-20/2+200/+200,?<t<

所以〃")=<(f)；

1200,?^t<20

6㈠0入2。。/+2。))-3360_360,2工《0

(2)由)=6p⑴—3360—3的.得Q=.

^5-060.?

840-60(r+—),2</<10

即Q=<(f,.

^^-360,10^r<20

①当2Wf<10时，Q=840—60（1+一）«840—60xl2=120,当且仅当，=6等号成立；

t

②当10WY2O时，。=^^-360在［10,20］上递减，当/=10时。取最大值24,

由①@可知，当发车时间间隔为，=