高一数学：平面向量的概念

第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念

课标要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解

平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.

【引入】你注意过吗？在描述天气的时候，温度和相对湿度都只要用一个实数就

可以确切地表达，而风的确切描述，除了用一个实数说明“风力”外，还要给出

“风向”，在生活中还有类似的例子吗？

一、向量的概念及几何表示

探究1在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的

面积、质量等有什么区别？

提示面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向.

探究2平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？

提示用箭头表示方向.

【知识梳理】

I.向量的概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.

2.向量的表示

⑴有向线段

①具有方面的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、之血、直度.

②以A为起点、B为终点的方向线段记作箭，线段AB的长度叫做方向线段福的

长度，记作曲.

(2)向量的表示

①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向

线段的方向表示向量的方向，向量麴的大小称为向量油的长度（或称模）,记作

国

②字母表示：向量可以用字母。，5,C,…表示（EP刷用黑体”，b,C,书写时用工,

b,c）.

温馨提示（1）向量强调长度和方向两个要素.

（2）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向

量有大小和方向两个要素.在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移

的.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段.

例1（链接教材P5T1、P3例1）一辆消防车从A地去8地执行任务.先从A地向北

偏东30。方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60。方向行驶6千米到

达C地，又从C地向南偏西30。方向行驶2千米才到达B地.

（1）在如图所示的坐标系中画出启，DC,CB,AB；

北

A

⑵求8地相对于A地的位移.

解（1）画出向量如图所示：

（2）:。地在A地北偏东30。方向上，B地在。地南偏西30。方向上,

:,AD〃BC.

又AO=8C=2,

，四边形48co是平行四边形，

：.AB=DC=6.

•・・C地在。地北偏东60。方向L,

.二8地相对于A地的位移为北偏东60°,相距6千米.

思维升华作向量的方法

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的

大小确定向量的终点.

训练1某人从点A出发向西走4个单位长度到达点然后改变方向朝西北方向

走6个单位长度到达点C,最后又向东走4个单位长度到达点D试分别作出向量

AB,比和①

解根据题意，在平面内任取一点为A,按照题意要求的方向，作线段48=4,

BC=6,CO=4,则向量而，比和⑦如图所示.

二、零向量与单位向量

探究3在实数中，有“0”与“1”这样的具有特殊地位的数，那么在向量中，有类似

的特殊向量吗？

提示有，零向量与单位向量.

【知识梳理】

向量名称定义

零向量长度为2的向量，记作。

单位向量长度等于1个单位长度的向量

温馨提示（1）不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.

（2）单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.

例2（多选）下列说法正确的是（）

A.零向量是没有方向的

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量的长度都为0

D.两个单位向量的长度相等

答案CD

解析零向量的方向是任意的；

两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相

同；

零向量的模都是0;

单位向量的长度都是1个单位长度，故C,D正确.

思维升华解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意

方向问题.

训练2下列说法中正确的是（）

A.向量的模都是正实数

B.单位向量只有一个

C.向量的大小与方向无关

D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

答案C

解析零向量的模为0,故A不正确；

单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；

向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；

不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.

三、相等向量与共线向量

探究4如图所示，边长为1的菱形ABC。中，向量疝与反有什么关系？

提示大小相等，方向相同.

探究5如图所示，在楞形ABC。中，向量病与死有什么关系?

提示大小不等,方向相同.

【知识梳理】

平行向量方向相同或相反的非零向量:向量力平行，记作。〃力，规

(共线向量)定：零向量与任意向量平行

相等向量长度相等且方向相同的向量;向量。，。相等，记作

温馨提示在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.

例3(链接教材P4例2)如图所示，O是正六边形ABCOEb的中心，且万l=〃，OB

=b,OC=c.

AB

(1)与〃的长度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请---列出与a,b,c相等的向量.

解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有历，BC,AOfFE.

(2)与〃共线的向量有前，的,历，徒,CB,DO,AO,DA,AD.

(3)与〃相等的向量有成；DO,CB；

与力相等的向量有成，EO,M；

与。相等的向量有百，ED,AB.

思维升华相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些

是同向共线的向量.

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同

向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点

为终点的向量.

训练3(1)(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题是()

A.若⑷=|例，贝ija=》

B.若A,&C,。是不共线的四点，则“油=坑”是“四边形A8CO为平行四

边形”的充要条件

C.若u=b>b=c,则a=c

D.“a=b”的充要条件是D3=l加且。〃充'

答案BC

解析当间=|力|时，a,b的方向不一定相同，所以db可能不相等，A错误；

因为A,B,C,。是不共线的四点，AB=DC,所以AB〃C。，AB=CDf故四边

形A3CO为平行四边形•，若四边形ABC。为平行四边形，则筋=前，所以“屈

=反”是“四边形A3CO为平行四边形”的充要条件，B正确；

根据向量相等的定义，由。=8,b=c可得a=c,C正确；

当同=|臼且db方向相反时，a乎b,所以“a=b”是"|0=|例且。〃/'的充分不

必要条件，D错误.

（2）如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

①与向量或）相等的向量为;

②若丽|=3,则向量比的模等于.

答案①AkDC②6

解析①在平行四边形ABCD和ABOE中，

*：AB=EDyAB=DC9：.ED=DC=AB.

②由①知，ED=DC,

・・・E,。，。三点共线，

・\|比|=|曲|+\DC\=21gl=6.

【课堂达标】

1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的

终点形成的图形是（）

A.圆B.一段弧C.线段D.直线

答案A

2.（多选）下列说法正确的是（）

A.加速度是向量

B.若。是直线/上的一点，单位长度已选定，则/上有且只有两个点A,B,使得

0A,仍是单位向量

C.一人从A点向东走500米到达B点，则向量就表示这个人从A点到B点的位

移

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

答案AB

解析由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；

根据位移的定义可知向量鼐表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；

若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D

错误.

3.（多选）设点O是平行四边形ABCO的对角线的交点，则下列结论正确的是（）

A.AO=OCB.\AO\=\Bb\

C.Ab=BOD.B与⑦共线

答案AD

解析因为点。是平行四边形A8CO的对角线的交点，所以。是AC中点，即有

Ab=dcfA正确；

平行四边形对角线长不一定相等，则由|与|由|不一定相等，B不正确；

点A,。，8不共线，C不正确；

平行四边形A8CQ中，AB//CD.即有油与⑦共线，D正确.

4.在四边形"CO中，若寿=庆•且|病|=|而|,则四边形的形状为.

答案菱形

解析,・,福=反，；.AB=DC,AB//DC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

・・・|成|=|曲|,・,・四边形ABC。是菱形.

•课时精练♦

一、基础巩固

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.向量AB与向量8A的长度相等

B.各向量与任意向量平行

C.零向量的方向是任意的

D.方向为北偏西50。的向星与南偏东50。的向量不可能是平行向量

答案ABC

解析向量篇与向量心方向相反，长度相等；零向量的方向是任意的，它与任意

向量都平行；方向为北偏西50。的向量与方向为南偏东50。的向量是一对方向相反

的向量，因此是平行向量，故D不正确；ABC正确.

2.下列说法中正确的是（）

A.若“，力都是单位向量，贝IJ0=力

B.若筋=比，则A,B,C,。四点连线构成平行四边形

C.若且〃〃c,则。〃c

D.B与防是平行向量

答案D

解析选项A中单位向量方向可以不同，故。=方不一定成立；

选项B中A,B,C,。四点可能共线，不一定能组成平行四边形；

选项C中当力=0时，a,c为任意向量；

选项D正确，筋与就是一对方向相反的向量，则是一对平行向量.

3.（多选）下列说法正确的是（）

A.若同=步|,则a,b的长度相等且方向相同或相反

B.向量。与力不共线，则〃与力都是非零向量

C.若aW。，则〃与力可能是共线向量

D.两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同

答案BC

解析模相等的向量不一定平行，故A错误；

若〃，力中有一个为零向量，则〃与力必共线，故若〃与万不共线，则应均为非

零向量，故B正确；C显然正确；

两向量相等的充要条件是它们的方向相同、长度相等，故D错误.

4.如图所示，在。。中：向量油，0C,左）是（）

A.有相同起点的向量

B.共线向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

答案C

解析由图可知痂，0C,血是模相等的向量，其模均等于圆的半径.

5.（多选）如图，在菱形A8CO中，NBAD=12（）。，则以下说法正确的是（)

A.与前相等的向量只有1个（不含福）

B.与轴的模相等的向量有8个（不含油）

C.而的模恰为所的模的小倍

D.份与殖不共线

答案AC

解析由于寿=比，因此与踮相等的向量只有发，而与油的模相等的向量有殖,

DC,AC,CB,AD,CD.CA,BC,丽，因此选项A正确，B错误.

在RtZXAO。中，VZADO=30°f：.\DO\=^\DA\f故|彷|=，§|次因此选项C

正确.

由于丽=方尢因此蒲与汤是共线的，D错误.

6.给出下列条件：

@a=bx②—③Q与力方向相反；④同=0或步|=0,其中能使。〃b成立的

是________.

答案①③④

7.已知A,B,C是不共线的三点，向量勿与向量筋是平行向量，与旗是共线向

量，贝iJm=.

答案0

解析向量机与向量后是平行向量，则向量次与向量靠方向相同或相反，向量

机与就是共线向量，则向量〃2与向量就方向相同或相反.由4,B,C是不共线

的三点，可知向量辐与向量比方向不同且不共线，则〃2=0.

8.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘

（4义8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到4处，也可

跳到4处，用向量筋I,筋2表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马

走了“一步”的向量共有个.

AR

答案11

解析如图，以B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共

3个；以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.

所以共有11个.

9.如图所示，△ABC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB,8c的中点.

A

BD

⑴写出与前共线的向量；

(2)写出与丽的模相等的向量；

(3)写出与加相等的向量.

解(1)因为E,E分别是AC,A8的中点，

所以叫叫秀;8C,所以与辞共线的向量有：

FE,和,函DC,CD,BC,CB.

(2)由⑴知EF*BC,

又。是BC的中点，

故与前模相等的向量有：FE,衲,和,DC,CD.

(3)与前相等的向量有：方方与⑦.

10.在如图的方格纸上，已知向量°,每个小正方形的边长为1.

(1)试以“为起点画一个向量儿使〃=a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使期=小，并说出向量c的终点的轨迹是

什么？

解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量〃平行，且长度相等、方向相同(作

图略).

⑵由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以点A为圆心，以下为

半径的圆(图略).

二、综合运用

11.(多选)在下列结论中，正确的结论为()

\.a//b且同=仍|是a=b的必要不充分条件

B.a//b且⑷=|例是a=b的既不充分也不必要条件

C.a与b方向相同且⑷=|例是a=b的充要条件

D.〃与b方向相反或⑷公族|是aWb的充分不必要条件

答案ACD

解析若〃=从则。与力方向相同，模相等，所乂A,C,D正确，B错误.

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