高考数学 用样本估计总体 （附解析）

用样本估计总体

激活思维

1.(教材经典题改编)某射击运动员7次训练的成绩分别为

86,88,90,89,88,87,85,则这7次成绩的第80百分位数为(B)

A.88.5B.89

C.91D.89.5

［解析］因为7次训练的成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90,且7X80%

=5.6,所以第8()百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.

2.(教材经典题)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在1()天中，两台机床

每天生产的次品数分别为：

甲()1()22()3124

乙2311021101

分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，乙机床的性能

更好.

—0+1+0+•••+4

【解析】甲机庆的平均数工单=------访------=1.5,标准差s甲=

［品［(0—1.5>+(1—1.5>+…+(4—1.5)2］弋1.28；乙机床的平均数"7乙二

-----布----=1.2,标准差s乙=7而乂［(2—1.2)2+(3—1.2)2+~+(1—1.2)2］

%0.87.比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次

品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能更好.

3.(多选)抽样统干甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下

数据：

运动员第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

则(BC)

A.甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差

B.甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值

C.甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数

D.甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差

【解析】甲成绩的极差为93—87=6,乙成绩的极差为92—88=4,故A错

87+91+90+89+93

误；甲成绩的平均值为------------------=90,乙成绩的平均值为

------------------=90,故B正确；甲成绩的中位数为90,乙成绩的中位数

为90,故C正确；甲成绩的样本标准差为4出士;+1+9=2,乙成绩的样本

标准差八产更尹亥=隹故D错误.

4.若一组数据4H4X2,…，4.82的中位数为16,方差为64,则另一组数据

XI-1,X2-1,…，w2—1的中位数为3,方差为4.

【解析】因为数据4刘4r2,…，4.2的中位数为16,方差为64,所以数据

64

XI,X2,­,,,XI2的中位数为4,方差为不■=%所以数据XI—1,X2—1,X12—

1的中位数为4-1=3,方差为4.

聚焦知识

1.总体平均数与洋本平均数

名称定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为力，…，

YN,则称yF/——V—Ni=\匕为总-体均值，又称

总体均值总体平均数

(总体平均数)若总体的N个变量值中，不同的值共有&(AWN)个，不妨记为

h力，…，Yk,其中匕出现的频数为力(i=l,2,…，k),则

总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=屈河i

若从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量值分别为

样本均值

(样本平均数)V，X，…，如，则称7=尸+.：~+)〃=!£/为一样本均值

又称样本平均数

说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数亍去估计总体平均数歹；

(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机

性)；

(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确

2.百分位数

一般地，一组数据的第Z百分位数是这样一人值必，它使得这组数据中至少

有％%的数据小于或等于以且至少有(100—9%的数据大于或等于以.如

果将样本数据从小到大排列成一行，那么第攵百分位数必所处位置如图所示.

k%

rr^Ti11…门11

t

pt

3.平均数、中位数和众数

(1)平均数：X=：(K+X2H---kX").

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间

的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个

数是偶数时)叫做这组数据的中位数.

(3)众数：一组数据中出现次数的数据(即频数最大值所对应的样本

数据).

4.标准差与方差

设一组数据XI,X2,X3,…，X”的平均数为7,则这组数据的标准差和方差

分别是5=

[[[(XLX)2+Q2―X)2-|----X)2],

1—————

22

$2=_©]—x/+⑴一x)+,,,+(%«-X)].

5.常用结论

平均数、方差的公式推广

(1)若数据Xi,Xi,…，犬〃的平均数为x,则gi+mg2+。，，心+。，…，

mxn+a的平均数是_tnx

(2)若数据必，X2,…，x〃的方差为$2,则:

①数据xi+a,加+小…，x〃+a的方差为$2；

②数据以1,0X2,…，二八的方差为岛2.

(3)/=；2?一x"即各数平方的平均数减去平均数的平方•

;=1

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目帧II百分位数的估计

例1(1)(2025-萍乡二模)已知一组数据为

123,117,117,121,122,120,116,114,120,119,则这组数据的75%分位数是(D)

A.114B.115

C.120.5D.121

【解析】将10个数据按顺序排列为114,116,117,117,119,120,120,121,

122,123,10X0.75=7.5,则75%分位数是第8个数据121.

(2)(2026•南昌期初)(多选)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从

某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按［40,50),

［50,60),…，［90,10()］分组整理得频率分布直方图如图所示.记该样本的平均数为

〃，三个四分位数分别为〃，b,c(a<b<c)f则下列判断正确的是(BD)

A.a~40<b~aB.c-b<I00-c

C.a,b,c成等差数列D.4Vb

［解析］〃=(45X0.005+55X0.015+65X0.025+75X0.035+85X0.015+

95X0.005)X10=70.5.设第一四分位数为x,则有0.005X10+0.015X10+(工一

60)X().025=0.25=>x=62；设第二四分位数为y,则有0.005X104-0.015X10+

0.025X10+。，-70)X0.035=0.5=)，=绊；设第三四分位数为z,则有0.005X10

+0.015X10+0.025X10+(z-70)X0.035=0.75=>z=^.因为。所以。

500550工〒,50088山

=62,对于A,a—40—(/?-6F)=2X62-40—―=~>(),故

A不正确.对于B,c-f?-(100-c)=2X^-10050()100

<0,故B正确;

77

对于C,因为2b一5+c,尸绊X2—62—苧=舞0,

所以出仇。不成等差数

列，故C不正确；对于D,显然〃〈仇故D正确.

・总结握燎A

计算一组〃个数据的第P百分位数的步骤

第一步：按从小到大的顺序排列原始数据；

第二步：计算j=〃X〃%;

第三步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为则第〃百分位数为第/项

数据；若i是整数，则第〃百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

注：在频率分布直方图中求百分位数，见例2（2）.

变式1（2025・秦皇岛三模）数据16,22,13,14,25,17,18,19,21,10的第70百分

位数是（C）

A.18B.19

C.20D.21

【解析】将给定数据由小到大排列为10,13,14,16,17,18,19,21,22,25,由

19+21

10X70%=7,得第70百分位数是？~=20.

目帧日总体集中趋势的估计

例2⑴（2024•新高考II卷）某农业研究部门在面积相等的1（）0块稻田上种

植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表:

[900,[950,[100(),[1()50,[1100,[1150,

亩产量

950)1000)1050)1100)1150)12001

频数612183()2410

根据表中数据，下列结论中正确的是(C)

A.100块稻田亩产量中位数小于1()50kg

B.100块稻田中的亩产量低于1l()0kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【解析】对于A,根据频数分布表知，6+12+18=36<50,所以100块稻

田亩产量中位数不小于1050kg,故A错误；对于B/00块稻田亩产量不低于1

100kg的稻田频数为24+10=34,所以100块稻田亩产量低于1100kg的稻田

所占比例为*00M=66%,故B错误；对于C,100块稻田亩产量的极差最大值

为1200—900=300,最小值为1150—950=200,所以极差介于200kg至300

kg之间，故C正确；对于D,l()()块稻田的平均值约为7=*X(6X925+12X975

+18X1025+30X1075+24X1125+10X1175］=1067,故D错误.

(2)(2025•郑州三模)某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量(单

位：本)情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍

数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：

同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(D)

领率/组距

0.07

0.06

0.015

0.005

121620阅读枷本

A.阅读量的众数估值为8

B.阅读量的中位数估值为6.5

C.阅读量的平均数估值为6.76

D.阅读量的第70百分位数估值为8.86

4+8

【解析】众数估值为〒=6,A错误；易知中位数x在［4,8］内，所以0.06X4

+0.1X(x-4)=0.5,解得x=6.6,B错误；平均数x=0.24X2+0.4X6+0.28X10

+0.06X14+0.02X18=6.88,C错误；易知第70百分位数y在［8,12］内，所以

0.06X4+0.1X4+0.07X(x-8)=0.7,解得丁=亍•七8.86,D正确.

・总结提燎A

频率分布直方图中的数字特征

(1)众数估计值：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率

之积的和.

(4)百分位数：与中位数类似，如70%分位数，则左侧矩形的面积之和为0.7.

变式2(2025•保定期末)(多选)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,

它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的频率分布直方图的三种分

布形态中，下列关于平均数和中位数的大小关系的说法正确的有(BC)

A.丙图中平均数大于中位数

B.乙图中平均数大于中位数

C.甲图中平均数和中位数应该大体上差不多

D.乙图中平均数小于中位数

【解析】对于甲图，频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位

数大体上差不多，因此C正确；对于乙图，频率分布直方图右侧拖尾，那么平均

数大于中位数，因此B正确，D错误；对于丙图，频率分布直方图左侧拖尾，那

么平均数小于中位数，因此A错误.

目帧闺总体离散程度的估计

例3（2023•全国乙卷理）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的

处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，

随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品

的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为H,）&=1,2,…，

10）,试验结果如下：

试验序号，12345678910

伸缩率H545533551522575544541568596548

伸缩率v536527543530560533522550576536

记zi=H—y（i=l,2,…，10）,记zi,Z2,…，zio的样本平均数为z,样本方

差为

⑴求Z,52；

一1

【解答】z,=为一"的值分别为9,6,8,一8,15/1,19,18,20,12,故z=球（9

+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=~^X[(9-11)2+(6-11)2+(8-

11)2+(—8—11)2+(15—11)2+0+(19—11)2+(18—11)2+(20—11)2+(12—11)"

=61.

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的

伸缩率是否有显著提高（如果z22、/石，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸

缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【解答】由（1）知三二11,2\^=2诉1=旧工，故有所以甲

工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

・总结握燎》

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）

越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.

变式3(1)(2025•南昌一模)(多选)现从甲、乙两名射击运动员中选择一人

参加大型选拔赛，甲、乙各进行了10次射击，射击成绩(单位：环)如下表所示：

次数12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是(CD)

A.甲的平均成绩高于乙的平均成绩

B.预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比

赛

C.预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛

D.预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛

一]

【解析】对于A,甲的平均成绩为x=/jX(7X2+8X2+9X5+10)=8.5,

—1——

乙的平均成绩为y(8X2+9+7X3+10X4)=8.6,则xVy,故A错误；

对于B,甲的方差为5T=]^X[2X(7-8.5)2+2X(8-8.5)2+5X(9-8.5)2+(10-

8.5)2]=0.85,乙的方差为s?=-j^X[2X(8-8.6)2+(9-8.6)2+3X(7-8.6)2+

4X(10-8.6)2]=1.64,则故B错误；对于C,甲射击一次大于9.2环的

142

概率为方，乙射击一次大于9.2环的概率为m=不故C正确；对于D,甲射击

一次大于8.8环的概率为击=|,乙射击一次大于8.8环的概率为若/故D正

确.

(2)(2026•南通期初)已知互不相等的数据XI,X2,X3,X4,X5,f的平均数为

3方差为底，数据XI,X2,X3,X4,X5的方差为S幺则$彳，正的大小关系为(C)

A.s彳>s3B.s彳=$3

C.s]<slD.无法判断

【解析】由f=7(X14-X2+x4+x.5+1),则Xl+x2+x3+x4+x5=5r,所以

X=5(X1+X2+.E3+X4+X5)=/,且XI,X2,X3,X4,X5,，互不相等.由S彳二才⑴一

r)2+(X2—r)2+。3—f产+(心—r)24-(x5—/)2+(f—/)2]—^[Ui—O2+S—r)2+(汨—r)2

+(X4—/)24-(xs—r)2],而d=1[(xi—t)2+(X2—r)2+(X3—t)24-(X4—r)2+(xs—r)2],所

以5?<52.

目帧E]分层随机抽样的均值与方差

例4(2025•河南五市联考(一))(多选)在一次考试后的数学成绩分析中，分

别采用简单随机抽样的方式抽取A班的一组数据:。1，。2,〃3,M45,。6和片班

的一组数据：bT,历，加，儿进行分析二经计算，两组数据的平均数分别为£=

90,了=80,方差分别为,0=36,.4=16.将两组数据合并为一组数据s,C2,

C3,…，C9,CIO,则这组新数据的平均数和方差分别为(BD)

A.平均数为85B.平均数为86

C.方差为28D.方差为52

_6a+4b540+32064

【解析】c=--------=-------=86,或=正乂[贵+(90-86月+正X[s£

+(8()—86产]=52.

,总结根婚》

设样本容量为〃，平均数为其中两层的人体数量分别为〃2,两层的

一一一n\x\+712X2

平均数分别为XI,X2,方差分别为5T,A,则这个样本的平均数X=-

样本方差为52=^[5?+(XI—X)2]+，限+(X2—X)2J.

变式4(2026•邯郸一调)已知A组数据xi,必…，工加和8组数据yi,

心,…，.(〃?，〃£N*,m.;?e[5,+8))的平均数分别为80,90,方差分别为15,20,

若〃z=4〃，则由A,8这两组数据构成的所有数据的总体方差为(B)

A.15B.32

C.35D.42

【解析】由条件可知，总体平均数三=一+X80+r—X90=7^—X80

m十nni十n4〃十n

+1上X90=82,设A组数据的平均数为三，方差为s¥,B组数据的平均数是

4〃十〃

y,方差是52,所以所有数据的总体方差—=工回+（X—Z）2]+1|1+

（y—Z）2]=EX[15+（8。-82）2]+向X[20+（9。-82）4=32.

随堂内化

1.（2025•苏北七市二调）已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都

是2,则这组数据的极差为（C）

A.4B.3

C.2D.1

【解析】设这四个不全相等的正整数为X1,X2,X3,X4,不妨设XIWX2WX3WX4,

rMl+X2+X3+X442+x3,I丁u▼心

则-----------=2,-5—=2,工2+%3=4,所以JV1+X4=4.由于XI,X4是正整

数，所以X1=1,X4=3（若X1=X4=2,则X2=R3=2,与已知4个数不全相等矛盾），

所以极差为3-1=2.

2.（2025•芜湖二模）已知一组数11）3,15,26,29,30,32,33,36,若去掉11和36,

则该组数以下哪个数字特征不变（B）

A.平均数B.中位数

C.方差D.极差

【解析】对于A,去掉前的平均数为上X（U+13+15+26+29+30+32+

1178

33+36）=25,去掉后的平均数为,X（13+15+26+29+30+32+33）=〒勺25.4,

故A错误；去掉最小的数11和最大的数36对中位数无影响，故B正确；对于

C,去掉前的方差为gx1（-14）2+（—12）2+（—10）2+12+42+52+72+82+112]=

明去掉后的方差为别（一舒+（.舒+俳+（舒+院+（舒+（翔=

o7R4

多一，故C错误；对于D,去掉前的极差为36—11=25,去掉后的极差为33一

13=20,故D错误.

3.（2025•武汉4月调研）随着DeepSeek的流行，各种AI大模型层出不穷，

现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委

分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如下表所示的统计表格，则下列结论不

正确的是（A）

评委编号

模型名盛123456

甲7.09.38.39.28.98.9

乙8.19.18.58.68.78.6

A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数

B.甲得分的众数大于乙得分的众数

C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：7.0,83,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：

8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位数为&9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的

中位数大于乙得分的中位数，故C正确；甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为

8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；甲得分的平均数为

7.0+8.3+8.9+8.9+9.2+9.3

-------------------7-------------------=8.6乙得分的平均数为

8.1+8.5+8.6+8.6+8.7+9.1“,「皿公〒一/口八以十小皿

---------------------------------------=8.6,所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,

故A错误；甲得分的方差5T=1X[(7.0-8.6)2+(8.3-8.6)2+(8.9-8.6)2+(8.9-

8.6)2+(9.2-8.6)2+(9.3-8.6)2]^0.6133,乙得分的方差为s8=^X[(8.1—8.6)2+

(8.5—8.6)2+(8.6—8.6)2+(8.6—8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.1—8.6)2]勺0.()867,所以甲

得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.

4.(2025•潍坊3月模拟)若一组样本数据xi,X2,心，X4的平均数为2,方

差为4,则数据xi,X2»X3,X4,2XI+2,2x2+22x3—2,2x4+2的平均数和方差分别

为(A)

A.4,14B.4,6

C.3,14D.3,6

【解析】由题知三=[f>=2,可得之0=8,方差S2=(£(H—2)2=4,可

4

得£('—2)2=16,因必，数据XI,X2,X3,Xl,2xi+220+2,2x3+2,2x4+2的平均

广I

444Q\zo_|_Q1

数为X'=(

£日+E(2Xj+2)3£H+8=T-^=4,方差为s'2=(

ooo

J=1r=l

4414414

z(r-4)2+Z(加+2—4)2=才Z(XL2—2)2+Z(ZL4+2)2=拉［(x：-2

i=lz=lJ°L/=1i=lJ/=1

544454

2216+\X(8—2X4)+4=

-2)+(2.V/-44-2)]=JoX(XL2)2+MoZ(XL2)+4=1oXo

i=li=i

14.

配套精练

一、单项选择题

1.(2025-赣州期末)某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定

跳远项目模拟测试，甲、乙同学连续5次的测试数据如下表(单位：cm)：

甲210220216220230

乙215212216223249

下列说法错误的是(C)

A.甲同学测试数据的众数为220

B.乙同学测试数据的极差为37

C.甲同学测试数据的80%分位数为220

D.乙同学测试数据的平均数为223

【解析】对于A.220出现的次数最多，所以为众数，故A正确.对于B,

因为249—212=37,所以极差为37,故B正确.对于C,将甲同学测试数据从

220+230

小到大排列：210,216,220,220,230,因为5X80%=4,所以80%分位数为一厂二

215+212+216+223+249

=225,故C错误.对于D,因为=223,故D正确.

5

2.(2025•杭州质检)已知数据加，孙…，工〃的方差/=(),则(D)

A.Zxr=nB.Z(xi-x])2=n

i=\i=l

C.£K=0D.f^-xil2=0

i=1i=1

1n___

【解析】因为$2=^2(XLX)2=0,所以(XLX)2=0,即Xi=X(7=1,2,…,

i=\

〃)，即》=X2=3=X〃，所以三阳一刈2=°・

/=1

3.(2025•湛江一模)若一组数据1,3,7,9,巩加>0)的中位数不小于平均数,

则机的取值范围为(B)

A.[5,7]B.[5,15]

C.[7,15]D.[5,20]

【解析】因为这组数据的平均数为1+3+；+"+〃'=4+1>4,所以这组数

据的中位数只可能是阳或7.若这组数据的中位数是，n,则4+g—即

5s7；若这组数据的中位数是7,则4+与<7〈根，即7WmW15,综上所述，

m的取值范围为[5/5].

4.（2025・青岛一模）若样本数据1,m，X2,…，双的平均数为1,方差为2,

则数据川，X2,…，期相对于原数据（D）

A.平均数变小B.平均数变大

C.方差变小D.方差变大

【解析】设原数据的平均数为方差为，/,变化后的数据的平均数为工

1,方差为5力根据题意有X==（1+羽+也+…+刈）=1,即X1+X2+…+X9=9,

XI=^（X|4-X2H------FX9）=1=X；52=f^[（l-1）2+（X1-1）2H------F（X9-1）2]=2,即

（XI—1）2+（X2—1）2H-----b（X9—1）2=20,从而S，=§[（X1—1）2+（X2-1）2-1-------F（X9—

20——

l）2]=g,所以x=xi,s2<sl.

二、多项选择题

5.（2025•太原一模）已知样本数据加，垃，…，心的平均数为3,方差为3,

样本数据V，）明…，邓的平均数为3,方差为6,则下列结论正确的是（ACD）

A.数据如+1,为+1,…，2A3+1的平均数为7

B.数据2），1一1,2），2—1,…，2），io—l的方差为11

C.数据箝，xi,…，xs,yi,”，…，yio的平均数为3

D.数据xi,也，…，xs,yif）叫…，yio的方差为5

【解析】对于A,因为样本数据箝，X2,…，X5的平均数为3,所以由平均

数性质得数据2xi+l,2V2+1,…，2x5+1的平均数为2X3+1=7,故A正确.对

于B,因为样本数据yi,p,yio的方差为6,所以数据2yi—1,2y2—1,…，

2yio—1的方差为2?X6=24,故B错误.对于C,因为样本数据xi,X2,,,,,X5

的平均数为3,样本数据yi,）%…，yio的平均数为3,所以数据汨，及，…，

5X3+10X3

心，户，”，…，的平均数为5+1（）-=3,故C正确.对于D,由以上分

析知xi,X2,,,,,xs,ji,yz,…,yio的平均数为3,则新方差为$2=1*[3+（3

-3）2]+jfx[6+（3-3）2]=5,故D正确.

6.（2025•泉州一检）某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”

主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛.赛

前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级的学生进行抽样测试，测

试成绩数据处理后，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是

（ACD）

0405060708090100成绩，分

高一年级学生成绩

高二年级学生成绩

A.高一年级抽测成绩的众数为75

B.高二年级抽测成绩低于6（）分的比率为2.5%

C估计高一年级学生成绩的平均数低于高二年级学生成绩的平均数

D.估计高一年级学生成绩的中位数低于高二年级学生成绩的中位数

【解析】对于A,高一年级学生抽测成绩的众数为区间［70,80）的中点横坐

标75,故A正确.对于B,高二年级学生抽测成绩得分在区间［40,60）的学生人

数的频率为0.0025X2X10=0.05,所以低于60分的比率为5%,故B错误.对

于C,高一年级学生成绩的平均数约为45X0.04+55X0.11+65X0.18+75X0.35

+85X0.22+95X0.1=74；高二年级学生成绩的平均数约为45X0.025+

55X0.025+65X0.1+75X0.25+85X0.4+95X0.2=80.75.因为74V80.75,所

以C正确.对于D,高一年级学生成绩的中位数位于［70,80）,高二年级学生成绩

的中位数位于［80,90）,故D正确.

7.（2026•潍坊期初）如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿

A.1月至7月全社会用电量逐月增加

B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7

C1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3

D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大

【解析】对于A,由图知，3月到4月用电量减少，故A错误；对于B,

用电量的极差为79.9-59.2=20.7,故RJF确：对于C,数据从小到大排列为59.2,

60.1,61.6,61.9,64.3,66.4,79.9,又7X75%=5.25,所以第75百分位数是第6个数

据66.4,故C错误；充于D,由图知，1月至3月用电量与4月至6月用电量相

比，波动更大，则对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大,

故D正确.

8.（2025・清远二模）某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根

据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ABD）

A.平均数为3,中位数为2

B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4

D.中位数为3,方差为2.8

【解析】对于A,当投掷骰子出现结果为1』,2,5,6时，满足平均数为3,中

位数为2,可以出现点数6,故A正确；对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,346

时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B正确；对于C,若平均

数为2,且出现6点，则方差/>]x(6—2)2=3.2>2.4,故平均数为2,方差为

2.4时，一定没有出现点数6,故C错误；对于D,当投掷骰子出现结果为123,3,6

时，满足中位数为3,则平均数为彳=：X(l+2+3+3+6)=3,方差为

•JJ

-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2l=2.8,可以出现点数6,故D正确.

三、填空题

9.(2025•晋城一模)己知一组数据1,1,2,3»的第60百分位数为2,

其中〃PN*,则这组数据的极差为2或3.

【解析】因为7X60%=4.2,所以第60百分位数为第5个数.当机=1时，

将数据从小到大排列为1,1,1,122,3,满足题意，此时极差为3—1=2；当加=2

时，将数据从小到大排列为1,1,1,223,4,满足题意，此时极差为4—1=3；当

杉3,时,将数据从小到大排列为1,1,123,62〃，第5个数为3,不满

足题意.故这组数据的极差为2或3.

10.已知样本XI,X2,X3的平均数为2,方差为1,则行，入3,翥的平均数为

5.

【解析】由题知=2,即M+X2+X3=6.由

⑶—2)2+(X2-2)2+(X3—2)271717IV圻[、/6+"+翥q

=1,仔田+x6+M—15,所以=5.

11.(2025-大同期初)中国跳水队素有“梦之队”称号.单人跳水比赛的计

分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分

数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度

系数即为该运动员的最终得分.若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数

为3.2,7位裁判给他打出的分数分别为9.595,9,8,9,9.5,8.5,则这7个数据的方差

为_/_，该运动员本轮比赛的得分为88.

【解析】7位裁判给他打出的分数分别为9.5,9.5,9,899.5,8.5,则这7个

乂一,丁一山，—9.5X3+9X2+8.5+8,乂)1,

数的平均数x=-------------------=九万差J=；yX[(9.5—9)2义3+(8.5—

2

十(8—9)2]=京从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，则剩下的3个分

数为9,9,95则该运动员本轮比赛的得分为(9+9+9.5)X3.2=88.

四、解答题

12.(2025•景德镇5月适应性考试)某农业研究部门在面积相等的1()()块稻

田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表.

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1100)1150)1200)

频数1011223020T

记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为x,标准差的估计值为s