高考数学复习：立体几何 空间直角坐标系与空间向量 （学生版）

空间直角坐标系与空间向量

激活思维

1.(教材经典题改编)已知点"在z轴上，且点M到点A(l,0,2)与到点8(1,

一3,1)的距离相等，则点M的坐标是()

A.(0,0.3)B.(0.0.2)

C.(0,0,-2)D.(0,0,-3)

2.在三棱柱A8C-A闰G中，设后i=a,筋=从危=c,M,N分别为相，

CG的中点，则苏=()

1,1,八11一

A.呼+/+cB.呼一于+c

C.D.Q+，+C

3.(教材经典题)若直线/的方向向量为e=(l,0,3),平面«的法向量为n=

则直线/与平面Q的位置关系是

4.已知4=(2,—1,3),〃=(—1,4,—2),c=(7,5,A),若〃，b,。三向量共

面，则实数2=.

5.(教材经典题改编)如图，在平行六面体A8CZ)—A'B'CD1中，AB=

4,AO=3,AAr=5,NBAQ=90。，ABAA'=ZDAA'=60。，则点•芯=

,AC的长为.

聚焦知识

1.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间中两个向量。与力SWO)共线的充要条件是存在实数九使得

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：,其中x,y£R,a,。为不共线

的向量.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量m仇c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有

序实数组(x,户z),使得,{〃，从c}叫做空间中的

2.空间向量的坐标表示及其应用

设”=(m,s,b=(bi,岳，公).

向量表示坐标表示

数量积a•b—

共线。=祖斤0,AER)—

垂直a•b=O(“WO,bWO)—

模M［司+■+*

a\b\~\-aib2-\-ayby

/cL\/_—/-AL—A

火用\(i9b)h予U)cos'a，［况+用+*・q庆+明+庆

3.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

l\//hn\//m^n\=/Jt2

直线/1,/2的力1可向量分别为〃1,〃2

/11/2n\,Lni^n\<«2=0

直线/的方向向量为心平制。的法向I//an±m<^ni・〃=D

量为m/_Lan//n=Am

a//pn//m^n=Am

平面a,4的法向量分别为〃，m

alfi>771=D

4.证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,8可通过证明下列结论成立来证明四点共面:

(1)MP=xMA+yMB^

(2)对空间任一点O,0P=0M-^xMA-\-yMB；

(3)对空间任一点。，0P=x0M^-y0A+z0B(x+y+z={y

(4)PM//筋(或成〃血或丽〃AM).

题型突破思维拓展

▲

目帧H空间向量的线性运算及共线、共面定理

例1-1下列说法正确的是()

①若旋=2届1一筋，则P,A,占三点共线；

②若以+迎+充+历=0,则A,B,C,D四点共面；

③若林丽一；浣，则P,A,B,C四点共面.

4UD

A.①@B.②③

C.①@D,①②③

例1-2已知A,B,C三点不共线，对平面A6C外的任一点O,满足而

=j(O4+dB4-dC).

(1)判断历，血，流是否共面；

(2)判断点M是否在平面A3c内.

・总结暹炼A

应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较

三点(P,A,B)共线空间四点(M，P，A,3)共面

成=2丽MP=xMA+yMB

对空回任一点0,OP=OM-\-xMA+

对空间任一点。，OP=OA+tAB

yMB

对空间任一点0,OP=xOM+yOA^(\

对空间任一点0,OP=xOA-V(\-x)OB

—x-y)OB

目帧日空间向量数量积的运算及应用

例2如图，在四棱柱ABCD-ABGD中，底面为平行四边形，以顶点A

为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。.

(1)求AC的长；

(2)求证：AC]±BD；

(3)求3D与AC夹角的余弦值.

＜总结遑炼》

空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角

直接计算；二是利用坐标运算.

变式2(教材经典题)如图，在平行六面体ABCO-A'B'CD'中，

2,AD=2,A4'=3,ZBAD=ZBAAf=ADAA'=60°,则8C'与CA'所成

角的余弦值为.

目帧同利用空间向量证明平行与垂直问题

例3—1已知四面体S4BC中，E,F,G,H,M,N分别是对应棱的中点,

&EF=GH=MN.求证：SA_L8C,S8_LAC,SC上AB.

例3-2如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方

形，EF//AD,平面平面48CO,且BC=2EF,AE=AF,G是E厂的中

点.

(1)求证：AG_L平面A3CO.

(2)线段AC上是否存在一点“，使MG〃平面ABF?若存在，求出器的

值；若不存在，请说明理由.

＜总结遑炼》

线、面位置关系的证明

(1)基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关

系，进而得到线面垂直；

(2)法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标,

进而用向量表示涉及直线、平面的要素.

随堂内化

1.如图，在平行六面体ABCD—AiBCiOi中，AB=2,AQ=2,A4=2,

N84Ai=ND44=6()c,NB4O=90。，则BG与C4所成角的余弦值为()

A.

6

C.

4

2.如图，在四棱锥产一A6c。中，PC±T®ABCD,PC=2,在四边形

ABCDNA8C=N8CD=90。，A8=4,CD=1,点M在P8上，PB=4PM,

PB与平面ABCD所成角为30°.

(1)求证：CM〃平面由。；

(2)求证：平面以8J_平面以D.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.设ei,G是空间两个不共线的非零向量，已知能=2d+氏2,BC=e\+

3e2,DC=2e\-ei,且A,B,。三点共线，则实数攵的值为()

A.-8B.~4

C.-2D.8

2.在正方体A8CD—中，下列关系正确的是（)

A.AD±B}CB.A\D.LBD

C.ACI±AICD.ACI±CDI

3.如图，在空间四边形0ABe中，OA=a,OB=b,沆=c,点M在OA上,

且。M=2MA,N为BC的中点，则加=（）

o

21

+-力

3-

R.2r

21111

c--a+-

32-2

2a2"

4.如图，在三棱柱ABC—A181cl中，设8cl与相交于点O,ZA\AB

=NAiAC=NBAC=60。，AiA=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为（）

而R运

・20•2

5

C-

2D.

二、多项选择题

5.（2025•新高考I卷）在正三棱柱ABC-A\B\C\中，D为BC的中点，则

（）

A.AD1A\CB.BCiJ■平面

C.AD//A\B\D.CG〃平面A4Q

6.（2025♦青岛一模）在正三棱柱48C-A由Ci中，E为AC的中点，点尸满

足丽=2心，Ae[0J],则（）

A.当时，EP//AB

B.当2斗寸，EPlAiCi

C.存在2,使得AiE〃GP

D.存在2,使得EPJ_平面4ACG

7.（2025•汕尾、肇庆二模）如图,在棱长为a的正方体A5CD—AiBiCRi

中，点尸满足丽=2丽i+〃肥，20,1],"£[0,1],则下列说法正确的是（)

A.若;1=",则DP〃平面

B.若2=2〃，则点P的轨迹长度为当。

C.若〃=1,则存在九使。4P

D.若〃则存在九使AC_L平面OP3

三、填空题

8.已知正四面体PABC的底面边长为2,侧棱PB的中点为E,则方•CE=

9.如图，已知二面角a—A8一4的大小为60。，其棱上有A,3两点，射线

AC,8。分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB.若|前|=1,|AC|=1,\BD\=

2,则CD的长为___________.

1().已知在三棱锥尸一43。中，PA=PB=4fPC=1,ZAPB=ZAPC=

M,N,7分别为棱AB,AC,PB的中点，则直线PM与NT所成角

的正切值为.