江苏省某中学2025-2026学年高二年级下册期中考试 数学试题（含解析）

江苏泰州中学2025-2026学年第二学期期中考试

高二数学试题

一、单选题

1.已知A；：=14xl3xl2x…x5,那么加二（）

A.5B.9C.10D.11

2.若随机变量X〜且P（X42）=0.75,则P（0<X4l）=（）

A.0.15B.0.25C.0.35D.0.45

3.已知空间向量不=（-2,x,3）方=（3,T,x）,若万J_B，则工=（）

A.-2B.-3C.2D.3

4.今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《熊出没》票房前四，小明和他的同学一行五人决定

去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（）

A.4s种B.60种C.120种D.54种

5.空间内有三点P（4,0,-4）,E（3,0」）/（2J,2）,则点P到直线M的距离为（）

A.372B.厢C.百D.26

6.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是g,当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为

100%,而当你不会做这道题时，弥选对正确答案的概率是0.25,那么这一刻，你答对题目的概率为（）

A.0.5B.0.75C.0.65D.0.625

7.已知/（幻=（2-幻8=斯+。俨+%/+…+《/，则下列描述正确的是（）

A.出+。2+…+呢=1B./（-1）除以5所得的余数是1

C.+El+1%|+…+=3、D.2a,+3a3H----=—8

8.正方体力的棱长为5,点M在棱上，且4W=2,点尸是正方体下底面"CQ内（含

边界）的动点，且动点。到直线4A的距离与点P到点m的距离的平方差为25,则动点尸到〃点的最小

值是（）

B.2GC.5/6D.V2

二、多选题

9.若¥一44,；）,丫~川（4,£|则（）

142

A.P（y=O）=—B.E（X）=-C.石（2丫-1）=7D.7）（27）=-

X133

10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所

示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

A.第10行所有数字的和为1024B.C；+C：+C；+…+C：o=119

ZI4I

C.第9行所有数字的平方和等于C：8D.若第〃行第i个数记为《，则Z（2'Tq）=3"

/-I

11.在四棱锥s-44CO中，底面力8。0是正方形，ADLSD,ZSZ）C=120\SD=CD=4,P为梭SB上

A.点力到平面S8C的距离为2

B.若尸为棱S6的中点，则过/I,D,尸的平面截此四棱锥的截面面积为6

C.四棱锥S-48C。外接球的表面积为40兀

D.直线力尸与平面SCO所成角的正弦值的最大值为短

三、填空题

12.某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生

的条件下，第二次抽到女生的概率等于.

13.在平行六面体4dG2中，已知48=力。=2,AA=e,/8力。=60’,

/448=/4彳。=45°,则力C的长度为.

202620261

14.设(1-X)2°"展开式为£《/,则Z—=_______.

*=0£=0ak

四、解答题

15.在n>3,〃e的展开式中，第2,34项的二项式系数依次成等差数列.

(1)证明展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有的有理项.

16.有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)全体排成一排，女生必须站在一起；

(2)全体排成一排，男生互不相邻：

(3)全体排成一排，5人中的甲不近最左边，乙不站最右边.

17.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种

是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视

的发展速度，所以越来越多的小学生.家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，4市从该地区小学生中随

机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男

生，6名是女生)

(1)若从样本中选一位学生，己知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；

(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从力市的小学生中，随机选出2()位小学生，求佩戴角膜塑

形镜的人数丫的期望和方差.

18.如图，在四棱台力BCQ—力/£4中，已知ABiiCD,DA=DC=2,

AB=C、D\=1,/BAD=60°,D.D1AD.AB1BD、.

(1)证明：OQJL平面48CQ；

01

(2)若四棱台力88-44CQ的体积为三，求二面角8-CG-0的余弦值.

O

19.某学校有甲、乙、丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是

甲管理停车场，则下一天有g的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有|的概率是丙

管理停车场：若某天是丙管理停车场，则下一天有;的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的

是甲.

(1)求第4天是甲管理停车场的概率；

(2)求第〃天是甲管理停车场的概率；

(3)设今年甲、乙、丙管理停车场的天数分别为X,y,z,判断石(x),E(y),£(z)的大小关系.(给出结论即可,

不需要说明理由)

参考答案

1.C

【详解】因为A[=14xl3xl2x…X5,

所以14-5+1=10,

则m=10.

故选：C.

2.B

【详解】P(0<%<l)=P(l<%<2)=0.5-/>(Ar>2)

=0.5-[1-P(X<2)]=0.5-1+P(^r<2)=0.5-1+0.75=0.25.

3.D

【详解】由1_LB，有4.方=0,RiJa^=-2x3+xx(-l)+3x=0,解得x=3.

故选：D.

4.A

【详解】五人看四部电影，不同的选择共有4$种

5.B

【详解】因为尸(4,0,-4),E(3,0,1),尸(2,1,2),所以而=(-1,1,1),而=(-1,0,5),

.所以乔・方=_lx(_l)+lx0+]x5=6,|£F|=V1+1+1=A/3,|PZ|=71+0+25=V26,

故选：B..

6.D

—1

【详解】由题意，令力表示会做，“表示选对，则P(4)=P(/0=；,

2

一1

且P(8M)=1,P(8M)=T，

4

——1115

所以尸(8)=P(/l)尸(例4)+P(>1)/>(5|J)=^x1+1x1=^=0.625.

7.B

【详解】对于A：令x=l得：4+《+的+…+仆=1；令x=0,得/=2二

---1"。8=1-2*,因此A错误；

对干B：

/(-l)=38=94=(10-l)4=104-C；103+C；102-Cjl0+l=10x(103-C；102+C^10,-C^)+l,因此B正确

对于C：因为(2-x)s二项展开式的通项公式为*=q2f(r)'=(-iyC；28-k,

由通项公式知，(2-ip二项展开式中偶数项的系数为负数，

所以同+同+同+…+同=-%+%-%+~+/，

由(2-X)，=4+…+4/，令x=0,得到%=2、

令尸-1,得到%%-…/=3*,

所以同+同+同+…+闻=38-2§,因此C错误

对于。：对原表达式的两边同时对x求导，

27

得至lj-8x(2—X)，=%+2a2x+3avv+…+8%x,

令x=l,得到q+2%+3。3+…+§。8=-8，令4=0,得q=-8x2‘

所以，2%+3/+…+8%=-8+8x2=8(2?-1)

所以选项D错误.

故选：B

8.B

【详解】

如图所示，作P。，*。，。为垂足，则平面

过点。作2及，4),交4A于A，则，4QJ_平面〃。凡所以外?即为〃到直线4。的距离.

因为尸0例2=25,且PR'-PQ2=RQ'=25,所以PM=P0.

所以点P的轨迹是以力。为准线，点〃为焦点的抛物线.

如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是V=4x（0<y<4）,

点,4（一1,0）,8（4,0）,设p[9,y）,所以附:3/“卜/=后-产+16

=^（/-8）2+12,所以当/=8,|即取得最小值2G.

故选：B

9.BC

【详解】对于选项A：P（X=0）=C：g）°g）4=《，A错误；

14

对于选项B：£（%）=4x-=-,B正确；

对于选项C：七（丫）=4,£（2r-l）=2x4-l=7,C正确；

I14

对于选项D：D（r）=1,D（2K）=4x-=-,D错误.

JJJ

故选：BC.

10.ACD

【详解】对于A,在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为严=1024,正确;

对于R：由公式禺+1+|==；得：

C+c：+c；+—+c：o=c；+c；+c2・・+c；o-i

=C：+C：+…。-1=C：/1=164,错误；

对于C,在“杨辉三角”中，第〃行所有数字的平方和恰好是第2〃行的中间一项的数字,

即（Cj+（C）2+©J+,.+©）2=C〉

因为(1+X)2"=(1+X)"(1+X)"=(C：+C：X+...+CK9(C：X+C：T/+...+C：)

对应相乘可得/的系数为(C：)2+©)2+©『+...+©『，

而二项式(1+J”展开式的通项公式r<2/7,reN,

当，=〃时，*产GX，则炉的系数为C%,

所以(cl：)?+©)+©),+...+(q)2=c>

所以第9行所有数字的平方和等于C二正确；

对于D,第〃行的第，•个数为/=C7，

W+I

所以X2'T•4=2°吗+2]q+2?q+…+2"•%

f=!

r+1

即E21y=C；.2°+C2+C〉22+...+C：2=(1+2)"=3"，正确.

1=1

故选：ACD

11.ABD

【详解】对于A选项，因为/O_LSO,ADLDC,又且SO,DCu面SQC,

所以力。_1面5。。，又因为4O〃BC,所以BC_L平面SQC,

因为/SOC=120。，且SO=CQ=4,

可得S到平面ABCD的距离为37J・S】n6。。=2行，即三校锥5-ABC的高为〃=2行，

设点力到平面SBC的距离为d，且SC=>ISD2+CD2-2SD-CDcos120°=4百，

由/T8c=%-s8c，可得!x：x4x4x/7=！x!x4x4VJxd,得d=4=2.

所以点力到平面SBC的距离为2,所以A正确：

对于B选项，因为SP=P8,所以点尸为棱SB的中点，

取宓中点为0，连接，0，DQ,则平面即为平面。截此四棱锥所得的截面.

且点。是反?的中点，点?为棱S8的中点，

所以在△58c中，也是△S8C的中位线，则尸。=；〃。=2,且PQ〃8C,

又因为四边形力8C。是正方形，则8c〃力。，所以P。〃力。，

因为4OJ.面SQC,且力Ou面SDC,QCu面SOC,所以NO_LQC.

所以四边形力P。。是以力。为下底、尸。为上底，。。为高的直角梯形，

因为SQ=CQ=4,在等腰ASCQ中，QDJ.BC,且。。平分2.4QC,

可得0O=C0cos；/SOC=4xg=2,

则平面。截此四棱锥所得截面的面积为S=g(2+4)x2=6,所以B正确；

对干C选项，又因为NSQC=120。，SD=CD=4,且SC=WL

SC_40

所以sinNSQC-近一，即厂=4,其中「为ASCD外接圆半径，

T

因为正方形力8C。的中心到面SQC的距离等于其边长的一半，即2,故四棱锥s-/8CO外接球的半径为

/?=V22+42=2A/5.

所以四棱锥S-/"CO外接球的表面积为80兀，所以C不正确；

对于D选项，过点、P作PE//SC,再过点E作M//CO,使得从厂分别在线段上，连接尸尸.

根据线面平行的判定定理，可得PE〃平面SC。，石厂〃平面SCO,

因为E尸c/f-E,且£尸,尸Eu平面「石厂，所以平面尸石产〃平面SCQ,

又因为力。1平面SCO,所以/O_L平面?律，即力/_L平面PE/L

所以乙步/即为AP与平面PEb所成的角，即为AP与平面SCD所成的角.

由干4C_L平面SQC,在平面SQC内，故4clsc

从而在直角△SBC中，可得S8=Jsl+c®=,48+16=8.

RFRPr

设P8=x(0W8),由APBESNBC,可得笠=3=9

/>C.X

所以8£=[8。=1・4=；,所以.4尸二；.

oo22

由于S/nJSD^+D#=46+16=4&，

故在△S/IB中，由余弦定理可得8SNS8/!=''+''-=3,

2SBAB4

在中，由余弦定理可得AP=4AB2+PB'—2AB•PBxcos/PBA=—6x+16，

在直角△功「中,可得

2百

sinZJPF=—

”2>JX2-6X+\6

且当x号时，取得等号.

所以sinN/P尸的最大值是毡，所以D正确.

7

12-?

【详解】在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名,

所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是1.

13.V22

【详解】在平行六面体48CO-44GA中，布=而+而+丽,

国|2=（荔+而+麴）2=|研+由河2+2而.而+2方刀+2而刀.

因为I而但而［2=22=4,|五“2=（啦）2=2,

荔•诟=|万||而|cos60=2x2x；=2,

怎2

AB•44=|481|44|cos45'=2x^2

2

也=2

AD•AAt=|AD||AA}\cos45=2x、Qx

2

即|而|二夜

1014

【详解】由（1一x）""=C；o26，（r）°+C；o26，（r）i+…+C歌Ir）'"

202612026i2026/1V

故4=（-1『C；O26，则.丁=£『人

*=ouk*=0|—1）。2026k=0V2026

11左!(〃+1—左)！(左+1)!(〃一女)!

由二+砒'=(〃+1)!+{〃+】)！

n+i-kkl(n-k)\k+\k\(n-k)l

-------------------+----------------

n+\n\〃+1n\

/»+2+21

n+1加〃+lC：

则土十202711

n+2瓯也十互

故三二老以=2027/I12027I

2。28©J己京

t=0aki=0^2026砺•〔仁十仁J

+20271202711

•••+

-2-0--2--8--3---7-必---*-砺〔帚+南

202711111

2028IC；。”plpi「202026下

^2027^2027。2027^2027

2027112027,、2027

-------x(Zl1+l)=--------.

C0+「20272028171014

I口2027^2027

15.（1）证明见解析

⑵守和高

【详解】（1）由第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列得2C：=C：+C；

解得〃=2（舍去）或〃=7

714-3r

的展开式的通式为J=3

2>

厂

令止14-*3_=o,得〃=14

43

故展开式中没有常数项;

14-3r

(2)令sZ,贝lj厂=2,r=6

4

214-617

乎2,丁产储

1-2J647

?1,7

展开式中的有理项为「黄和右祢

16.(1)36；

⑵2

⑶78.

【详解】（1）先将女生捆绑共：A；=3x2=6种排列方法；

再与另外2名男生一共看成3个元素全排列：A；=3x2=6种排列方法;

分步用乘法:共A〉A：=6x6=36种.

（2）先对女生进行全排列:A；=3x2=6种;

再将男生插空，4个空放2名男生：A：=4x3=12利1；

分步用乘法:共A〉A；=6xl2=72种.

（3）法一：对甲的位置进行分类：

第一类：甲在最右i力：1种情况：其他无特殊耍求A：=4x3x2x|=24种:

共lxA：=24种;

第二类：甲不在最右边且不在最左边，共3个位置可以选；

乙不在最右边，除去甲已选的位置，也有3个位置可以选：

其余3人全排列：A；=3x2x1=6种；

分步用乘法：共3x3xA：=3x3x6=54种：

综上，分类用加法：共24+54=78种.

法二（间接法）：

全体排成一排:A；=5x4x3x2xl=120种；

其中甲站最左边：A：=4x3x2xl=24种；

乙站最右边:A：=4x3x2x1=24种;

其中甲站最左边且乙站最右边：A；=3x2x1=6种；

故共有£一力：一父+吊=120—24—24+6=78种.

17.⑴3

Q）E（X）="。⑶噬；

（3）饰I戴角膜塑形镜的人数y的期望是1.6,方差是1.472.

24

【详解】(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜''为事件4则尸(4)=而=0.24,

“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件8,则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件

Q

AB,!i!lJP(Ji?)=--=0.08,

Iuv

P(AB)0.081

故所求的概率为：P(B\A)=

P(A)0.243'

所以从样木中选一位学生，己知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是1

(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所

有可能取值分别为0,1,2,

6x5x4

其中：?(X=0)=*=6.205

8x7x65614,

6

2x6x5

—2—30———15

8x7x65628'

6

史2)=晋=663

8x7x65628.

6

所以男生人数X的分布列为:

X012

5153

p

2828

15、33

所以E(X)=lx—+2x—=

28284

\2

o(x)=(o］：x9+1二3*23345

144J28112

(3)由已知可得：丫〜8(20,0.08)

则：E(r)=wxp=20x0.08=1.6,D(K)=np(\-p)=20x0.08x0.92=1.472

所以佩戴角膜塑形镜的人数y的期望是L6,方差是1.472.

18.(1)证明见解析

⑵当

【详解】(1)在四边形48C。中，•••力。=2,48=1,/历1。=60,

AB±BD,

又VAB±BD、、BDcBD、=B,BD,BD、u平面BDD},

/.AB±平面BD、D,而DD、u平面BD、D,z.AB1DD、.

又•/AZ）_LmABcAD=4彳8,,4。u平面ABCDDDX1平面ABCD；

形—"赵二班，•・.CQ」c>

⑵S四边

形Ati(022，।2

如图建系,

5（V3,0,0）,C（0,2,0）,C,（0,l,>/3）,£>（0,0,0）,

.•.而=卜石,2,0),西=(0,7,6),设平面BCG的一个法向量。=(x,y,z),

«-5C=0j-V