不等式的性质与分式不等式高次不等式【6个核心题型归纳】2027届高三数学一轮复习【原卷版及解析版】

第3讲不等式的性质与分式不等式高次不等式

题型总览核心题型归纳（目录）

【题型1】作差/作商法比较数（式）的大小

【题型2】不等式的性质与真假判断

【题型3】由不等式的性质求和式/差式/商式的范围

不等式的性质与分式不等

式高次不等式

【题型4】由已知不等式判断条件不等式

对称性a>6o6<a

1.1对如tL与传递tL..

f?递性a>6,6>c=>a>c

可加性：a>b=>a+/>b+<?

同向可111：a>b,e>d=a+c>b+d

_=»基本在质211注的丹

杼项法则:a+b>c=>a>cb

保号性b,c>0=>ac>be

13桌法也更变身性b,c<0=>ac<J>c核心易tl点

♦向正—可一：a>b>0.c>d>0今ac>6d

闾号取货反向：a>b>0o=<；

11像散■序C

-------->.7--号.号_・_报刊=断-：-a-V--。-V-b-a-J.-<-4.

一方:.>b>0=>a">6”mWN,n2?

街丁和w2_2初与分方开方：a>6>0(nGN,n>2

的束：后约必仍一正数

三角不等式：ab<\a£b<a\+b\

22绝Z1值性U

：工1<矶。2>°)o-。S工<o

不等式的性酒CfflSitft）等价算化:

|x|>a(a>0)<=>x>QuRz<-a

转化原则-“至百接去力©，必泣惨项曲后黄化工注式：

?1分式不3式01/招>0o/（N）g（z）>0

等价模S2：/g)g(N)>o

00

g(©丰o

右械化为0.左1领H1T'介诙.

用作冬冈式工系数二正

使穿M■引线法空夕国小

关建点：从政声右上方起至，遇罕垄根穿辽1联里欢父尹：

盘二，必"左弯f等二7rF~

4.1FJ号幅陕

使用史致、亚方，时，必须花让正负性.

分式不等式中，分三便不为0

（2力义垢ia阳__

倭次K式下，班方登非负

严格不等式（>/<）共化时，注朦等号是否成立。

—3j?SOL

分式>0时，分子可为0,分母不可极

模块一核心题型-举一反三

【题型。作差/作商法比较数（式）的大小

基础知识

核心知识

作差法原理：a—b>0<^>a>b;a—b=0<^>a=b;a—b<0<^>a<b

作商法原理：当/?>（）时，—>1<=>67>Z?；—=1<^>a=b；—<\<^>a<b

bbb

适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系

方法技巧

I.作差法通用步骤：作差T变形（因式分解/配方/通分）一判断差的符号T得出大小关系

2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、幕式比较

3.变形技巧:

因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积

配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号

通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理

4.特殊情况处理：差式无法直援判断符号时，可代入特殊值辅助脸证，再分情况讨论

【经典例题1](2026•青海西宁•二模)已知Q>b>0>c,则下列不等式一定正确的是()

A.ac>beB.a(a+c)>b(b+c)C.a(b-c)>b(a-c)

【经典例题2】(2026•河北•一模)己知某圆锥与圆柱的底面半径均为小高分别为九，h2,且该圆

锥与圆柱的表面积相等，若九二+电=4/，则圆锥的体积匕与圆柱的体积匕的大小关系为()

A.匕>%B.匕=，2C.V.<V2D.不确定

【巩固练习I】(25-26高三上•北京朝阳•期末)已知m>n>0,贝U()

A.m>fn<nyfmB.m+n>mn

C.仅当2域也D.2+”>2

\2J2mn

【巩固练习2】(25-26高三•全国•一轮复习)已知则?与眨的大小是__________1

【巩固练习3】(25-26高一上北京•月考)已知M=(Q+2)[Q+3),N=(a+1)(Q+4),则()

A.M=NB.MVN

C.M>ND.无法确定

【题型2】不等式的性质与真假判断

基础知识

核心知识

基本性质：

1.对称性：a>b<^>b<a

2.传递性：a>b,b>c=>a>c

3.可加性：a>b=>a+c>b+c;a>b,c>cl=>a+c>b+d

4.可乘性：a>b,c>0=>ac>be；a>b,c<0=>ac<be；a>b>0,c>d>0=>ac>bd

5.乘方/开方性：->々">/（”在忖*）：a>b>>^fb（nG

易错性质：a>b=>a2>b2（不恒成立，如。=1]=-2）；«>/?=>—<—（不恒成立，如

ab

«=1,/?=-1）

方法技巧

1.性质逐一脸证法：根据不等式的基本性质，逐条脸证命题是否成立

2.举反例排除法：对错误命题.只需举出一个反例即可否定，适用于选择题

3.符号优先判断：判断含乘方、倒数的不等式时，先明确各数的正负，避免直接套用性质

4.等价变形法：将不等式变形为等价形式，再结合已知性质判断，如将变形为生工<0

ahab

aaaMM.«_••MM••MM,•""*""*

【经典例题1】（2026•山东济宁•三模）（多选）已知a,b,c为实数，则（）

A.若ac2>be2,则Q>匕B.若a>b,ab00,贝壮VJ

ab

C.若Q>b>c>0,则空：>2D.若Q>0,b>0,a+b=l,贝壮+5N4

a+caab

【经典例题2】（2026•湖南长沙.二模）己知a,b,c£R,且a>b,则下列不等式恒成立的是（）

A.-<^B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

【巩固练习1】（2026•河北秦皇岛•模拟预测）已知实数a,b满足Q>b,且工>:，则（）

a0

A.ab>0B.a+ft>0C.a+b<0D.ab<0

【巩固练习2】（2026•陕西•模拟预测）（多选）如果a,b,c,d£R,abH0,则下列说法正确的是（）

A.若a>匕，则工V；

QD

B.若ac?>be?,则Q>b

C.若a>b,c>d,贝ijac>匕d

D.若b>Q>0,c>0,则比<2

a+ca

【巩固练习3】（2026・重庆•二模）己知avbve,则（）

A.ac<beB.ac<b2

C.2a+b<2b+cD.b-a<c-b

【题型3】由不等式的性质求和式/差式/商式的范围

基础知识

核心知识

同向不等式可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；a<b,c<d=>a+c<b+d

异向不等式可减性：a>b,c<d=>a-c>b-d（等价于a>b,-c>-d,再相加）

同向正数不等式可乘性：a>b>0,0（/>0=>ac>M；可除性：

a>b>0,0<c<d=>—>—

cd

易错点：同向不等式只能相加，不能相减；同向正数不等式只能相乘，不能相除，需转化为加

法/乘法形式

方法技巧

1.线性组合法：将目标式表示为已知不等式的线性组合，如已知x£[40],），£求+，的

范围，通过设/nr+=k（x+y）+/（x—y）转化求解

2.分步推导法：先利用同向可加性求X+），、工一）的范围，再结合可乘性求目标式范围，避免直接

多次相加导致范围扩大

3.变量分离法：将目标式中的变量分离，分别判断各部分的疝围，再结合不等式性质推导

4.端点脸证法：求出范围后，捡证端点是否能取到，避免因多次使用不等式性质导致范围失真

【经典例题1】（24-25高一上•广西河池•期中）已知2Va<3,-2VbV0,则a+2b的取值范围为

（）

A.0<a+2b<3B.0<a+2b<3C.-2<a+2b<3

D.—2<a+2b<3

【经典例题2】（25-26高一下•四川成都•期中）若1<a+匕<4,一2Va-bV4,则a+3b的取值范

围是（）

A.-5<a+3b<1B.-2Va+3bV10C.-2<a+3b<9

D.-5<a+3bV10

【巩固练习1】（25-26高一下•河南商丘•月考）已知一1Wx+y41,1Wx—yW2,则4无一2y的取

值范围是（）

A.[2,7]B.[3,8]C.[2,8]D.[5,10]

【巩固练习2】（25-26高一下,山东德州•月考）已知02,-1W2x+3yW1,则6%+y的

取值范围为

【巩固练习3]（25-26高二上北京朝阳•月考）已知实数a,b.

（1）若一3vavljvbV5则岬取值范围;

（2）若一1VQ+8<3,2Va-b<4,求2Q+3b的取值范围.

【题型4】由已知不等式判断条件不等式

基础知识

核心知识

已知条件不等式（如等），判断目标不等式是否成立，本质是对不等式性质的综合

应用

核心逻辑：利用已知条件，结合不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等，推导目标不等

式的符号或大小关系

方法技巧

1.性质链推导法：从已知条件出发，逐步利用不等式性质推导目标不等式，形成完整的逻辑链

2.特殊值代入法：代入符合已知条件的特殊值，脸证目标不等式是否成立，快速排除错误选项

3.符号分析优先：先判断各变量的正负，再利用可乘性、倒数性质推导，如9>0说明。力同号，

可用于判断倒数不等式

4.等价变形法：将目标不等式变形为与已知条件相关的形式，如判断标>/可变形为

（。-33+匕）>0,结合已知a—。的符号，只需判断的符号

【经典例题I]（2026•山东东营•二模）（多选）已知zn>7i>0,则下列说法正确的是（）

A.m7n>lnnB.cos771<cos'

C.若c>0,则me>ncD.（1）>（：'1n

【经典例题2】（2026•河南南阳•模拟预测）（多选）已知Q<b<0,则（）

C.2a-a2>2b-b2D.sina+a3<sinb+b3

【巩固练习1]（2025•安徽•模拟预测）（多选）已知log3a>log3b，则（）

A.a-b>b

C.a\a\>b\b\

D.Aa，>a4b

【巩固练习2]（24-25高二下•江苏苏州•期末）（多选）已知a>b>0,则（）

A.ah>b2B.a+b>ab

C.y/a—yfb>[og2b_log2aD・V1+u2-V1+b2<a—b

【巩固练习3】（2025•海南•三模）（多选）已知实数%,y满足xvy,则下列不等式一定成立的是（）

A.y3>x3B.log（y-%）>0C.->->0D.>x—y

3“y2

【题型5】分式不等式

基础知识

核心知识

定义：形如J^AoyoGOgO）的不等式，其中仪工）工0

g*）

等价转化：

3>0=/（幻工（幻>0

g（x）

里<（）=/a）g（x）<（）

g（x）

/*八，（幻超叱0

----NU<

g（x）一[g（x）w0

-------SU<

gM~[g*）wO

关键：分式不等式转化为整式不等式时，必须注意分母不为o的限制

方法技巧

1.等价转化法：将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意保留分母不为0的条件

2.数轴标根法（穿针引线法）：将整式不等式的根标在数轴上，从右上方穿线，科次根穿过，偶次根

不穿过，快速写出解集

3.移项通分法：对含多个分式的不等式，先移项、通分，化为单个分式再求解，避免直接交叉相乘

（易出错）

4.特殊情况处理：当分子或分母含参数时，需分类讨论分母的正负，避免直接乘除导致不等号方向

错误

[经典例题I】(25-26高三・全国•一轮复习)不等式台>2的解集是()

A.{%I—2<x<1}B.{x|%<—2}C.{xI—2<x<1]D.(x\

x>1]

【经典例题2](25-26高一上•广西南宁•阶段检测)不等式上1<0的解集是()

X-1

A.{%|1<%<3}B.{%|1<%<3}C.{x|1<%<3}D.{x\x<

3)

【巩固练习1】(25-26高一下•湖南长沙•期中)不等式三?2的解集是()

X-1

A.{x|-2<x<l]B.[x\x<-2}

C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1]

【巩固练习2](25-26高二下•江西抚州•期中)已知定义在(0,3)上的函数/(%)的图象如图所示，则不

等式窘>。的解集为().

O

A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2)U(2,3)D.(0,1)U(1,2)

【巩固练习3](25-26高一上・甘肃兰州•期中)不等式告<1的解集是()

A.[泗B.停,2)C.(-8,引u(2,+oo)D.今+8)

【题型6】高次不等式

核心知识

定义：次数高于2次的整式不等式，形如

nn

/(x)=anx+an_xx」+...+qx+%>0(<0,>0,<())(??>3,a产0)

核心解法：因式分解+数轴标根法，将高次多项式分解为一次因式的乘积，再通过穿线法求解

关键：正确因式分解、判断各因式根的重数，以及最高次项系数的符号

方法技巧

1.因式分解法：将高次多项式分解为(X—内尸(]一工2卢…(工一/声的形式，其中巧为根.尤.为根

的重数

2.数轴标根法步骤：

1.移项：将不等式化为/(幻〉0(<0,20,«0)的形式，且最高次项系数为正

2.标根：求■出/(幻=0的所有根，标在数轴上

3.穿线：从数轴右上方开始穿线，奇次根穿过数轴，偶次根不穿过(”奇穿偶不穿”)

4.写解集：根据不等式符号，取数轴上方(>0)或下方(vO)的区间，注意NO/WO时

包含实根，>0/<0时不包含

3.易错点规避：穿线前必须将最高次项系数化为正，否则穿线方向会错误；重根的处理要严格遵循

“奇穿偶不穿”

4.含参数高次不等式：先因式分解，再根据根的大小分类讨论，画出数轴标根图求解参数范围

【经典例题I](2026•辽宁辽阳二模)不等式生立之1的解集是()

X

A.(-co,1]u[4,+00)B.[1,4]C.[1,2)U(2,4]D.(0,1]U

[4,+8)

【经典例题2】(25-26高三上•内蒙古呼和浩特•期末)1”是“炉+4/+无一6>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【巩固练习1](25-26高一上•天津和平•阶段检测)不等式(％+1)(2-%)2(%-3尸之0的解集为

【巩固练习2](25-26高一上•广东深圳•阶段检测)不等式x(3/+%2-8x+4)(%+2)＜。的解集为

()

A.(-8,-2)U(-2,0)U自1)B.(-2,0)U(0,g)U(：,1)

C.(-2,O)U(O,1)U(1,+^)D.(-8,0)“0,§呜1)

【巩固练习3】(25-26高一上•湖南常德力考)解下列不等式;

(l)-x2+4x+5<0：

(2)3+系20：

(3)x3-5x2+3x+9<0.

踝后退医检冽

一、单选题

I.（25-26高一上•福建莆田•阶段检测）不等式040的解集为（）

x-3

A.{x|xV1或x23}B.{x|l<x<3}

C.工1或%>3}D.{x|l<x<3}

2.（2026♦山东济宁•三模）已知集合4={如不一1|<1},8={f>1},则4nB=（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（-1,2）

3.（25-26高一下•四川成都•期中）已知M=%2-2%+4,N=2X-1,则M与N的大小关系为（）

A.M>/VB.M<NC.M>ND.与％有关

4.（25-26高三下.北京•阶段检测）已知a,瓦C6R,且a>b,c>1,abH0,贝U（）

A.a-c>b-lB.ac>bC.7>£D.->-

bacc

5.（2026高三.全国.专题练习）设a>b>0,下列不等式不正确的是（）

A.ab<^B.ab<（^}2C.普,而D.而〉缺

2\2Ja+ba+b

6.（25-26高一上•福建厦门•阶段检测）不等式立巴|工工的解集为（）

3+2X-X2

A.[-1,2]U[3,+co）B.（-1,2]U（3,4-a?）C.（-1,2）U（3,+8）

D.（-oo,-l）u[2,3）

7.（2026•山东聊城•二模）已知正数1满足log5>log*>0.则下列说法正确的是（）

A.c>1B.aVb

C.ac>bcD.cb>ca

8.（2026•黑龙江哈尔滨•三模）下列各式大小比较中正确的是（）

A.V7-V5>V5-V3B.tan11<sin"

55

C.21n3<3ln2

5c、乙，

9.（2026•北京昌平•二模）设-则下列不等式一定成立的是（）

A.log2|x|-log2|y|<0B.G尸一G）y<0

C.x2-y2<0D.sinx-siny<0

10.（2026・四川绵阳•模拟预测）已知a/WR,且0<|a|<6V1,贝ij（）

22

A.u>bB.-a>7bC.a+1b+1D.cusu<cusb

二、多选题

11.（25・26高三下•贵州遵义•阶段检测）若Q>b>0,c<d<0,则（）

cc

A.a-c>b-dad>bcC.a>bD.—c-l>-c

12.（2026高一•全国・专题练习）（多选题）若实数”，〃满足1+则下列

说法正确的有（）

A.Q的取值范围为［0,4］B.匕的取值范围是［-1,3］

C.3。一2匕的取值范围是［-2,10］D.3Q-2b的取值范围是［-6,14］

13.（25-26高三・全国•一轮复习）［多选］下列说法中正确的是（）

A.若c>0,ac>be,贝JQ>b

B.若一2<aV4,1<b<3,则一8Va-2bV2

若则“<?

C.a>b>U,m<0,ab

D.若一2<a+b<4,l<b-2a<3,则一9〈a-2bv0

14.（2026•贵州黔西南•二模）己知实数a,b满足而G则（）

A.a>bB.-a<7b

C.（a-b）（a+ft-2）<0D.2a-2b>3-a-3-b

三、填空题

15.（25-26高一上•重庆・月考）不等式（/一3%+2）（/一工一2）>0的解集为.

四、解答题

16.（24-25高一上•广西河池•期中）比较（％-3）2与（％-2）。-4）的大小.

第3讲不等式的性质与分式不等式高次不等式

题型总览核心题型归纳（目录）

【题型1】作差/作商法比较数（式）的大小

【题型2】不等式的性质与真假判断

【题型3】由不等式的性质求和式/差式/商式的范围

不等式的性质与分式不等

式高次不等式

【题型4】由已知不等式判断条件不等式

【题型5】问不等式

【题型6】高次不等式

对称性:a>bob<a

L1对如fl句传递tL一

f?递性：a>b.b>c=>a>c

可加性：a>b=>a+c>b+c

同向可tO：a>b,e>d=a+c>b+d

杼项法则:a+b>c=>a>cb

保号性：a>b,c>0=»">6c

L3或法性质变号性：O>&CV068〈配核心舄■・）

同向正81可集：a>b>O.c>d>0=>ac>bd

闾号取货反向：a>b>00）<

2d俱K忖怀c_一一-，--,---------------,-

-------）丁号丁报刊丁：a<O<b=>!<

柔方：a>b>0=»a">b"(neN,n22

开方：0>6>On<Z>©,inGN,n>2

三角不善式：a-b<\a£b<a+b\

22绝值性IS

Hlf研。2*0)o-aSz<a

不等式的性格（机司f）等价算化:

㈤>a(a>0)ow>a或z<-a

转化原则「发m接去父母，必渔侈项通分后黄化为生t：

工1分式不，等式o/招>0O/（2）g（N）>0

/g)g(N)>o

g(©丰o

右铁化八0.左1尚｛刃寸外诙.

卸7个因式工系数为正

使「穿th引线法仝受偶1拄1

关建点：从政声右上方起至，遇罕至权穿辽,联里欢父尹：

.…八以•一？？.―会改®不等二方5~

4.1FJ号陷F齐------公“.4«,MX、―KM7T：一

使用汽S5L乘方tl支时，心以/kl_正负性.

分式不安式中，分=慢不为0

4.2力义垢lifi阳__

依次投式下，议升方g非负，

产格不等式（>/<）林化时，江目等口是否成立。

分式>0时，分子可为0,分母不可为0。

模块一核心题型-举一反三

【题型1】作差/作商法比较数（式）的大小

基础知识

核心知识

作差法原理：a-b>0<=>a>b：a-b=0<=>a=b；a-h<0^>a<b

作商法原理：当人>0时，—>\<=>a>b：—=1<=>a=b：—<\<=>a<b

bbb

适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系

方法技巧

1.作差法通用步骤：作差T变形（因式分解/配方/通分）一判断差的符号T得出大小关系

2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、球式比较

3.变形技巧：

因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积

配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号

通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理

4.特殊情况处理：差式无法直接判断符号时，可代入特殊值辅助脸证，再分情况讨论

【经典例题1](2026•青海西宁•二模)已知Q>b>0>c,则下列不等式一定正确的是()

A.ac>beB.a(a+c)>b(b+c)C.a(b-c)>b(a-c)

D.告>旨

a-bb-c

【答案】C

【分析】根据不等式性质以及特殊值求解.

【详解】选项A:因为Q>b,C<0,所以QCVbc,错误.

选项B：a(a+c)—b(b+c)=a2—b2+c(a—b)=(a—b)(a+b+c).

a—b>0,取a=l,b=0.5,c=-2,则(a—b)(a+b+c)=0.5x(-0.5)<0,错误.

选项C：a(b—c)-b(a—c)=ab—ac—abbe=c(b—a).

因为cv0,b-a<0,故c(匕-a)>0,即a(b—c)>b(a-c),C正确.

选项D：取Q=5,/?=3,C=-1,满足Q>b>0>c,则左边」：=右边号="D错误.

a-D2b-C424

【经典例题2】（2026•河北•一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r,高分别为九，h2,且该圆

锥与圆柱的表面积相等，若九二+电=4「，则圆锥的体积匕与圆柱的体积匕的大小关系为（）

A.＞V2B.=V2C.匕＜玲D.不确定

【答案】C

2

【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有nN+冗/〃？+hj=2nr+2nrh2＞

整理得好=4九：+钎电，因砥=4r-/i2，

代入化简得3处+12rh2-16r2=o

解得：h2二2际3）二代人儿=4T一%,可得.=2（9-⑸二

33

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因匕=1xnrx生，V2=nr?xh2，

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则匕•=4==^=里＜山=1,

V23h22（VH-3）r66

故匕＜V2.

【巩固