二次函数的图象和性质-2026年中考数学一轮复习（原卷版）

模块三函数

第四讲二次函数的图象和性质

知识梳理夯实基础

知识点1:二次函数的概念及表达式

1.一般地，形如卢加*云+。（。，b,。是常数，QWO）的函数，叫做二次函数.

2.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=a^+bx+c（a,b,c,为常数，aWO）.

（2）顶点式：y=a（x・h）2+k（a,h,攵为常数，aWO）,顶点坐标是（〃，k）

*

（3）交点式：^=（7（X-X1）（X-X2）,其中此是二次函数与工轴的交点的横坐

标，〃WO.

知识点2：二次函数的图象及性质

1.二次函数的图象与，生质

解析式二次函数/以■'bx+c（a,b,c是常数，"WO）

b

对称轴x=--

2a

/b^ac-b2、

顶点(—-»-------)

2a4a

a的符号a<0

a>0x

y

\

图象/

/x/[T

开口方向开口向上开口向下

当尸-2时，当广一3时，

la2a

最值

4ac-b24ac-b2

＞量八值

4（7…4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

当水-2的，y随X的增大而减当爪-2时，随入的增大而增

2a2a

增减性小；当了＞-2时，y随x的增大而大；当%＞-2时，y随x的增大而

2a2a

增大减小

2.二次函数图象的特征与小b,c,的关系

字母的符号图象的特征

。》0开口向上

a

水0开口向下

对称轴为y轴

bab〉O（〃与同号）对称轴在y轴左侧

ab＜0（a与。异号）对称轴在y轴右侧

c-0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

与X轴有唯一交点（顶

b2~4ac=0

点）

b1-4ac

h-4oc>0与X轴有两个交点

b2-4ac<0与X轴没有交点

知识点3:抛物线的平移

i.将抛物线解析式化成顶点式k4a-〃）2+上顶点坐标为（〃.k）.：

2.保持产奴之的形状不变，将其顶点平移到（〃，k）处，具体平移方法如下:

向上伙＞0）【或下伏＜0）】平移圈个单位r产加+可

向右仇＞0）向右go）

［或左（左0）］［或左（〃＜0）］

平移㈤个单位平移㈤个单位

u_______

叵龙I-向工心））［市（M））西移出个单矿叵2

3.注意

二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，

据此，可以直接由解柝式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象

的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.

知识点4:二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数/or—bx+c(〃W0),当尸0时，就变成了一元二次方程

(〃W0).

2.ax-+bx+c=0(aWO)的解是抛物线产oV+bx+c(aWO)的图象与x轴交点的横

坐标.

3.(1)加-4ac>00方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

(2)。2-4勿二00方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点

(3)加-4a«0o方程没有实数根，抛物线与r轴没有交点.

知识点5:二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线

的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其

他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别

该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.

2、函数动点问题

(1)函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在

点、相似等有关的二次函数综合题.

(2)解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同

时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，

要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.

(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运

动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关

的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算.

直击中考胜券在握

1.(2021•甘肃兰州中考)二次函数,y=Y+2x+2的图象的对称轴是()

A.x=-IB.x=-2C.x=1D.x=2

2.(2021•西藏中考)将抛物线"=(x-1)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个

单位长度所得到的抛物线的解析式为()

A.y=x2-8x4-22B.y=x2-8x+14C.y=x24-4x+10D.y=x2+4x4-2

3.（2021•广西河池中考）二次函数），=依2+展+W〃。01的图象如图所示，下列说法中,

错误的是（）

A.对称轴是直线X=gB.当-lvxv2时，），<。

C.a+c=bD.a+b>-c

4.（2021•辽宁阜新•中考真题）如图，二次函数,y="r+2）2+A的图象与x轴交于4

3（-1,0）两点，则下列说法正确的是（）

A.a<0B.点4的坐标为（-4,0）

C.当工<0时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴为直线1=-2

5.（2021•广东广州•中考真题）抛物线,，=6+/>+。经这点（3,0）,且与y轴交于

点（0,-5）,贝！1当x=2时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-ID.5

6.（2021•绍兴中考）关于二次函数），=2*-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的

是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

7.（2021•贵州黔东南中考）如图，抛物线4：,'=^2+法+4。=0）与x轴只有一个公共点A

（1,0）,与）’轴交于点B（0,2）,虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度

得抛物线右,则图中两个阴影部分的面积和为（）

8.（2021•江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数），=/的图像向左平移2个单

位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=（x-2）2+lB.y=（x+2）2+\C.y=（x+21-lD.y=（x-2）2-l

9.（2021•山东淄博中考）已知二次函数y=2/_8x+6的图象交x轴于AB两点.若其图

象上有旦只有小斗々三点满足2八%=邑八*=S：=m,则的值是（）

3

A.1B.-C.2D.4

2

10.（2021•内蒙古赤峰•中考真题）已知抛物线>=外2+以+。上的部分点的横坐标x与纵

坐标y的对应值如表：

X•••-10123•••

y30-1m3•••

以下结论正确的是（）

A.抛物线.v=a/+b%+c的开口向下

B.当x<3时，y随x增大而增大

C.方程加2+bx+c=0的根为。和2

D.当），>。时，x的取值范围是0<x<2

a（a<b）一皿

11.（2021•四川雅安中考）定义：min{a,b}=«…,若函数

y=min（x+1,-x2+2X+3）,则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

12.（2021・湖北天门中考）若抛物线），=/+尿+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴

为x=2,P为这条抛物线的顶点，则点P关于*轴的对称点的坐标是（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（—2,T）D.（2,-4）

13.（2021,贵州铜仁中考）已知直线、=依+2过一、二、二象限，则直线y="+2与抛

物线），="2-2入+3的交点个数为（)

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

14.（2021•四川广元中考）将二次函数），=--+2%+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻

折后，所得新函数的图象如图所示.当直线），=、+〃与新函数的图象恰有3个公共点时，b

的值为（）

21T.13fc_21f_13fr

A.一丁或-3B.一丁或-3c.丁或-3D.丁或-3

4444

15.（2021•四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线y=/-4x+5与》轴交于点C,

则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4.r+5B.y=x2-f-4x+5

C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5

16.（2021•广西贺州中考）如图，已知抛物线y=与直线），=辰+6交于4-3,y）,

仇1，必）两点，贝IJ关于5的不等式6+〃?的解集是（）

A.X<-3^A>1B.x<-l^x>3C.-3<x<lD.-l<x<3

17.（2021•内蒙古中考）己知二次函数.丫="2-法+。（，件0）的图象经过第一象限的点

。，-勿，则一次函数了=历一"的图