第五章 分式与分式方程 综合练习（三）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章分式与分式方程综合练习（三）

一.选择题（共10小题）

1.下列式子中是分式的是（）

X2_]

2.若分式一二的值等于0,则x的值为（）

x+l

A.±1B.IC.-1D.0

3.把分式--中的x、y都扩大2倍，则分式的值（）

x+y

A.扩大2倍B.扩大4倍

C.不变D.缩小为原来的1

4.关于4的分式方程匕”+—=3的解为正实数，则实数所的取值范围是（）

X22X

A.-6且B.m>6且C.小V6且〃-2D.〃?V6且〃?W2

5.用A,B两个机器人搬运化工原料，4机器人比B机器人每小时多搬运40依，A机器人搬运1200依所

用时间与8机器人搬运900依所用时间相等，设A机器人每小时搬运欢?化工原料，那么可列方程（）

120090012009C0

A.—B.—

XX-40X+40X

90012001200900

C.—D.—

X+40XX-40X

6.下列各式中，是最简分式的是（）

2aa+1

A.B.,

3a2ba2+l

aa2+ab

C-----D------

a2+3aa2-b2

7.下列各式从左到右变形一定正确的是（）

xx2-x-y

A.—B.：-1

yx+y

xx+zx+y1

C.—D.：

yy+zxl-ylx+y

x—215

8.解分式方程-1=:二丁，去分母得（）

2x-ll-2x

A.x-2_l=_l.5B.2-x-1=1.5

C.x-2-（1-2x）=1.5D.x-2-（2A-1）=-1.5

1111

9.在计算分式二一的值时，若/分别取2025,2024,2023,,•,»2,1,0）1,一，

xz+l23'‘2023‘2024’

1

赤,再将所得结果相加之和等于（）

A.2026B.-IC.2025D.2025加

10.已知整式=Qn/++…+。1工+九，其中〃，“”，an-],41为正整数，且1

.下列说法：①当〃=3时，则满足条件的所有整式M3有且仅有10个；②记所有整式

M2的和为S,若多为整数,则满足条件的所有整数x之和为-4；③当如•加1•…・m・〃=24时，则满

Mi

足条件的所有整式W〃有且仅有7个.其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二,填空题（共6小题）

11.当x满足条件时，分式丁二有意义.

12.分式等"，-的最简公分母是____________

blcalb2ac

12

13.方程--一;=0的解为.

xx+3

AB3m-4

,4-已知hu,则常数4,8的值分别是:

(m-l)(7n-2)

15.小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000

元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯

电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为.

16.若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0,且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位

和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为''开心数"，例如：四位数2541,因为（4+1）2=25,所

以2541是“开心数”;又如，四位数6745,（4+5）2=81^67,所以6745不是“开心数”.则最大的“开

心数”为:已知M=砺是“开心数”，将M去掉个位数字后所得的三位数记为Mi,记

G（M）=g,G（M）=3c2.一叫若6尸（M）+Mi+7d能够被9整除，则满足条件的G（M）最大值

与最小值的和为.

三,解答题（共7小题）

工24

17.先化简,再求值：口+有,其中k-2.

1x—1

18.解方程：力=£+3・

31—%

以小明同学解分式方程育+2=有出现了错误，其解答过程如下:

解；方程两边同乘以（x-4）,得—2（%—4）+2=君（％—4）（第一步）,

人1人I

-3+2=l・x（第二步），

x=2（第三步），

检验：当x=2时，X-4W0（第四步），

所以原方程的解为工=2（第五步）.

（I）小明的解答过程从第步开始出错的，其错误的原因是；

（2）请写出此题正确的解答过程.

20.为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆风来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该

项目中的一段2400米的桥梁施工任务.现计划由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、

乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米.

（1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？

（2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙

工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420

万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的手倍,

则甲工程队每月的施工费用是多少万元？

—1AnAQ+lcQ+3

21.已知力二用，B=^・

（I）若4=1-求的值；

14I4

（2）若〃>0,比较人与A的大小关系.

22.根据发现的规律【可答问题

（1）解下列方程

=怖彳-1的解为X=;

电言=一1的解为“=；

=AY一1的解为r=：

~-1的解为工=;

（2）根据上述规律和形式继续写出⑤⑥:

⑤；

⑥；

（3）请根据上述规律写出第〃个（〃为正整数）方程及它的解，并写出解题过程.

23.著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的

东西，这是数学解题的一个重要原则.

【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分

数・如：9=学=2+[=2看我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大

于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分

式”.

X—1X232%

如一，一这样的分式就是假分式；—,这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为

x+1x-1x+1x2+l

带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

,x-1（x+l）-22x2x（x-l）+（x-l）+l1

如：一=-——--=1--;——=——————--=X+1+——.

x+1x+1x+1x-1x-1x-1

解决下列问题：

【理解知识】（1）分式空空是分式（填“真”或“假，

X

x+2

【掌握知识]（2）将假分式一:化为带分式；

%+3

+4X—3

【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式———的值为整数.

x-1

第五章分式与分式方程综合练习（三）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.【解答】解：A、工的分母不含字母，不是分式，不符合题意:

n

x

8、y的分母不含字母，不是分式，不符合题意；

C、|的分母不含字母，不是分式，不符合题意；

。、工的分母含字母，是分式，符合题意.

x-3

故选：D.

2.【解答】解：根据题意得上*-1=0,

b+1H0

解得x=l.

故选：B.

2x

3.【解答】解：把分式为中的小），都扩大2倍后，

2x2x4x2x

2x+2y2（x+y）x+y'

故选：C.

x+m2m

4•【解答】解:+

X—22-x

方程两边同乘（X-2）得，-2m=3x-6,

解得，大二号

6-771

-------02,

2

6—771

由题意得，-^―>0,

解得,m<6»

实数，〃的取值范围是：m<6且〃?W2.

故选：D.

5.【解答】解：・・・A机器人比8机器人每小时多搬运40依，且A机器人每小时搬运x版化工原料,

•••8机器人每小时搬运（x-40）依化工原料,

1200900

根据题意得:

XX-40

故选：A.

2a2

6.【解答】解：A.—=--不是最简分式,故该选项不符合题意:

B.黑是最简分式，

故该选项符合题意;

aa1

不是最简分式.故该选项不符合题意:

z

a+3aQ(Q+3)a+3

雾"(£；；工广言不是最简分式，故该选项不符合题意，

故选：B.

X%2

7.【解答］解：-=—则A不符合题意；

yxy

士Z=32=T,则用符合题意；

x+yx+y

xX+?

一与一不一定相等，则C不符合题意；

yy+z

卢^=u=上，则。不符合题意;

xL-yL(x+y)(x-y)x-y

故选：B.

x-21c

8.【解答】解：方程整理得：力-|=-昌,

去分母得：x-2-(2A-1)=-1.5.

故选：D.

》2—1n

9.【解答】解：分式T二=1一等,

x2+l*+1

当x=0时，原式=-1,

当x=1时，原式=0,

2

当x=2025时,原式=1

20252+1

10^)一]1-202521,2

当*=前历时，原式=-----------2=一]-----7----

(忐八11+2025/2025z+l

1

当x=2024时，原式=1--------n—»

2024z+l

当工=・^时，原式==1-20242=_1+2

-1+20242—20242+1,

2

当x=2时，原式=1

22+1

・••当x=2025与当％=/时，原式是值互为相反数，它们的和为0,

乙U乙D

当x=2024与当％=册时，原式是值互为相反数，它们的和为0,

当x=2与当时，原式是值互为相反数，它们的和为0,

・•・将所得结果相加之和=-1.

故选：B.

10.【解答】解：①当〃=3时，M3=av?+av?^aix+3,lWa34i2WmW3,

••・阳=3/+3/+3%+3或M3=2?+3X2+3A-+3或A^3=Zv3+2x2+2x+3或^3=2?+2,¥2+3^+3,

M3=/+3/+3X+3或M3=X3+2X-2+2¥+3或M3=x3+2x-2+3x+3或My=x^+x1+x+3或M3=x3+.r+2v+3或M3

=X3+X2+3X+3,共10种：

@M1=Zd+Zr+Z或M2="+2r+2或M2=.r2+x+2»S=4.V2+5A+6,Mi=x+1,

S4X2+4X+%+1+55

一=---------------=4%+1+-------,

%X+lx+1

/.x+l=±l,±5,

Ax=0或-2或4或・6,

・•・满足条件的所有整数x之和为・4；

③•.■““•a”」...m・〃=24,

A24=1X24=2X12=3X8=4X6=2X2X6=2X3X4=2X2X2X3,

・•・满足条件的所有整式有且仅有7个.

故①©③正确，

故选：O.

二.填空题（共6小题）

x-2

11•【解答】解：•・•分式『一；有意义，

2x-2

••⑵-2W0,

解得xW1.

故答案为：x^\.

12.【解答】解：因为庐&办,2ac,中的常数项系数的最小公倍数是2,。的最高次第是2,力的最高次第

是2,c的最高次辕是1,

所以三分式的最简公分母是2a2b2c.

故答案为：2a2b2c.

13.【解答】解：两边都乘以x(x+3),得

x+3-2x=0,

解得x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以原方程的解为X=3,

故答案为：x=3.

14.【解答】解：先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等可知:

AB3771-4

-------+=----------------------,

771-1m-2----(m-l)(m-2)

.4(m-2)+B(m-l)3m-4

••-----.........-------------=------------------(m-1)(m-2)WO,

(7n-l)(7n-2)(7n-l)(m-2)

'•A(in-2)+B(m-1)=3m-4,

:.(A+8)m-(2A+B)=3〃L4,

,(4+B=3

**\2A+B=4，

解叱

故答案为：1,2.

15•【解答】解：根据题意得:

7000_1000

X+60-X

7000_1000

故答案为:

x+60x

16.【解答】解；若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0,且满足十位和个位数字的和的平方

等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，

设四位数时=砺，则“开心数”满足(c+d)2=104+〃，且q,b,C,d互不相等且均不为零,

•・•(e+d)2为两位数，

，4Wc+dW9,

要使得M最大，则需千位数字a最大，

・•・〃最人可能值为8,此时10d+Z?=81,故0=1,

此时c+d=9,

•・•数字互不相等，

和d不能为8或1,

可能组合中，c=7,4=2时十位数字最大,

故M=8172,且数字8,1,7,2互不相等，满足条件，为最大“开心数”;

由定义，ab=(c+d)2,代入f(M)=阻若去_弛得

3c2+cd-(c+d)2

F(M)=c-d

3c2+cd-(72-2cd-d2

c-d

2c2一4d-d2

c-d

(2c+d)(c-d)

c-d

=2c+d,

根据题意得：M1=abc=100a+10ft+c,

A6F(M)+M1+7d

=6(2c+d)+100a+l0〃+c、+7d

=12c+6〃+100〃+1Ob+c+ld

=\OOa+\Ob+\3c+\3d

=10(10a+Z?)+13(c+d)

=10(c+d)2+13(c+4),

设c+d=s,

•••4Wc+dW9,

则6F(M)+6]+7d=10s2+13s,

V6F(M)+M1+7d能够被9整除,

・•・10，+]3s能被9整除，

当s=4时,10?+135=10X42+I3X4=212=23X9+5,不符合题意;

当s=5时，10?+135=10X52+I3X5=315=35X9,符合题意；

当s=6时，10/+13s=10X62+13X6=438=48X9+6,不符合题意;

当s=7时，1052+135=10X72+13X7=581=64X9+5,不符合题意;

当s=8时，10，+13s=10X82+13X8=744=82X9+6,不符合题意;

当s=9时，10?+135=10X92+13X9=927=103X9,符合题意;

.*.5=5或5=9,

当s=5时，10〃+〃=25,故。=2,b=5,c+d=5,且数字互不相等,

•北::或忆:

%二;时，G(M)=W=浅=1；

当｛渭时，G(…芸=W=i

当s=9时，10〃+/?=81,故a=8,b=1,c+d=9,且数字互不相等,

当｛::部G(M)=*2-75•

8-17、

当xl/｛(Cd==36时r1，C/.4、c-d3-63

G(M)_Q—厂8-1一丁

当｛泮时，4-51

GM-8-1-7'

当｛:二:时，5-4_1

G(M)-温-8-1-7,

6-3_3

当｛二部GM-

消-8-1-7,

-7d75

当

小GX---

)==-2一=

-2(M/C-一b87

a--1

ca1135

AG(M)可能值为h-1,一7\一：7,7二7，77

・••最大值为1,最小值为-1,

最大值与最小值的和为1+(-I)=0.

故答案为:8172；0.

三,解答题(共7小题)

17.【解答】解：原式=为一为

X2-4

=~x^Z

__(x+2)(x-2)

―_x^2

=x+2,

当x=-2时，原式=-2+2=0.

1x—1

18.【解答】解：口=右+3,

1x—1

方程可化为口=一三+3,

方程两边都乘（尸2）得，1=-（x-1）+3（x-2）,

解得x=3,

检验：当x=3时，x・2W0,

・・・x=3是原分式方程的解.

19.【解答】解：（1）小明的解答过程从第一步开始出错的，其错误的原因是2没有乘以Q-4）,故答案

为：一，2没有乘以（X-4）；

（2）方程两边同乘以（x-4）,得一•（x-4）+2（%-4）=（l—4）.

-3+2（x-4）=1-x,

解得x=4,

检验：当.1=4时，x-4=0,所以x=4不是分式方程的解，

所以原方程无解.

20.【解答】解：（1）设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工（x+200）米,

根据题意得：（6+2）（A+200）+2M=2400,

解得:x=80,

二x+200=80+200=280（米）.

答：甲工程队每月计划施工280米，乙工程队每月计划施工80米；

（2）设乙工程队每月的施工费用是），万元，则甲工程队每月的施工费用是|丁万元，

420-120120

根据题意得：——+—=10,

py

解得:1y=30,

经检验，），=30是所列方程的解，且符合题意，

55

-y--

33x30=50（万元）.

答：甲工程队每月的施工费用是50万元.

a+2_m_a+2-m

21.【解答】解：（1）・・・力=1一瑞

a+2a+2-a+2

，a+l=a+2-m,

:•m—1；

Q+1Q+3

(2)A-B=

Q+2Q+4

(a+l)(a+4)_(a+3)(a+2)

(a+2)(cz+4)(a+2)(a+4)

a2+5a+4_g24-5a4-6

(a+2)(a+4)-(a+2