第六章 周末练4 章末检测试卷一

周末练4章末检测试卷一(第六章)

(分值：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.下列说法中正确的是

A.|而|与线段BA的长度不相等

B.对任一向量小⑷>0总是成立的

C.|祠二丽

D.若a〃b,且同=1014,创=1010,则|0+回=2024

2.设为y£R,向量a=(x,1),6=(1,y),c=(2,-4)且。_Lc,b//ct则|。+回等于

A.5B.2V5C.V10D.10

3.已知。，力是两个不共线的向量，设而二¥(“+53,BC=-2a+Sb,CD=3(a-b),则共线的三点是

A.A,B,DB.A,B,C

CBC,DD.A,C,D

4.在。A8C。中，点E满足反=2瓦，且。是边A8的中点.若A£交。。于点"，且前=2通力而，则

等于

A.-B.-C.-D.-

2734

5.已知△ABC的内角A,B,5的友边分别为a,b,c,C=60°,a+2b=8,sinA=6sin则c等于

A.V35B.V31C.6D.5

6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达3处.在。处

有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70。方向，在B处观察灯塔在其北偏东65。方向，那么8,C

两点间的距离是

A.10、"海里B.10迎海里

C.20、G海里D.20V2海里

7.已知△A8C的三边长分别是VH,yJb,若/+6土2,则△八8C的形状是

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上都有可能

8.如图所示，半圆的直径A8=4,。为圆心，C是半圆上不同于A,8的任意一点，若尸为半径OC上的动

点，则(方+方).元的最小值是

A.2B.0C.-1D.-2

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分)

9.ZXA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是

A.若A>B,则sinA>sinB

B.若A=30。,b=4,a=3,则△ABC有两解

C.若△ABC为钝角三角形，则标+分<，

D.若A=60。，斫2,则aABC面积的最大值为百

10.下列关于平面向量的说法正确的是

A.已知a,b均为非零向量，若a〃力，则存在唯一的实数人使得。=助

B.已知非零向量。=(1,2),b=(1,1),且。与。+油的夹角为锐角，则实数2的取值范围是(-1+8)

C.若ac-bc且cWO,则a=b

D.若点G为△A8C的重心，则方+赤+配=0

11.设点M是△A8C所在平面内一点，则下列说法中正确的是

A.若询三通+:前，则点M是△A8C的重心

B.若丽二2四-前，则点M在边8C的延长线上

C.若2宿二商讣)就，且工+产1,则△M8C的面积是△A8C面积的:

D.已知平面向量，满足丽而:夜祝，丽人(备+备)，且点M与点A不重合，则AABC为等腰三角

形

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知向量a,满足网=5,卬例=4,\a-b\=6,则向量。在向量方上的投影向量为.

13.在等腰梯形/WCQ中，己知AB〃OC,AB=2,BC=1,N48C=60。.点E和/7分别在线段BC和。。上，

且成1而，DF=^DC,则荏.肝的值为.

14.如图，为测塔高PA,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为0,由C向塔前进30米后到

点。，测得塔顶的仰角为2仇再由。向塔前进10百米后到点E,测得塔顶的仰角为4仇则族,

塔高为米.

四、解答题(本题共5小题，共77分)

15.(13分)已知。，力，c是同一平面内的三个向量,其中。=(1,2).

(1)若c=(2,z),且。〃4,求|c|；(6分)

(2)若6=(1,1),且〃?与2a/垂直，求实数的值.(7分)

16.（15分）某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在4处获悉后，立即测出该货船

在方位角为45。，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为1（）5。的方向，以1（）海里/时的速度向前

行驶，海军护航舰立即以106海旦丽的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

17.（15分）如图，在四边形A8CO中，已知NAOC=75。，AD=5,AB=7,ZBDA=60°,ZBCD=135°.

（1）求8。的长；（7分）

（2）求CO的长.（8分）

18.（17分）（2024•新课标全国I）记zMSC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinC=V2cosB,

cr+b2-c1=yf2ab.

⑴求8；（8分）

⑵若△A8C的面积为3+V5,求c.（9分）

19.（17分）如图所示，在AA6c中，AQ=QC,AR=^AB,4。与CA相交于点/,A/的延长线与边8c交于点

P.

（1）用通和正分别表示丽和丽；（4分）

（2）如耒由:而+%的=尼+〃而，求实数2和〃的值；（6分）

（3）确定点P在边BC上的位置.（7分）

答案精析

l.C2.C3.A4.B5.B6.B

7.A[由

可知c>a且c>b,

则在△48C中，边论所对的角为最大角，其余弦值为

(«0)2+(⑸2_(近)2_0+>_(

2\[a'\!b2>[ab'

又•.•〃+〃=/,

(fl+/?)2=c2+2«/?>c2,

a+b>c,故边正对应的角为锐角.

1•△ABC为锐角三角形.]

8.D[由平行四边形法则得可+而=2而，^(PA+PB)-PC=2P0-PCt\PC\=2-\P0\f且而，正方向相反，设

|而IM0WW2),

则("?।PB)TC=2P0TC=

工心力为#2)9[(8)2/].因为0WW2,所以当/=1时，

(港+丽)•正取得最小值，最小值为-2.]

9.ABD

10.AD[对于选项A,由向量共约定理知选项A正确；

对于选项B,。+乃=(1,2)+A(1,1)=(1+九2+2),

若a与。+乃的夹角为锐角，

则a(a+Ab)=1+2+2(2+A)

=5+3z>0,

解得i>5，

当a与a+油共线时，

2+A=2(l+A),

解得2=0,

此时a=(l,2),。+助=(1,2),

此时。与。+/力的夹角为()，不符合题意，所以实数；I的取值范围是(一|,0)口(0,+8),选项B错误；

对于选项C,若ac=bc,

则c(a-b)=Of

因为cWO,则0二方或c与。/垂直，选项C错误；

M

对于选项D,若点G为△4BC的重心，延长AG与8c交于点M,则历为BC的中点,

所以C2而=2Xi（够+配）二福十元，

所以斯丽+韬0,

选项D正确.］

I1.ACD［对于A,如图，设8C的中点为。，若而?W而+［前二

i（ABi-AC）=^X2AD=；AD,则点M是△A8C的重心，故A正确；

ooo

对于B,若祠二2荏-而，即有彳昧近二通-前，即丽;丽，则点M在边C8的延长线上，故B错误;

对于C,如图，若2AM=xAB+yAC,且x+y=\,

由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△A8C面积的］故C正确;

对于D,因为拓?•丽二拓5•流，所以拓5•（加+而）

二丽•画+硝，

即初.而二拓5.宿

所以|祖||而「cosNBAM

=\MA\［AC\cosZCAM,

因为宿=，端+部

所以点M在N8AC的角平分线上，

所以/胡M=NC4M,

所以cosZBAM=cosZCAM,

所以|而|二|mI，

所以△A3C为等腰三角形，

故D正确」

122

端

解析作COJ_A8于点。，建立如图所示的平面直角坐标系,

MA（-1,0）,B&0）,。（0弓）,D（T，［），

所以吟与尸（-渭），

所以荏呜分科信券

所以而而噂斗（I多苧臀.

1喝15

解析由题意，得NCPD=/EDP-NDCP=26-打仇

ZDPE=ZAEP-ZEDP

=4/20=2孔

：.PD=CD=30,PE=DE=\OW.

在△?/）石中，由余弦定理的推论，得

PD2+DE2-PE2

cos2生

2PDDE

_302+110盗)2—(10\夕)2_百

2x30x1073~~2

・・・2后三，哇，4心

6

「sin4鳍,

：,PA=PEs\n4夕

=1073X^=15,

故塔高为15米.

15.解(1)因为c〃m

。=(1,2),c=(2,2),

所以2X2-1xa=o,

解得1=4,即c=(2,4),

所以|卡\22+42=2遥.

(2)因为0=(1,2),公(1,1),

所以"小方二(〃?-1,2m-1),2a-b=(1,3).

因为ma-b与2a-b垂直,

所以(，〃a/>(2a-b)=0.

即(机-1)X14-(2/77-1)X3=(),

解得加=*

16.解设所需时间为/小时，

则BC=10r,AB=10V3L

在△ABC中，ZACB=45°+(180°-105°)=120°,

根据余弦定理，

得AB^ACr+BC^-lACBCcosZACB,

可得（108。2=102+（10/）2

-2XioxlOrXcos1200,

整理得2儿卜1=0,

解得X1或/=3舍去）.

故护航舰需1小时靠近货船.

此时48=1073,8c=10,

又AC=10,所以NC48=30。，

所以护航舰航行的方位角为75°.

17.解（1）在△A3。中，AD=5tAB=7,

ZfiD4=60°,

由余弦定理可得，AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZBDA,

即49=25+^Z>2-2X5BDCOS60°,

贝》58。-24:0,

解得B£>=8（8D=-3舍去）.

（2）在△BCO中，ZBDC=

NAQC-N80A=75°-60。=15°,

又N8CO=I35°,

则ZCBD=180°-135°-15°=30°,

由（1）得■8又8,由正弦定理得

CD_BD

sinz.CBDsinz.BC。'

即8

sin30°sinl350'

解得CZ>4V2.

18.解（1）由余弦定理有

a2+Z72-c2=2«/?cosC,

因为a2+b2-（r=y/2ab,

所以cosC=y,

因为C£（0,兀），所以sinCO,

从而sinC=V1—cos2C

又因为sinC=V2cosB,

即cos

又〃£（0,n）,所以

（2）由（1）可得8带，cos。4,Ce（0,兀），

从而C=；,

4

sin4=sin(B+O=sinQ+

-—-施-/〜X--氏—zx-灰--—-石--+-企-.

22224

方法一由正弦定理有

bc

.n1・n，

sin-sin-

34

从而^=y-V2c=yc,

由三角形面积公式可知,

△4AC的面积可表示为

S.