高中数学 第八章 第6节 第2课时 直线与平面垂直的性质定理

第2课时直线与平面垂直的性质定理

【学习目标】1.通过直观感知，「解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定

理，并加以证明.（重点）2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.（重点）3.会求直线与平面、平面与平

面的距离.（难点）

【导语】

在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？本节课我们就来学习一下！

一、直线与平面垂直的性质定理及应用

问题1如图，在长方体ABCDABC7T中，棱AA，，BB',CC,00所在直线都垂直于平面4BCD,它们

之间具有什么位置关系？

D'C

提示平行.

问题2如图，已知直线小〃和平面a,如果小,那么直线小b一定平行吗？

提示一定平行.

问题3请证明问题2所得结论.

提示如图，假设〃与。不平行且“la=0,显然点。不在直线。上，所以点。与直线。可确定一个平

面，在该平面内过点。作直线3〃m则直线〃与〃'是相交于点。的两条不同直线，所以直线〃与〃可确

定平面“，设an/?=c,则O6c.因为a_La,Z?_La,所以a_Lc,Z?_Lc.又因为//〃a,所以Z/_Lc.这样在平面夕

内，经过直线c,上同一点。就有两条直线4步与c垂直，显然不可能.因此b〃a

知识梳理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线壬行

ala

符号语言

bla

注意点：

(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.

(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依

据.

(3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

例1如图，在正方体ABCQ-48GOI中，E是4。上的点，尸是AC上的点，且EF与异面直线AC,

4。都垂直相交.求证：EF〃BD\.

证明如图所示，连接AS,8C,BD,BD,

•••。。」平面4比7),ACu平面48。。，

：.DDtlAC.

又AC_L8O,BDCDDkD,BD,。。心平面3。。内，

・・・4C_L平面BDDiBi.

又8Z)|U平面BDDB,

AAClBDi.

同理可证BDilBiC,

又ACn8C=C,AC,SCu平面ABC,

；・BDiL平面ABC.

VEFlAiD,又AEFlBiC.

XEF1AC,ACABjC=C,AC,8Cu平面ABC,・・・£”，平面人8|。.・・・£/〃8。|.

反思感悟证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.

(2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等.

(3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线.

(4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

跟踪训练1如图，在四棱锥P/8CO中，底面A8co是矩形，A8_L平面尸AO,AD=AP.E是尸。的

中点，M，N分别在A8,PC±.,且MN_LA8,MN±PC.

求证：AE//MN.

证明因为48_L平面PAD,AEu平面PAD,

所以AEJ_A&又AB〃CO,所以AE_LC£>.

因为AQ=4P,E是Q。的中点，所以AE_LPD

又CDCPD=D,CD,POu平面PC。，

所以4E_L平面PCD.

因为WNJ_4&AB//CD,所以MNtCD.

又因为MNJ_PC,PCQCD=C,

PC,COu平面PCD,

所以WN_L平面尸CO,所以AE〃MN.

二、直线与平面垂直关系的综合应用

例2如图，PA_L平面A8O,尸CJ_平面8CO,E,尸分别为BC,CO上的点，且E/LLAC.求证:

证明平面480,PCL平面BC。，

BOu平面ABD,BQu平面BCD,

:・PALBD,PCLBD,

又PACPC=P,PA,PCu平面PAC,

・・・8。_1_平面PAC.

又PC_L平面BCD,日七平面BCD,:.PUEF.

又EF1AC,PCHAC=C,PC,ACt平面PAC,

凡L平面PAC,

反思感悟要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法.

跟踪训练2如图，已知尸二AH,PQ_La于点。，PO_L夕于点。，ORJ_a于点求证：QR_LA8.

证明・；aCV，=AB,

・・・A8C=Q,ABU£,・・・POL。,・・・P0J_A8.

•・・P0_La,：.PQ±AB.

•••ponpQ二尸，PO,尸Qu平面产。。，

，AB_L平面PQO「・・OR_La,：.PQ//OR.

・・・PQ与OR确定平面PQRO.

又QAu平面PQRO,：.QRLAB.

三、空间中的距离问题

问题4若直线/〃平面a,则直线/上各点到平面［的距离相等吗？

提示相等.

问题5请证明问题4.

提示如图，过直线/上任意两点A,B分别作平面a的垂线AA”BB1,垂足分别为4,&.

VAAi±a,

设直线AAi,3田确定的平面为尸，Ana=48,

9

：l//at・•・/〃A曲.

・•・四边形AAiBiB是矩形.JAA产Mi.

由A,8是直线/上任取的两点，可知直线/上各点到平面a的距离相等.

问题6若一条直线上的两点A,B在平面a的同侧，且它们与a的距离相等，判断A8与平面。有什么样

的位置关系，并证明.

提示直线AB〃九证明如下：

如图，作A4'_La,BB'工a,垂足分别为A'8',

A,——

则又A4'=88',

・・・四边形A88勾为平行四边形,

又A雨平面a,AA'u平面a.

问题7若平面a〃平面人则平面。上各点到平面夕的距离相等吗？

提示相等.

知识梳理

1.直线与平面的距离

一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距

离.

2.平面与平面的距离

如果两个平面包，那么其中一个平面内的任意到另一个平面的距离都±1箜，我们把它叫做这两

个平行平面间的距离.

例3(课本例6)推导棱台的体积公式V慢行+S),其中S:S分别是棱台的上、下底面面积，h

是瓯

解如图所示，延长棱台各侧棱交于点P,得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱

台的上、下底面交于点。，O,则PO垂直于棱台的上底面，从而O'O=h.

设截得棱台的棱锥的体积为匕去掉的棱锥的体积为-、高为“，则POM/匚

于是匕白力，V^SUf+h).

OO

所以棱台的体积V极台=V-V'=?S(»+/?)3s%'=：［Sh+(S-

•5JJ

由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且，

所以卜号.

代入①，得VQXYJS+(S—S')

«3

例3如图，长方体A8CQ-45GQ1的底面48co是正方形，点E在棱A4上，BE工EG.若AE=A1E,

AB=3,求四棱锥E-88CC的体枳.

A

解由长方体A8CQ-4SG。，可知以G_L平面A88A,

6EU平面A8BA1,

所以BiCJBE,

因为BE_LEG,BiCinECi=Ci,

BiCi,EGu平面EBiG,

所以BE_L平面EBC,

因为EBiU平面EBiCi,

所以所以N8ES=90。，

由题设可知RtaABEgRtZVliBiE,

所以ZAE/?=Z4i£Bi=45°,

所以但AB=3,AA]=2AE=6.

因为在长方体ABCQ-A/iG。中，A4i〃平面881clC,E^AAi,A8J_平面88CC,

所以点E到平面B®GC的距离即为点A到平面88iGC的距离，且A8=3,

所以四棱锥E-88GC的体积

四边形网g*X3X6X3=18.

反思感悟求空间中点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：直接作出垂线段，通过解直角三角形求解.

(2)利用线而、面面平行转化：利用线而距、面面距的定义转化为平行直线或平行平面上的其他点到平面的

距离，这时经常利用中点构造中位线等方式证明线面平行或面面平行.

(3)利用等体积法转化求解：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面

积|3j.

跟踪训练3如图，在四棱锥P/8C。中，PAJ_菱形A4C。所在的平面，NABC=60。，E是灰7的中

点，M是P。的中点.

⑴求证：AE_L平面PAD；

(2)若A8=AP=2,求点〜到平面AMC的距离.

(1)证明因为底面ABCD为菱形，

NA8C=6()。，

所以△A8C为正三角形，因为E是8C的中点,

所以A£_L8C,

因为4£>〃〃C,所以AE_LAD,

因为PAJ_平面ABC。，AEu平面ABCD,

所以P4J_AE,又因为PAflAAA,PA,AQu平面PA。，所以4E_L平面P4。.

(2)解因为AB=AP=2,贝］AD=2,4£=V3,

所以Vp-AMC=Vc-PAM=^SP△AMtAE

J

=ixix-X2X2X-73=—.

3223

设点P到平面AMC的距离为h,

易知PZ>2注,PM』,PC=2V2,00=2,

所以在△PCD和△PCM中，由余弦定理得

/LC”8+8-48+2-CM2

cos4CPM=2双82后市泰说,

所以CM=2,

在△AMC中，AM=&,AC=CM=2t

所以ScC=gx或XJ22—(=?,

所以打,¥，所以上竽.

■课堂小结■---------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)直浅与平面垂直的性质定理及应用.

(2)直浅与平面垂直关系的综合应用.

(3)直浅与平面、平面与平面的距离.

2.方法归纳：转化与化归.

3.常见误区：距离转化不当导致错误.

一随堂演练

I.线段AB的端点A,B到平面a的距离分别是30cm和50cm,则线段A8的中点M到平面a的距离为

()

A.40cmB.10cm

C.80cmD.40cm或10cm

答案D

2.如图，若正四棱柱ABCDAiSG。的底面边长为1,与底面A8CO所成角的大小为6()。，则4G

到底面A8CO的距离为()

A.—B.l

3

C.2D.V3

答案D

解析由题意，得平面A8CO,所以NSA8是A8i与底面ABC。所成的角，则/8凶8=60。，因为正

四棱柱ABC。/内的底面边长为1,所以8由二A8Xtan600=V5,即正四棱柱A8CD-A18CQ1的侧棱长

为V5.

又因为AG〃平面A8cO,AI4J_平面A8cO,所以AiG到底面ABC。的距离为44二百.

3.（多选）下列命题正确的是（）

Aa//bf］^b±aB。:^\^b//a

Q1MaLb）

CP〃/=a_LpD.：:

ala）bLa）

答案ACD

4.（多选）直线。和〃在正方体ABCD-AsB^Di的两个不同平面内，使。〃〃成立的条件是（）

A.a和b垂直于正方体的同一个面

B.a和人在正方体两个相对的面内，且共面

C.a和力平行于同一条棱

D.a和〃在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直

答案ABC

解析A为直线与平面垂直的性质定理的应用；B为平面平行的性质；C为基本事实4的应用.

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共30分：多选题每小题6分，共18分

基础巩固

1.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱

的母线所在直线的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

答案B

解析因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质可得两直线的位置关系是平行.

2.直线。与平面a不垂直，那么在平面a内与直线。垂直的直线（）

A.只有一条B.有无数条

C.是平面内的所有直线D.不存在

答案B

解析当。〃平面。时，在平面Q为有无数条直线与直线。是异面垂直直线；当4UQ时，在a内有无数条

平行直线与直线。相交且垂直；当直线a与平面。相交但不垂直时，在平面Q内有无数条平行直线与直线

a垂直.

3.已知正方体A8CD-A8G。的棱长为2,则点。到平面的距离为（）

A.lB.V2

C.2播D.2V3

答案B

解析如图，连接AC,交BD于点E,易知AC_L平面8。。身：所以CE的长即为点C到平面闰的

距离.

因为正方体ABCQ-ABiG"的棱长为2,可知AO2或.故CE他

4.（多选）设/,小，〃表示不同的直线，«,夕表示不同的平面，下列四个命题中错诙的是（）

A.若I_La,且〃?_La,则l//m

B.若」〃a,〃?〃“，贝ij/〃加

C.若I//a>且1〃m,则m//a

D.若〃z_La,〃〃分则a〃£

答案BCD

解析根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若/_La,且〃?_La,则阳〃/,故A正确；

若/〃a,m〃a,则/,切可以是平行，可以相交，也可以异面，故B错误；

若/〃a,且/〃"?，则〃?〃a或〃?u"，故C错误；

若〃J_a,n//p,则a〃4或々与£相交，故D错误.

5.A4BC的三个顶点AB,C到平面a的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在a的同侧，则△ABC的

重心到平面Q的距离为（）

A.lcmB.2cm

C.3cmD.4cm

答案C

解析如图，设A,B,。在平面a上的射影分别为A\B；U,AABC的重心为G,连接CG并延长交

AB于点、E,则CG：GE=2：1,

E为43的中点，又设E,G在平面a上的射影分别为？，G,

则EVAB,GWCE,且£为A&的中点，所以EE《(AR+B5)=1(cm),又CC=4cm,XCG：GE=2：

1,

则在直角梯形EE，CC中可求得GG,=3（cm）.

6.在44BC中，N4CB=90。，A8=8,N/MO60。，PCJ_平面45C,PC=4,M是48边上的一动点，贝ijPM

的最小值为（）

A.2近B.7

C.V19D.V5

答案A

解析如图所示，因为PC_L平面48C,所以PC_LCM,则△PCM是直角三角形，故PM2=PG+CM-所

以当CM_LA8时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4后因为A8=8,故CM的最小值为

唔=2同

A

又PC=4,

则PM的最小值为42+（26）2=2收

7.（多选）如图，等边△ABC的边长为1,AC边上的高为A。，沿AD把△ABC折起来，使点〃到达点方的位

置，则下列结论正确的是（）

A.在折起的过程中始终有AO_L平面DBC

B.三棱锥A-。8c的体积的最大值为震

16

C.当N4DO60。时，点A到BC的距离为半

D.当N87）C=90。时，点C到平面9的距离为:

答案ACD

解析因为AQJ_QC,ADA.DB\且。。0。3'=。，DC,。夕u平面。8C,所以AQ_L平面。夕C,故A正

确;

当O"J_DC时，△O8C的面积最大，此时三棱锥A-D"C的体积也最大，最大值为:X；X；X；X第二*,

故B错误；当N8DC=60。时，△08C是等边三角形，设方C的中点为E,连接AE,DE（图略），

则AE_L8C,即AE的长为点A到BC的距离,

22

心J（苧）+停）哼，故C正确；

当NB，DC=90。时,CD1DB，,CDLADtADCDB三D,4。，QB'u平面4。3'，故COJL平面人。*，

则C。的长就是点C到平面A。9的距离，CD=^故D正确.

8.（5分）一条与平面a相交的线段A8,其长度为10cm,两端点A,4到平面〃的距离分别是3cm,2cm,

则线段A8与平面a所成角的大小是.

答案30。

解析如图，作AC_La,BD±a,垂足分别为C,D,

则AC〃8O,AC,确定的平面与平面a交于CO,

设CZ）与A8相交于点。,

贝i」A8=10cm,4c=3cm,BD=2cm,

下竺二竺

八8。-8。

则AO=6cm,BO=4cm,

所以N40O/8。£）=30。，即线段A3与平面a所成角的大小为30°.

9.（5分）如图，在三棱锥S-A8c中，AS,AB,4c两两垂直，MAS=AB=AC=2^2f点、E,产分别是棱AS,

8S的中点，点G是棱SC上靠近点C的四等分点，则空间几何体EFG-A8C的体积为

答案半

O

解析过点G作G〃〃4C,交SA于点、H,贝乌老三，于是G"="C=芋,

ACSC442

由AC_LAB,AC_LAS,ABDAS=A,A8,ASu平面SA8,得AC_L平面SAB,

则GHJ_平面SAB,

由E,r分别为AS,8S的中点，得Sasx/sA产;x|x(2鱼产=1,

因此V三校枪G-SEf^SaSEFGH-gx1-争

又匕梭枪C-SAB=^S^SAR-AC=^X^X(2位,

JJ4O

所以H几何体EFG-ABC-VxtttfcC-SAB-V三梭就G-SEF=----=1

3LO

10.（10分）如图，已知平面an平面夕=/,E4J_a,垂足为A,EB邛,垂足为8,直线ac/,UA8.求证：a

〃/.

证明因为EBJ_Aaup,所以①_La.

又因为a_LA&ABCEB=B,AB,EBu平面ABE,所以a_L平面A8£

因为a》=/,所以/ua,lap.

因为EA_La,EB邛,所以E4_L/,EBLl.

又因为E4Cl£8=£,EAfEBu平面ABE,

所以LL平面ABE所以a〃/.

IR综合运用

11.如图，已知△ABC为直角三角形，其中NAC3=9（）。，M为46的中点，尸M垂直于AABC所在的平面,

那么（）

A.PA-PB>PC

B.PA=PB<PC

C.PA=PB=PC

D.PA^PB^PC

答案C

解析因为PM_L平面ABC,MC,A“u平面ABC,

所以PM1AB.

又因为M为AB的中点，N4C8=90。，

所以K4=MB=MC,

则△PAMg△PMBg△PMC,

所以PA=PB=PC.

12.（多选）如图，直线PA垂直于圆。所在的平面，△A8C内接于圆O,且AB为圆O的直径，点"为线段

P8的中点.下列结论中正确的是（）

\.BCLPC

B.OM〃平面PAC

C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长

D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-A8C体积的£

答案ABC

解析对于A,二•直线垂直于圆O所在的平面，・・・PA_L8C

〈AB为圆O的直径，・・・AC_L8C,

XPAQAC=AyPA,ACu平面PAC,

・・・3C_L平面PAC,又PCu平面PAC,

:・BC工PC,A正确;

对于B,•・•点M为线段P8的中点，点。为直径AB的中点，，OM〃尸4.又PAu平面PAC,OMQ平面

PAC,〃平面PAC,B正确；

对于C,・・・8CJ_平面PAC,・••点8到平面PAC的距离等于线段8c的长，C正确；

对于D,•・•点”为线段尸8的中点，，点M到平面PAC的距离是点8到平面PAC距离的5

=

•••V\f-PAC-VBPACy又VBPAC^Vp-ABCy

*•*VM-PAC=~VPABCID不正确.

13.（5分）已知在正四棱柱中.AB=2.CC=2&,E为CG的中点，则直线AG到平面3EO

的距离为.

答案1

解析如图，连接AC交小。于点。，连接OE.

在△CGA中,

;。为AC的中点，E为CG的中点,

，OE〃AG.又。Eu平面8EQ,AGQ平面8EQ,

〃平面BED,

・•・直线AG到邛面BED的距离为点A到平面BED的距.离.

连接A£,VE-AiiD=^S^ABD,EC=^X；X2X2Xx/2=^^.

3J/J

在△3E。中，BD=2&,BE=瓜,DE=V6,

/.5ABE/J=1X2V2XJ(V6)2-(x/2)2=2V2.

设点A到平面BE。的距离为九

由V-».»A.BED=VE-ABD>得工X2&X/?二/，

«5，

解得心1,

故直线AG到平面阴%)的距离为1.

14.(12分)如图，在菱形A8CO中，NA8C=60。，AC与8。相交于点O,EB=EC=ED,CF//E