第十二章 第3节 数学归纳法及其应用

第3节数学归纳法及其应用

最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命

题.

基础诊断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.数学归纳法

证明一个与正整数〃有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当〃取第•个值mSoEN*）时命题成立:

（2）（归纳递推）假设如，Z£N*）时命题成立，证明当〃=攵+1时命题也成

立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从如开始的所有正整数〃都成立.

2.数学归纳法的框图表示

验证”〃“时命题画若"=*（*即0）时命题成立,证明

n=*+l时命即也成立

归纳奠基打纳递推

命题时从明开始的所TT

正整数〃都成立

［常用结论与微点提醒］

1.数学归纳法证题时初始值〃。不一定是1.

2.推证〃=攵+1时一定要用上〃=左时的假设，否则不是数学归纳法.

3.解“归纳一猜想一证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归

纳、猜想的基础.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“义”）

（1）用数学归纳法证明问题时，第一步是验证〃=1时结论成立.（）

（2）所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.（）

⑶用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.（）

（4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时:由〃=女到〃=々+1时，项数

都增加了一项.（）

解析对于（1）,有的证明问题第一步并不是验证，=1时结论成立，如证明凸〃

边形的内角和为(〃一2)」80°,第一步要验证〃=3时结论成立，所以(1)不正确；

对于(2),有些命题也可以直接证明；对于(3),数学归纳法必须用归纳假设；对

于(4),由〃=%到〃=#+1,有可能增加不止一项.

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.(选修2-2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸〃边形的对角线为%(〃-3)条

时，笫一步检验〃等于()

A.IB.2C.3D.4

解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验〃=3.

答案C

3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2L1=2"—1(〃£!^)”的过程中,第二步假

设〃=攵时等式成立，则当〃="+1时，应得到()

A.1十2+22H---1-2*2-h2A，,=2AI,-1

B.1+2+22+…+2/+2E=2«—1+2内

C.1+2+22+…+2尸1+2的1=2吐|一1

D.l+2+22H---[~2广1+2*=20|一1

解析观察可知等式的左边共〃项，故〃=%+1时，应得到1+2+2?+…+2广|

+2*=2内一1.

答案D

4.用数学归纳法证明I2+22+,,,+(n—I)?+/+(〃-1)2+,,,+22+I2=

〃时,由〃=k的假设到证明n=k+\时，等式左边应添加的式子是

()

A.(k+l)2+2ZrB.(k+1)2+k2

C.(&+1)2D.g(A+1)[2(&+1)2+1]

解析由〃=出到〃=%+i时，左边增加(%+a+s.

答案B

5.用数学归纳法证明“当〃为正奇数时，?+产能被x+y整除"，当第二步假设

〃=2%—1(左£N")命题为真时，进而需证〃=时，命题亦真.

解析由于步长为2,所以2Z—1后一个奇数应为24+1.

答案2女+1

I考点突破呼枯彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一利用数学归纳法证明等式

【例1】用数学归纳法证明：

4—H-----1---------!--------=-------------(金N*)

2X44X66X82〃⑵+2)4(«+1)1n人

证明⑴当〃=1时，

等式左边=2义1义(2X1+2)=1

等式右边=品7r4

等式左边=等式右边，所以等式成立.

(2)假设〃=k(MN”且时等式成立，即有

「1_k

2X44X66X8十2k⑵+2)4(Z+1)'

则当〃="+1时'士+4X6+6X8+…+2k(2々+2)+

___________1____________k________1________

2(4+1)[2(Z+1)+2]-4(Z+1)+4(A+D(Z+2)

k(攵+2)+1__________(攵+1)2_________k+1

=4(攵十1)(k+2)=4(k十1)(左+2)=4(k+2)

)+1

=4[晨+1)+1「

所以当〃=2+1时，等式也成立，

由(1)(2)可知,对于一切〃£N*,等式都成立.

规律方法用数学归纳法证明等式应注意的两个问题

(1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值小的值.

⑵由n=k到〃=攵+1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式

子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.

【训练1】设人〃)=1+；+:+・・・+；(〃£4).求证：川)+./(2)+・・・+/(〃-1)=4/5)

4J11

—1](心2,〃£N*).

证明(1)当九=2时，左动=11)=1,

右边=20+；—1)=1,左边=右边，等式成立.

(2)假设〃=%(左22,左EN*)时，结论成立，

即«1)十*2)+…—1)=用《左)-1],

那么，当〃=女+1时，

11)+42)+…+4攵-1)+4攵)

=伏+1求攵)一女=(4+1>/(2+1)一由一A

=(%+1次攵+1)—(左+1)=伏+1)取+1)—1],

.,・当n=k+1时结论仍然成立.

由(1)(2)可知:火1)+火2)+…+,八〃-1)=〃[/(〃)-1](〃22,〃£N*).

考点二利用数学归纳法证明不等式(典例迁移)

【例2】(经典母题)已知数列{a“},a〃20,ai=O,后+i+a〃+i—1=后，求证：当

〃£N*时，an<all+i.

证明(1)当〃=1时，因为。2是方程咒+。2—1=0的正根，所以。2=夸二，即

0<〃2成立.

⑵假设当〃=出/£N",心1)时,OWaKgi,

所以c&+\-ai=(ai+2+ak+2~1)-(ai+1+ak+1_1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,

又以+1>以20,

所以以+2+诙+1+1>0,

所以。八1<以.2,即当”=2+1时，+1也成立.

综上，可知。〃<。用对任何〃&N都成立.

【迁移探究1】在例2中把题设条件中的“z20”改为“当〃22时，。〃<一1”,

其余条件不变，求证：当〃£N*时，an+\<a,i.

证明(1)当〃=1时，因为S是方程演+々2—1=0的根，又1,所以42

-1—小口口――

=2，即。2<。1成立.

(2)假设当〃=网右N",221)时，以」|<以<一1,

所以42+i一底=(次*2+以+2—1)-3公I+MI-1)=3心，-aui)(au?+aui+1)>0»

又以+2<-1,ak+\<~\y

所以依+2+c〃+1+1<0,所以ak+2—ak+1<0,即egi<cik+1,即当〃=%+1时，。〃<。〃

+i也成立.

综上可知〃〃<〃“+1对任何〃£N”都成立.

【迁移探究2】本例的条件改为己知数列｛m｝中，0=。>2,对一切〃WN*,&>(),

an+1=错误！，试证明an>2.

证明⑴当〃=1时，a\=a>2f即a〃>2成立.

(2)假设〃=%时，诙>2成立，

那么诙+】=错误！=错误！-错误！=错误!错误！+1,

因为以>2,所以以一1>1,

乂因为函数)，=x+；在(1,+8)上单调递增，

所以3(以-1)+127]+1当1+1)+1=2，

即QA+I>2,所以当〃=k+l时，C7〃>2成立，综上可知，an>2对任何〃£N*都成立.

规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数〃有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑

应用数学归纳法.

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由〃=%成立，推证〃=A+1时也成立，证

明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构

造函数法等证明方法.

【训练2】用数学归纳法证明：1+1+=+…+5<2—%£N*,心2).

11//

3

-

证明⑴当〃=2时，1-2命题成立.

(2)假设〃=%(左22,且k£N)时命题成立，

即1+y+苏+…+昌T

当〃=&+1时，1+*+-+...+1+(J])2<2—+(/])2<2—\+

k(^+i)=2-1+1-1+7=2-1+7,命题成乂”

由⑴(2)知原不等式在〃WN*,〃22时均成立.

考点三归纳、猜想、证明

【例3】已知数列｛〃“｝的前〃项和S〃满足：S,=y+--1,且z>0,〃£N".

乙Cln

(1)求42,。3,并猜想｛m｝的通项公式；

(2)证明(1)中的猜想.

(1)解当〃=1时，由已知得m=g+A—1，

即后+20一2=0.

.•.〃户由一1(。|>0).

当〃=2时，由已知得0+42=与+,—1,

将a\=yf3—1代入并整理得(A+2y[3a2—2=0.

42=小一小(42>0).

同理可得。3=小一小.

猜想。〃=v2〃+1—y12tL](〃EN").

(2)证明①由(1)知，当〃=1,2,3时，通项公式成立.

②假设当〃=&(Z23,左£N*)时，通项公式成立，

即at=1—y]2k—1.

将ak=jk+1—、2k—1代入上式,整理得

al+1+2y2A+1at+1—2=0,

...ak+i=、2欠+3—、2&+1,

即〃=k+l时通项公式成立.

根据①②可知，对所有。〃=山”+1—>2〃—1成立.

规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数〃有关的未知问题、存在性问

题，其基本模式是“归纳一猜想一证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻

辑推理论证结论的正确性.

⑵“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶

段与数列结合的问题是最常见的问题.

【训练3】设函数加)=ln(l+x),gM=xf(x),GO,其中/(%)是危)的导函

数.

(1)令gi(x)=g(x),g〃+3=g(g“(x)),求gG)的表达式;

(2)若人大)2欧⑴恒成立，求实数a的取值范围.

解由题设得，g(x)=］_1_(x40).

1I人

X

L.-1Jxl+xjtX

(1)由已知，gl(x)=f不；g2(x)=g(gl(x))=------1=7^2?即。)=百不，…，

1+币

可猜想期(幻=击・

卜面用数学归纳法证明.

①当〃=1时，gi(x)=y"X，结论成立.

②假设〃=%时结论成立，即以。)=仔:

1IKX

那么，当〃=攵+1时,gk+i(x)=g(gG))

gk(K)______1+6_________Xnn汨/分一

—1_1_/\一丫一!_1_/>_1_1X»即结论成乂.

i+g&(X),Ai+(%+i)x

"1+日

根据①②可知，结论木〃6N”成立.

(2)己知2ag(x)恒成立，即ln(1+x)恒成立.

//r

设(/>(x)=ln(l4-x)-jTj^(x^O),

1I人

,1aJC+1-a

则lt，住尸而一(1<上)2=(1+公2,

当时，0'(x)20(仅当X=0,4=1时等号成立)，

・・・0。)在［(),+8)上单调递增.

又研0)=0,

・・・0(幻20在［0,+8)上恒成立，

〃V*

・・・〃W1时，ln(l+x)2K叵成立(仅当犬=0时等号成立).

1i八

当el时，对x£(0,Q—1]有d(x)WO,

・・.0a)在(0,々-i]上单调递减,

/.。(4-1)＜伊(0)=0.

即4＞1时，存在犬＞0,使夕(尤)＜0,

・・・ln(l+x)N像:不恒成立，

综上可知，实数。的取值范围是(一"，1].

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：4()分钟)

一、选择题

4I2

1.用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2=、巳，则当〃=%+1时左端应在尸&

的基础上加上()

A.F+1

B.(bM)2

a+1)4+4(2+1)2

C.2

D.(F+l)+(F+2)+…+(hH)2

解析观察可知，等式妁左端是〃2个连续自然数的和，当〃=攵时为1+2+3+…

+F,当n=k+l时为1+2+3+…+卜+(^+1)+(幺+2)+…+(2+1)2.

答案D

1I1127

2.(2018・岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+；+(+…+*＞号(〃£1＜)成

立，其初始值至少应取()

A.7B.8C.9D.10

],

I112"

解析左边求和可得1+升;+…+击=—p

[-2

=2__L

乙2"一],

一乂127cl…1cl

右边一河一2—故2―尹＞2一立，

即所以2〃、>26,解得〃>7.

所以初始值至少应取8.

答案B

3.凸〃多边形有人〃)条对角线，则凸(〃+1)边形的对角线的条数八〃+1)为()

A<〃)+〃+lB而?)+〃

C.fin)-\-n~1口次〃)十〃一2

解析边数增加1,顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的〃一2个顶点连接

成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加〃一1条.

答案C

4.对于不等式而不<〃+l(〃£N"),某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当〃=1时，+不等式成立.

⑵假设当〃=k(&£N*)时，不等式也干4+1成立，当〃=%+1时，

7a+i)2+/+1=、野+3z+2〈d(炉+3々+2)+a+2)=N(z+2)2=*

+1)+1.

・•・当〃=A+1时，不等式成立，则上述证法()

A.过程全部正确

B.〃=l验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到〃="+1的推理不正确

解析在〃=2+1时，没有应用〃=攵时的假设，不是数学归纳法.

答案D

5.利用数学归纳法证明“(〃+l)5+2)-・・a+〃)=2"X1X3X…X(2〃-1),

N"”时，从"〃=k"变到"〃=4+1”时，左边应增乘的因式是()

22+12Z+3

A.2左+1B.2(2Z+1)C"+lD"+l

解析当〃=2(ZWN")时，

左式为(攵+1)(2+2)•…•(%+%)；

当〃=攵+1时，左式为(Z+1+1)•伏+1+2)•…•(hH+2-l)•(攵+1+Z)•伏+1+Z

+1)，

H⑵+1)⑵+2)

则左边应增乘的式子7C=2(24+1).

k+\

答案B

二、填空题

6.(2018・H照模拟)用数学归纳法证明：“1+:+1+~+白76(〃£4,心1)”

/〜ZI

时，由〃=攵(心>1)不等式成立，推理拉=hH时，左边应增加的项数是_______.

解析当n=k时，不等式的左边有2"—1项，当〃=左+1时，不等式左边应有

2内|一1项，故左边应增加的项数是(2rH—1)一⑵-1)=2£

答案2A

7.(2018•九江模拟)已知加)=l+g+g+…+[(〃£N*),经计算得人4)>2,心)>|,

7

川6)>3,式32)>,则其一般结论为.

2+23+24+25+0

解析观察规律可知述22)>亍，犬23)>♦二，/(26)>—,425)>，=，…，故得

一般结论为八2")>勺〃WN").

答案12〃)>”2(心2,〃£N")

8.设平面内有〃条直线S23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线

不过同一点.若用/5)表示这〃条直线交点的个数，则/(4)=；当n>4时,

火〃)=(用n表示).

解析由题意知负3)=2,犬4)=5,15)=9,可以归纳出每增加一条直线，交点增

加的个数为原有直线的条数.

所以44)—/3)=3,15)一14)=4,

猜测得出/(〃)一4〃-1)=〃一1(〃》4).

有.人〃)一八3)=3+4+…+(〃-1)，

所以加)=3(〃+1)(〃一2).

答案5](〃+1)(〃-2)

三、解答题

9.用数学归纳法讦明：

上+且+…+-----止-------------一eN“)

1X33X5(2/i-D(2〃+1)2(2〃+1)S"人

]2I

证明(1)当〃=1时，左边=内式=,，

1AJJ

七、力IX(1+1)1

石皮一2X(2X1+1)-3,

左边二右边，等式成立.

(2)假设〃=网出21,右N")时,等式成立.

叫〃22________/c_________k(2+1)

11X33X5(2&—1)(2A+1)-2(2A+1)'

当〃=火+1时，

大、力_I2,22________1c_____________(Z+1)2

【您—1X3十3X5二)(2氐一1)(2氐+1)十(2Z+1)(2A+3)

ka+i)(出+i)2

=2⑵+1)+⑵+1)⑵+3)

k(攵+1)⑵+3)+2(攵+1)2

2⑵+1)⑵+3)

(A+1)(&+2)

2⑵十3)

a+i)a+i+i)(A+1)a+2)

右边2[2(Jt+l)+1]-2⑵+3)'

左边=右边，等式成立.

即对所有〃£N*,原式都成立.

10.己知点Pn((Xn＞d)满足Cln+\=Cln*bn+\＞。"+1=错误!(〃仁N)＞且点P\的坐标为

(1，-1).

(1)求过点P2的直线/的方程；

⑵试用数学归纳法证明：对于〃&N二点P〃都在⑴中的直线/上.

(1)解由题意得。1=1,bi=-1,

历=1—L46/2=1x|=|,1

工直线/的方程为户=尸，即〃+)，-1=0.

-+11

3十131

(2)证明①当只=1时,2m+bi=2Xl+(—1)=1成立.

②假设n=k(k2l且代N*)时，2ak+bk=1成立.

则2ai+i+/"+i=2以•"+|+6+1=错误！・(2或+1)=错误！=错误！=1,

・•・当〃=&+1时，2〃+i+从+i=l也成立.

由①②知，对于"£N"，都有2以+瓦=1,

即点P”在⑴中的直线/上.

能力提升题组

(建议用时：20分钟)

11.设兀0是定义在正整数集上的函数，且兀E)满足：“当犬攵)23成立时，总可推

出人4+1)>仅+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()

A.若<1)<1成立，则川0)<100成立

B.若12)<4成立，则人1)21成立

C.若汽3)29成立，则当攵21时，均有4女)》右成立

D.若#4)216成立，则当224时,均有玉成立

解析由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所