第九章 第9节 第1课时 圆锥曲线的综合问题

第9节圆锥曲线的综合问题

最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥

曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

I基础诊断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ar+B)，+C=O(A,

B不同时为())代入圆锥曲线C的方程网工，)，)=(),消去)，(也可以消去划得到一个

关于变量M或变量)，)的一元方程，

辰+为，+。=0,.

即J广/.八消去y,得or+bx+c=().

F(x,y)=0

(1)当aWO时，设一元二次方程a?+云+c=0的判别式为/,则：

/>0。直线与圆锥曲线C相交;

/=0。直线与圆锥曲线C相切;

/V()o直线与圆锥曲线C相离.

(2)当。=0,AWO时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只

有一个交点，此时，若。为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是壬

fi;若。为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为攵(攵#0)的直线/与圆锥曲线C相交于A，8两点，A(Xi,y),8(x2,乃)，

则

|A3|=、1+3即一刈

=、［］+C・q(3+想)2—4;i花

2

=yjT-^-1^1->'2|=AJ1+P*\/(yi+y2)~4yii2.

［常用结论与微点提醒］

1.直线与椭圆位置关系的有关结论

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切：

(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.

2.直线与抛物线位置关系的有关结论

⑴过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一

条与对称轴平行或重合的直线；

⑵过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一

条与对称轴平行或重合的直线；

⑶过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴

平行或重合的直线.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)直线/与椭圆C相切的充要条件是：直线/与椭圆C只有一个公共点.()

⑵直线/与双曲线C相切的充要条件是:直线/与双曲线C只有一个公共点.()

⑶直线/与抛物线。相切的充要条件是:直线/与抛物线。只有一个公共点.()

(4)如果直线x=ty-\-a与圆锥曲线相交于A(xi，V|),3(不，竺)两点，则弦长

=、1+*仅］一)，2|.()

解析(2)因为直线/与双曲线。的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，

但并不相切.

(3)因为直线/与抛物线。的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，

但不相切.

答案(1)V(2)X(3)X(4)7

2.直线y=kx-k^1与椭圆与+(=1的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

解析直线)，=区一女+1=网X-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部，

故直线与椭圆相交.

答案A

2

3.(选修2-1P80A8改编)已知与向量0=(1,0)平行的直线I与双曲线，一/=1

相交于A,8两点，贝的最小值为.

解析由题意可设直线/的方程为y=，〃,

代入"一)2=1得X2=4(]+根2),

所以的=小(1+〃/)=2,\/1+/7?2,

X2=—2\l14-7n2,

所以1人用=出一切尸”/1+/九\

所以|A3|=4yl1+苏N4,

即当加=()时，|A用有最小值4.

答案4

4.过抛物线y=2/的焦点的直线与抛物线交于A(g，y)，B(M")两点，则工阳

片"’

程为产哂，由口闻

得2?一丘一(=0,故X|i2=一七

答案T

5.已知R,&是椭圆16f+25y2=l60()的两个焦点，尸是椭圆上一点，且PQ

±PF2,则△QP「2的面积为.

解析由题意可得|PF]|+|PF2|=2〃=20,

2222

|PF/十|PF2|=|F|F2『=4c=144=(|PF||+|PF2|)一2|PF||•|PF2|=20一

2|PFi|•|PF2|,

解得IPFil・|P尸d=128,

所以△~P&的面积为:|PFi|・|P0|=gx128=64.

答案64

第1课时直线与圆锥曲线

考点突破喏希彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一直线与圆锥曲线的位置关系

22

【例1】在平面直角坐标系X。》中，已知椭圆C|：3+*=1（4/?>0）的左焦点

为尸］（一1,0）,且点P（0,1）在G上.

⑴求椭圆G的方程；

（2）设直线/同时与椭圆G和抛物线。2：尸=4无相切，求直线/的方程.

解⑴椭圆G的左焦点为尸1（-1，0）,，c=l,

又点P（0,1）在曲线G上，

・*+/=1,得6=1,则〃2=//+仃2=2,

所以椭圆G的方程为4+），2=1.

1

⑵由题意可知，直线/的斜率显然存在且不等于0,设直线/的方程为），=心+如

由j2消去），，得（］+2炉），+4初a+2,〃2—2=0.

y=kx-\-m

因为直线/与椭圆G相切，

所以4=16呢2-4（14-2日）（2/-2）=0.

整理得一/，+1=0.①

|V=4x,

由，,消去户得底—+（2的?-4）x+m~=0.

y=kx-vin

因为直线/与抛物线C2相切，

所以12=（2Z"7—4）2—4后〃2=0,整理得km=T.②

［,^2f^2

综合①②，解得j―2，或J—2，

1〃2=啦1加=一啦.

所以直线/的方程为），=乎x+也或y=一冬一、仿

规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆

锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含，项的系数是否为

零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用

数形结合的方法求解.

【训练1】若直线如+〃y=4与圆O：f+)?=4没有交点，则过点P(m,〃)的

直线与椭圆与+/1的交点个数为()

A.至多一个B.2

C.1D.0

解析二•直线"ir+〃y=4和圆O：f+)，=4没有交点,

2，）/2_

43・2।24.加।m.4—m52i.上/、«

••/~y>2,・・〃/+〃~<4,・・W+N"<W+——=一%"<'.•点（〃7，〃）在

7，犷+〃-

v*2V2V2V2

椭圆百■+；=1的内部，，过点(小，〃)的直线与椭圆§+：=1的交点有2个，故

选B.

答案B

考点二弦长问题

22

【例2】(2018•黄山二模)设尸］,&分别是椭圆。:3+齐=1(〃2())的左、右焦

点，过巳作倾斜角为g的直线交椭圆。于4,B两点,Q到直线48的距离为

2季,连接椭圆。的四个顶点得到的菱形的面积为2小.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设过点F2的直线I被椭圆。和圆C(x—2)2+。-2)2=4所截得的弦长分别为

m,当根•〃最大时，求直线/的方程.

解(1)设P的坐标为(一c,()),B的坐标为(60)(00),

则直线AB的方程为），=小。-c）,即小x—y—小c=0,

.|-V3c-V3c|

.飞（小）2+（—1）2243,解传c2.

•2a•2/?=2小，；.ab=小,

又〃2=/+d,.*.672=5,/?2=1,

・,・椭圆。的方程为a+y2=l.

J

QI

(2)由题意知，可设直线/的方程为尸)+2,则圆心C到直线I的距离d=

W+l'

n=2yf^=^=,

x=zy+2,

曲^9_得(F+S*+d/y—1=0,

J।)'=1

设直线/与椭圆。的交点坐标为(xi，yD，(应，”)，

.I,_4z_1

—*+5,>W-Z2+5,

.i—^275(?+l)

••根=y]+rlj'i-yi\=『+5

，…=今号一空—W2小

厂+5

即，=打0时，等号成立

,直线I的方程为x—小厂2=0或x+小厂2=().

规律方法弦长的三种常用计算方法

(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.

(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用

两点间距离公式求弦长.

(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间

的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.

【训练2】(2018•郑州一模)已知倾斜角为60°的直线/通过抛物线f=4)，的焦

点，且与抛物线相交于A,B两点，则弦|A8|=.

解析直线/的方程为》=小工+1,

由42得工-14y+l=0.

*=4)，，

设A(xi,yi),8(X2,yih

则为+%=14,

\AB\=y\-\-y2-\-p=14+2=16.

答案16

考点三中点弦问题(多维探究)

命题角度1利用中点弦确定直线或曲线的方程

22

【例3一1]⑴已知椭圆氏3+%=1(。>〃>0)的右焦点为“(3,0),过点厂的

直线交E于4,夕两点.若48的中点坐标为(1,一1),则E的方程为()

9922

A工R工人上=1

A，45十36—丘36十27一I

1c.2J7十X1=8i1口d」8J十9J1

22

(2)(一题多解)已知尸(1,1)为椭圆曰+与=1内定点，经过尸引•条弦，使此弦

被P点平分，则此弦所在的直线方程为.

解析(1)因为直线AB过点尸(3,0)和点(1,-1),

所以直线的方程为尸3一3),代入椭圆方程官+£=1消去齐得仔+户卜

3.

2a~

所以A8的中点的横坐标为7-7=1,即〃2=26,

22)

又/=/+(?,所以/?=c=3,〃=3啦.

⑵法一易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为)，一l=Mx—1),此弦

的两端点坐标分别为&X[,>>|),8(X2，丁2).

y-l=k(x-I),

由‘^十炉=1消去y整理得，(2炉+1*—4叔女-1a+2(必一24一1)=0,

4k(I)

••即+上=2M+]

.,,.4k(k~1),n1

又••"I+X2=2,..2,+]=2,解付2=-2,

故此弦所在的直线方程为厂1=一米-1),即叶2厂3=0.

法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为3

此弦的两端点坐标分别为A(R,yi),B(xz,及)，

则4+'=1①,亨+?=1②,

①-②得-5+ajf)+5+»)2°L")=°，

VXI+X2=2,乃+竺=2,

：?

/.^+y1-y2=O,

“=g=1

2,

X1—X2

.二此弦所在的直线方程为y~1=—^(x—1),即x+2y—3=0.

答案(1)D(2)x+2y-3=0

命题角度2利用中点弦解决对称问题

【例3—2】若抛物线y=Zx2上两点A3,y),8(物及)关于直线丁=兀+加对称,

且制应=一看则实数m的值为.

解析由题意可设直线A3的方程为y=-x+d

代入y=2d得Zr2+x—/?=(),

..1—bl

.•X}-rX2=—yX\X2=—=-y

.•・b=l,即直线A8的方程为y=-x+l.

设AB的中点为M(A-0,)，O),

则x()=~^~2—~=—不代入比=-xo+1,

得泗$则M一；,t)，

又从一；,皆在直线y=x+机上，

・•]=一；+〃?，

〃2=/

3

答案

2一

规律方法处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式

中含有加+检，X二工三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，

X\—X2

借用中点公式即可求得斜率.

⑵根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次

方程后，由根与系数的关系求解.

(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A,8关于

直线/对称，则/垂直直线A8且A,8的中点在直线/上的应用.

【训练3】若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直线)，=3x+7与椭圆相

交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为.

解析因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0.2),则〃2一序=%所以可设椭圆

方程为而+千=1,

P=3x+7,

由)？J消去x,整理得

[/+4+记一匕

(101+4»2-14(户+4»—91+13序+196=0

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点为(项，,ri),(孙，力)，

由一元二次方程根与系数的关系得：

14(/+4)

M+)'2=10从+4=2・

解得：廿=8.所以/=12.

则椭圆方程为!+卷=1.

O1Z

答案8+i2=1

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、选择题

br22

i.直线），=孑+3与双由线靛一v齐=im＞（）,比＞（））的交点个数是（）

A.lB.2C.1或2D.0

.?2f

解析由直线y=3+3与双曲线£一衣=1的渐近线厂方平行，故直线与双曲

线的交点个数是1.

答案A

22

2.己知双曲线C：比＞0）,斜率为1的直线与C交于两点4,B,

若线段A8的中点为（4,1）,则双曲线C的渐近线方程是（）

A.2x±y=0B.x±2y=（）

C.yf2x±y=0D.x±yf2y=0

解析设Agy）,Bg%）,则多一卓=1①，条一卓=1②，由①一②得

〈…）/+应）=（…）户+”）,结合题意化简得竽=1,即%/

所以双曲线。的渐近线方程为在2），=0.

答案B

3.抛物线），=/上的点到直线工一厂2=（）的最短距离为（）

ASB基

C.2^2D.平

解析设抛物线上一点的坐标为。，y）,则dJ七"21」T^L2|二

答案B

4.经过椭圆5+），2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线/,交椭圆于48两点,

设O为坐标原点，则近•丽等于（）

A.-3BL；

C.一；或一3D.±g

解析依题意，当直线/经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y-0=tan45°（工

2

-1）,即尸X—1,代入椭圆方程3+丁=1并整理得3f—4尸0,解得尸0或x

=/所以两个交点坐标分别为（0,一1），件9,「.Bi•丽=一/，同理，直线

/经过椭圆的左焦点时,也可得次1•丽=一/

答案B

5.（2018•太原一模）已知抛物线『=4工的焦点为R过焦点厂的直线交抛物线于A,

B两点,。为坐标原点，若aAOB的面积为#,则|AB|=（）

A.6B.8C.I2D.16

解析由题意知抛物线）?=©的焦点厂的坐标为（1,0）,易知当直线AB垂直于

x轴时，aAOB的面积为2,不满足题意，所以可设直线AB的方程为〉，=《。一

1）（^0）,与声=以联立，消去x得竹2一—一4仁0,设A（R,yD，y）

42f

1

所以回一）引=4号+16,所以△AO。的面积为普+16=解得k

所以|AB|=、/l+5y一竺1=6,故选A.

答案A

二、填空题

6.（2018・赣州调研）在直角坐标系X。），中，有一定点例（-1,2）,若线段。历的垂

直平分线过抛物线f=2p），（p>0）的焦点，则该抛物线的准线方程是_______.

解析易知直线OM的方程为），=—2羽则线段OM的垂直平分线的方程为2x

-4y+5=0,

把焦点坐标（0,切代入2（—4），+5=0可求得p=（,从而得到准线方程为），=—土

答案y=~l

r22广

7.（2018・龙岩二模）已知椭圆C：/+v齐=1（。>8>0），尸（卷0）为其右焦点，过尸

且垂直于工轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为.

7=啦,

22

解析由题意得19=1，。=2,yV

解得6=也•••椭圆c的方程为>+>=1•

222

<a=b+ct

答案4+2=1

22

8.（2018•福建四地六校模拟）过椭圆京+[=1内一点P（3,1）,且被这点平分的弦

所在直线的方程是.

解析设直线与椭圆交于A（X1,M）,B（X2,52）两点，

由于A,8两点均在椭圆上，

22

故A-1V4IV24n

16

两式相减得

（制+必）（占一处）（yi十及）（》一以）

=0.

164

又・・•尸是A,8的中点，・・・即+忿=6,刀+刃=2,

3

-

4

X\—X2

3

・•・直线45的方程为y—1=一彳（工一3）.

即3x+4y-13=O.

答案3x+4v-13=0

三、解答题

22

9.设Q,F2分别是椭圆氏夕+方=l（4Q0）的左、右焦点，过Fi且斜率为1

的直线/与E相交于AB两点,且IAF2I，网,|5尸引成等差数列.

（1）求E的离心率；

(2)设点P(0,一1)满足照|=|P8|,求E的方程.

解(1)由椭圆定义知|AF2l+|BBl+|A3|=4m

4

又21ABi=|ABl+|3F2l，得依用=予?，

I的方程为y=x+c,其中c=y/a2-b2.

y=x+c,

设A3,力)，3(X2,»)，则4,夕两点的坐标满足方程组f炉消去y,整

5+*=1J

—2r〃2/2_12\

理得++2〃2cx+/(c2—/)=0,则即+]2=~1+匕2,X\X2=---彳/—.

因为直线A3的斜率为1,所以慎8|=也比一即1=〃2［（即+应）2一如对，

故/=2。\

所以E的离心率弓己=孚

v<1<乙

⑵设AB的中点为NQ），泗），由⑴知

为+应一be2c.c

沏=方­=不言=_不，g=M）+c=?

由|刈=|/何，得kpN=-l，即叶L-1，

40

得c=3,从而〃=3&,b=3.

22

故椭圆上的方程为喘+v=l.

1oy

2

10.如图，已知椭圆与+）?=1上两个不同的点A,8关于直线），\T

=〃a旧对称.晨

⑴求实数〃，的取值范围；T

（2）求aAOB面积的最大值（。为坐标原点）.

解由题意知机W0,可设直线A8的方程为

y=—!工+力，A（X|,yi）,B（M，"），A3中点为M,

得g+5卜一务+/T=o-

1r2

因为直线＞=-帚+/?与椭圆亍+）?=1有两个不同的交点，所以/=-2/+2+

①

rn.l,4〃7』2nfb

则占+超-诉？T十”-而5

（1）将A3中点，悬台，辞闵代入直线方程y=〃a+3解得〃=一修黑，②

由①@得m＜一乎或用＞坐

故实数〃，的取值范围为（-8,-甯噌,+8）.

（2）令/=（《（一乎，o|u（o,当，则

A/-2?+2r+5

IABI=yjr+l-———j----,

?+2

且。到直线A5的距离为&4.

0+1

设△AOB的面积为S⑺,

2V2

所以S(/)=；|AB|•d=TA/—2+2W竽

当且仅当尸=5寸，等号成立.

故aAOB面积的最大值为坐.

能力提升题组

（建议用时：20分钟）

11.（2018.河北百校联考）已知抛物线y2=4.v,过其焦点F的直线/与抛物线分别交

于A,B两点（A在第一象限内），AF=3FB,过AB的中点且垂直于/的直线与x

轴交于点G,则的面积为（）

rW3n64^3

A.呼B.喈J9u'9

解析设A（jq,乃），8（M，）力因为崩=3而，

所以yi=-3）%设直线/的方程为x=my+l,

[y2=4x,.

由f-消去x得y~—4my—4=0,，）叱2=—4,

,x=my-\-1

飞・•.—里

"=