江西省六所2025-2026学年高一年级下册4月段考试 数学试题（含解析）

2025-2026学年高一4月第一次段考数学试卷

一、单选题

1.某扇形花坛的圆心角为,弧度，半径为6米，则该花坛的弧长为＜

）.

A.4乃米B.34米C.2乃米D.乃米

2.如图，在VABC中，D,E分别是边人8,AC的中点，则（）.

A.DE=BCB.|。q=|明

C.DE//BCD.灰与方向相反

3.在平行四边形"CO中，AB=a，=B，则工-丽=（）.

A.2aB.2bC.0D.d+b

4.若。是第二象限角，2。是第四象限角，则。构成的集合为（).

A.|+—<a<kit+it,k?Z

4

B.IZen+—<a<kn+it,k?Z

6

C.I2kn+^-<a<2k兀+兀#?Z

|2E+2V2E+x,k?

D.Z

6

5.函数〃x）=Jlog：!的定义城为（）.

A.2杭2〃兀+e](&wZ)

Z-

B.2kn--,2kn+-(攵eZ)

I66」

C.2E,2E+^)U卜^+1:电+兀(keZ)

D.E,E+^JuE+—兀wZ）

6.已知函数/'（x）=tan®x+0）（其中ty>0,|同v5）,点A（1,0）在/（x）的图象上，点3为该图象在点A

左侧第一条渐近线与工轴的交点，且|A8|=；,贝打（招）=（）♦

A.73B.立C.-73D.-赵

33

7.已知向量力=（%），），是将口绕起点逆时针旋转角90。后得到的向量，且2+八（2,4）,则向=（）.

A.75B.2&C.3D.V10

/\r

8.已知函数f（"=sins+*®>0）在区间上单调递增，且在区间［0,可上存在唯一一条对称轴,

则。的取值范围是（）.

二、多选题

9.下列说法中正确的有（）.

A.零向量的方向是任意的B.单位向量都相等

C.相等向量的长度一定相等D.共线向量一定在同一条直线上

10.下列函数中，是偶函数的有（）.

A./（x）=cosx+x2B./（x）=sinxcosx

C./(x)=|sinA|+cosxD./(x)=cos(tan.r)

11.某简谐运动模型为/(/)=4cos(sf+Q)+B,其中A>0,ty>0,8G[0,2兀)BGR.已知在，=0时,

质点位于最高点；在/=1时，质点位于平衡位置（即函数值为8）,则（）.

A.8=。

B.sin69=0

C.在区间［0,2］内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数

D.在区间［-2,2］内，质点达到最低点的次数一定是偶数

三、填空题

.5兀27i77i

12.求值:sm—+cos—+tan--

634

13.某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50米，再向北移动

30米，最后沿西偏南45。方向移匈1()加米.以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直

角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为.

14.对于函数〃力，若存在正常数7,使得sin(/(x+T))=sin(f(x))对任意xwR恒成立，则称““为"正

弦周期函数”，T为其一个正弦周期.已知“X)是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为"，

40)=0,f(幻=兀,则〃2幻=

四、解答题

15.己知角。的终边经过点P(26」)，且sina=g.

⑴求/和cosa的值；

sin(^-a)cos(^4-a)

⑵求一国一的值.

sin——+acos----a

{2)[2)

16.已知向量。=(1,2),/；=(-2,1).

⑴若向量日+历与方共线，求实数上的值；

(2)是否存在实数机，使得卜一〃区卜卜十5|,若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

17.已知函数/(x)=Asin(公r+0(A>0,o>0,[同<]),其图象的最高点坐标为(1,3),图象与工轴相邻两

个交点的距离为.

⑴求〃力的解析式;

(2)将函数/(%)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，再向右平移?个单位长度，得到

函数g(x)的图象，求屋工)在区间0，；上的值域.

18.九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶.为优化运营效率，景区管理人

员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度力。)(单位：米)随时间，(单位：分钟，以缆车从山脚出

发时为r=0)的变化可近似表示为力⑺=300si哈冶)+400,re[0,20].

(1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应/的值;

(2)为保隙游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统.

(i)求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长；

(ii)景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造

后缆车在，=0时位于最低点.若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式.

19.在VA3C中，点。在边48上，点£在边AC上，且满足而=2诙，荏=3瓦.设6£与。。交于点

P，连接AP并延长交于点F.设丽=1，7iC=b.

(1)用d,B表示^BE\

⑵若AP=xa+yh,求盯；

(3)若点G在线段AP上，且满足而///，求|而|:|乔|的值.

参考答案

1.A

【详解】依题意，该花坛的弧长为gx6=4兀米.

2.C

【详解】因为。，七分别是边的中点，则|国=/因，故A,B错误；

且方与阮方向相同，所以皮〃前，故C正确，D错误.

3.A

【详解】因为四边形48CQ为平行四边形，

^iAC=AB+AD=a+b，BD=AD—AB=b—a，

uuuinni,Trrrr

所以AC-8O=(a+止x伍z-止x2”.

4.C

【详解】因为a是第二象限角，

则2履+四<。<2阮+兀，ZwZ,可得4E+兀<2a<4E+2兀，kwZ,

2

y2a是第四象限角，则4E+£v2av4E+271,kwZ,解得2E+与vav2E+兀，kwZ,

所以。构成的集合为｛a|2E+%a<2E+7Uez｝.

5.C

【详解】令1。瓦(：2—工口0,可得0<l12sin“—i,

注意到1+sinxrO,即sinxw—1,可得"一］+2而,&cZ,

贝iJl+sinx>0,nJf#O<l-2sinx<l+sinx,整理可得OVsinxv，,

2

解得2女乃4x<224+工或2E+&<xK2反+兀，攵eZ,

66

所以函数/的定义域为2E,2E+3)U(2E+V，2E+7i(&WZ).

6.B

【详解】由题意知，|4/=；=9,即:二3?,解得3=2,则〃x)=tan(2x+°).

又点｛1,())在〃力的图象上，所以tan(2x1+9)=0,即2、：+°=版，kwZ,所以Q=—彳+桁，kwZ,

又M<5，所以。=一：,所以/(<)=tan(2x_：J.

c57r兀=tai=3

tan2x-----

虬信卜24463

7.D

【详解】依题意，?1a,|c|=|^,由1+3=(2,4),^|a+c|2=22+42=20,

因此乙2+20史+/=，即2%2=20,所以闷=加.

8.B

【详解】由题意可知：0>0,

若工©°，3，则0工+.£，

因为函数/(力在区间上单调递增，则9畀+93解得。<口斗

若xw[o,可，则+—.TCCO+—,

因为函数/(X)在区间[0,可上存在唯一1条对称轴，则34兀0+3<手，解得!

232o6

综上所述：。的取值范围是.

03

9.AC

【详解】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A正确；

对于选项B：单位向量的模长均为1,但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误;

对于选项C相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C正确；

对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误.

10.ACD

【详解】对于A,函数/(x)=cosx+x2的定义域为R,/(-X)=cos(-%)+(-A)2=f(x),A是；

对干B,函数/(x)=sinxcosx的定义域为R,/(-v)=sin(-x)cos(-x)=-/(x),B不是；

对干C,函数/(x)引sinx|+cos"勺定义域为R,/(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=/(x),C是；

对千D,函数/(x)=cos(tanx)的定义域为{xcR|xh]+eZ},

且f(-x)=cos[tan(-x)]=cos(-tanx)=/(x),D是.

11.ACD

【详解】对于选项A：因为/(0)=Acose+8=A+3,即cos0=l,

且夕目0,2冗)，则夕=0,BP/(/)=Acos<y/+^,故A正确；

对于选项B：因为/(1)=Acos0+4=4,UPcos69=0,

且。＞0,则3=]+E,火wN,

则sinty=sin(—+brI=-sin—=-1故错误;

当A为奇数时,(2J2B

对干选项C：若，e［0,2］,贝且2&=兀+2阮

因为y=cosx在［0,河内有且仅有一个零点,在心冗就兀+2可湍eN"有2个零点,

则y=Acos创在［0,2］内有奇数个零点，

所以在区间［0,2］内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C正确；

对干选项D：因为〃/)=Acosm+A为偶函数，且在“0时，质点位于最高点,

根据对称性可知在区间［-2,2］内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D正确.

12.-1

3兀2n7iz.it兀7t11

【详解】sin+cos—+tun—=sin—cos—tan——=--------1t=-1.

63463422

13.(40,20)

【详解】由题意可知：从原点出发，先向东移动50米，到达A(50,0),

再向北移动30米,到达5(50,30),

最后沿西偏南45。方向移动10贝米，至灿。(40,20),

所以该机器人最终的位置坐标为(40,20).

14.0

【详解】对于任意角A8,如果sinA=sin8,可得A=8+2E或4=兀-8+2履(AwZ),

因为/G)是定义在R上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为。，所以sin("x+"))sin(/(x)),由

此可得/(x+7；)=/(x)+2E(ZeZ)或/(X+ZJ=;T—/(X)+2EWGZ),

分类讨论,当/(%+幻=/(0+如(丘Z)时,

代人工=(),可得“1)=/(0)+2E,

根据题目条件〃())=(),〃工))=兀，可得兀=0+2EnA=g,

因为kwZ,所以排除此种可能性；

当f(x+4)=兀一/(.r)+2A7r(/:eZ)时，

代入x=0,可得/(工))=兀-f(O)+2E,

根据题目条件“0)=0,〃幻=兀，可得兀=兀-0+2也=攵=0,

因此/(%+&)=九一f(x),

代入x=",可得/(4+幻=万一/(幻n/(27；)=0.

15.(!)/=\/5»cosa=

⑵।

【详解】(1)因为角a的终边经过点尸(26"),且sina=4,

则^^=名，且00,解得，=石，

V20+/'5

2石2石

即P(26,«),所以cosa=i----------=----------.

V20+55

sin(n-6r)cos(7c+a)_sina(-cosa)

⑵由题意可得：.(3兀、(3n、(-coscr)(-sina)

sin—+acos-----av八)

UJ(2J

16.(l)Zc=-l

(2)存在，，〃=T或6=1

【详解】(1)因为向量力=(1,2),5=(-2,1),则：+应=(1一24.2+2),"石=0,1)，

若向量1+序与”5共线,则1-2々=3(2+〃)，解得k=-L

(2)因为向量值=(1,2),b=(-2,1),则o-〃7力+d+b=(-1,3)»

若立一/汕卜卜+田，则J(1++3?»

整理可得病-1=0,解得〃?=一1或“2=1.

17.⑴〃x)=3sin(2xq)

-3一

⑵七

【详解】(1)由题意可知：/(x)的最小正周期7=2X5=7C,

且切>0,由卫=兀解得3=2,

(0

又因为最高点坐标为(々，3]，

则4=3,

则《升3sin停+*卜3,

且r一TTv/vTC则a7tV27t+。<77t可.得/口27t+w=7T解An得。=一冗

22636326

所以/(x)=3sin(2xq).

(2)将函数/(6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的方(纵坐标不变)，得至ljy=3sin(4x-t

再向右平移?个单位长度，得到膜工)=3sin4卜--弓=3sin

因为％e0。，则，

46166

pj^sinl4A---je一<,1,OP<?(A)=-3sin4x--^-le-3,],

2JIL2_

JT3

所以g(x)在区间0,-上的值域为-3,-.

?555

18.⑴最大高度为700米，[=1分；最小高度为100米，/二7分；

(2)(i),分；(ii)h[t}=-550cost+250,t€[0,20].

【详解】⑴函数〃(/)=300sin(白g)+4(X),问0,20]中，合—枭[_*争，

当2L一二=2,即”生时，//(/)_=700；当工一二=包，即/=&时，/?(/).=100,

1032310323、儿"

所以缆车运行过程中的最大高度为700米，，=215分；最小高度为100米，，55■分.

(2)(i)由力⑺<250,得300sin(Zf-2)+400<250=3|1(工，一二)〈一,，

131032

因为/《0,20],所以或？解得OY。或15Vd20,

31()3661()333

所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为(：5-0)+(2。-15)二2三0分.

(ii)依题意，改造后的函数解析式为/«)=Asin(Rf+9)+B,4>0,

由缆车的最大高度提升至800米，得A+8=800,即8=8(X)—4,

由改造后缆车在，=0时位于最低点，得3110=-1,取夕=一1，

则h⑴=Asin哈”今+800-A=-Acos,+800-A,

由h⑴<250,得一4cos-/+800-A<250<^cos-r>55Q~A,

1010A

改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数〃⑴的周期为20分钟，

因此/?⑺<250的时间总长为缆车旋转半周的时间，而cos^cO的时间总长为1(),

则生詈=(),解得4=550,所以新的函数解析式依)=-550cos±/+25()心[(),20].

A10

19.mCD=-a-btBE=-a+-b；

34

⑵！；

0

(3)|.

【详解】(1)在VA3C