2026年高考数学考前重点题型归纳【135个重点题型】（数列、立体几何）原卷版

高考数学考前重点题型归纳

(含4个专题，135个重点题型)

内容导览

|题型18数列小题40个重点题型

1题型19数列大题25个重点题型

I题型20立体几何小题35个重点题型

i

|题型21立体几何大题35个重点题型

重点题型归纳

题型18数列小题40个重点题型

题号核心题型题型解决关键点

1等差数列基本量计算利用等差数列通项公式，由已知两项求出公差，再求指定项。

2等差数列性质与前〃项和利用等差中项性质及前〃项和公式列方程，求项数。

3等差中项与前〃项和由等差中项求出首项与公差关系，代入前〃项和公式求侑。

4由前〃项和求通项利用。〃=2?-5(〃-1)求通项，再求特定项的和。

5等差数列片段和性质利用等差数列前〃项和片段成等差数列的性质，列方程求值。

6等差数列前〃项和性质由等差数列性质得S4,S8,S12成等差，结合条件求比值。

7数列递推与分类讨论根据递推公式及奇偶性分类倒推，求可能取值，判断不可能的值。

等差数列与基本不等式求

8利用等差中项求出首项，再结合基本不等式求积的最大值。

最值

9等比数列基本量计算利用等比中项求公比，再求前〃项和。

构造等比数列与数列单调由递推式构造等比数列求通项，再根据递增性列不等式，分奇偶讨

10

性论求参数范围。

由递推式构造等差数列求通项，根据小于0的项数列不等式组求参

11构造等差数列与项数范围

数范围。

等差数列前〃项和性质与定

12设首项公差，由条件得定值关系，通过系数比对求参数。

值

等比数列前〃项和公式与奇

13由前〃项和求通项，再求奇数项和与偶数项和的比值。

偶项比

14等比数列与等差数列综合利用等差中项和等比中项分别求出公差和公比，再求三角函数值。

构造等差数列求通项与求

15由递推式构造等差数列求通项，再求特定项和，解方程求项数。

和

等比数列项的性质与不等

16利用等比数列通项公式;，结合基本不等式和性质判断各选项。

式

1/36

等差数列与等比中项求前〃

17设公差，利用等匕中项列方程求公差，再求前〃项和。

项和

构造函数，利用导数研究函数单调性，分奇偶讨论数列的最大项和

18数列的单调性与最值

最小项。

递推数列的极限与参数范由递推关系及恒成立条件，利用数列单调有界性求极限，解参数范

19

围围。

2()等比数列前〃项和与方程由前〃项和关系列方程，利用换元法解出公比，再求项数。

利用等差数列通项公式及三角恒等变换，结合三角函数周期性求

21等差数列与三角函数周期

和。

22数列递推与几何应用由纸张裁剪规则建立递推关系，求通项公式，再求周长之和。

23由前〃项和求通项与递推利用。〃与关系求通项，再由递推求另一数列通项，最后求和。

等比数列公比范围与比较

24构造函数，利用零点存在性确定公比范围，再比较各项大小。

大小

25递增数列与递推关系判断利用反证法验证不可能的关系式，通过举反例验证可能的关系。

由前〃项和求通项与性质

26利用a〃与S〃关系求通项，判断等比数列及前〃项和公式。

（多选题）

递推数列与等比数列（多选由递推式构造等比数列，判断单调性及连续三项成等差数列的可能

27

题）性。

等比数列基本审:及性质（多

28利用等比数列性质求首项公比，再判断数列性质。

选题）

由前〃项和求通项及最值利用4〃与5〃关系求通项，判断等差数列及单调性，求前〃项和的最

29

（多选题）小值。

由前〃项和求通项与性质利用助与S〃关系求通项，判断等差数列、单调性，及等比中项存在

30

（多选题）性，求周期和。

等比数列前〃项和性质（多

31利用等比数列前〃项和性质及通项公式，判断各选项的正确性。

选题）

等比数列基本量及前〃项和

32由条件列方程求公比，再求前〃项和及比值。

（多选题）

数列新定义与递推（多选

33根据大衍数列的递推规则，求出各项，判断奇偶项关系及前〃项和。

题）

分段递推数列的性质（多选

34根据奇偶项递推公式，分析单调性、最值、前〃项和及项数范围。

题）

递推数列与特殊数列（多选通过取特殊值验证周期数列、恒成立、等差数列、等比数列的存在

35

题）性。

等比数列前〃项和公式求比

36由前〃项和关系求公比，再求特定前〃项和之比。

值

分段数列（等比+等差）求分别利用等比数列和等差数列通项公式求公比、公差，再求指定项

37

项与和及总和。

38三角形数阵求和观察各行数字规律，先求每行和，再求和。

等比数列与二次方程求最由韦达定理得首项与公比关系，利用等比数列前〃项和公式转化为

39

值二次函数求最小值。

构造等差数列求通项与不对递推式取倒数构造等差数列，求通项，再通过放缩法求满足不等

40

等式式的最小项数。

1.（2026•广东梅州•一模）已知｛4｝为等差数列，0=2,矶=6,则为+4=（）

A.36B.24C.18D.12

2/36

2.（2026•广东汕头•模拟预测）在等差数列｛4｝中，％+%+%=2,限+—+。。=2026,〃>2且

"WN*.若该数列前〃项和为5070,则〃为（）

A.13B.14C.15D.16

3.（2026•山东临沂•一模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S.，若5%和S2的等差中项为6,则邑=（）

A.6B.9C.12D.15

4.（2026•山东威海•一模）已知数列｛4｝的前”项和为工，且S-2=2S”.「S“+46=1,S2=6,则

。2+%+。6+%+%（.=（）

A.65B.105C.210D.230

5.（2026•河北张家口•一模）已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S…若S—7,九=33,则邑“=（）

A.18B.19C.20D.21

6.（2026・山东青岛•一模）已知力是等差数列｛%｝的前”项和，若出+2%。+0。=24,则/=（）

A.60B.120C.180D.240

,、区当a为偶数时

7.（2026•陕西宝鸡•一模）已知数列｛〃/满足：％=用（〃为正整数），*"二2'"，若

3%+1,当丁为奇数时

则m的值不可能为（）

A.16B.19C.20D.21

8.（2026•山东青岛•一模）已知正项等差数列｛q｝的前"项和为，,Sg=45,则与八的最大值为（）

A.20B.25C.40D.50

9.（2026•广东广州•二模）己知等比数列｛4｝满足‘+'+'=2,々=2,记3为其前〃项和，则I=

a\a2“3

（）

A.4B,6.5C.8D.12

10.（2026•黑龙江齐齐哈尔一模）己知数列｛叫的首项。尸3,〃川+2q=5x3”（〃eZ）,若数列｛%｝是递

增数列，则q的取值范围为（）

A.（Q3）B.（O,3）U（3,5）

C.（1,3）D.（y,3）u（3,5）

11.（2026・重庆•模拟预测）已知数列,让满足叫"一（"1）4=2〃（〃+1）,且｛〃“｝中小于0的项有10项，则

4的取值范围是（）

3/36

A.[-22,-20)B.(-22,-20]C.[-20,-18)D.(-20,-18]

12.（2026•湖北省直辖县级单位•模拟预测）已知命题:“记等差数列｛为｝的前“项和为S.，若2怎+%+阳=36,

则品为定值”为真命题，则可推出〃=（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2026•山东•模拟预测）若等比数列｛4｝的前〃项和邑=2"+’,则该数列｛4｝的前9项中所有奇数项之

和与所有偶数项之和的比为

170

A.gB.2D.——

341

14.（25-26高三下•福建・开己知等比数列｛〃〃｝与等差数列也“｝,满足％/为=64,4+仇+”=18,

a.it

则cos「r=（）

A.3D.-D百

2

15.（2026•山东德州•一模）数列｛4｝中，q=2,对VmeN,有%“=%+%，若

4及++4+2+。*+3+…+a*+10=270，则4=（）

A.8B.9C.10D.11

16.（2026・福建莆田•二模）已知数列｛q｝是公比为4的等比数列，机，〃，s,EWN，则下列命题正确的

是（）

A.若外出=4,则4=2B.若为＜。2，则9＞1

（］］、

C.若|。|工1,则（4+?）—+—＞4D.若a,“a“=a,a,,贝I」，"+”=s+,

17.（2026•山东青岛•一模）设公差不为0的等差数列｛q｝的前”项和为S.,S7=28,若。3，%成

等比数列，则4=（）

A.16B.8C.4D.2

18.（25-26高三上•广东•期末）已知数列｛q｝满足/=此一上且，则关于｛4｝说法正确的是（）

nn

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.有最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

19.（2026•贵州安顺一模）已知数列同满足勺=1,若对于任意〃eN‘，都有叫＜八＜2

成立，则实数c的取值范围是（）

4/36

A.（2,g）B.O，"|]仁[W]D.（2,3）

20.（2026•湖北武汉•模拟预测）记等比数列｛〃”｝的前〃项和为S.，若2sLs、+S6,且!+'+'=0,

a

。3。6k

则正整数4的值为（）

A.3B.6C.9D.12

A59

21.（2026•江西一模）已知等差数列｛々”｝的公差为三.若cosq=-U，则£>cosq=（）

315

A.-16B.16C.-8D.8

22.（2026•安徽安庆・一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张A/型号

纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张A（i+1）型号纸张；（2）•张A0型号的纸张面积是1平方米;

③所有A/•型号的纸的长宽比相等.现从A0到A）,每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（）

（单位：米）

sr叫，「/I”]

A.叫e+l）~1一件JB.2蚯（&+1-1-6）

c.2码及+1『1-¥D.2啦（加+1『1-孝

\/\/

23.（2026•江西赣州一模）已知数列｛q｝的前〃项和为S.，满足S2=3,2S.=5+l）“〃eN）,在数列出｝

中，b,=%,且4她.戊用=2*，设]为数列出｝的前〃项和，则加6=（）

A.22026B.22026-1C.22025D.22025-1

24.（25-26高三下•江苏南通•开学考试）已知4，巴，巴，即成等比数列，且为=2,

e则（）

A.%<a2B.a｝<a3C.出>“3D.a4>a2

25.（2026•河北邯郸•一模）已知递增数列｛〃/满足4=1,且口用=而「〃门，则儿〃满足的关系式不可

能为（）

A.4+〃<0B.力+1<0C.储+/=2D.4-24=0

二、多选题

26.（2026•山东青岛一•模）已知数列｛4｝的前〃项和为S.,若S.=2%+1,则（）

n

A.%=1B.%=-2"TC.5n=2-lD.4%…%=2"T

5/36

27.（2026・河北唐山•一模）己知4=2",S"为数列｛4｝的前〃项和，则下列结论正确的有（）

A.｛可｝是等比数列B.S“=2"-2

C.｛'｝是递减数列D.｛q｝中存在连续三项成等差数列

a八

28.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）在公比。为整数的等比数列｛〃“｝中，s”是数列｛q｝的前“项和，

q4=32,4+4=12,则下列说法正确的是（）

A.夕=2B.数列｛工｝是等比数列

C.$6=126D.数列｛1g%｝是公差为2的等差数列

29.（2026•福建莆田•二模）记S,为数列｛%｝的前〃项和，若邑=〃2一4〃，则下列说法正确的是（）

A.｛q｝为等差数列B.｛q｝为单调递漕数列

C.同+凡|+|%|+|%|+|%|+|%|=12D.9■的最小值为-3

n

30.（2026•福建龙岩•一模）已知数列｛々”｝的前〃项和为S.,且*=/+〃，则（）

A.数列｛4｝是等差数列

B.数列｛今｝不是单调数列

C.数列｛4｝中存在不同的两项，使或是这两项的等比中项

D.记数列2=%.8$（:凡，则数列｛勾｝的前2026项的和为4052

31.（25-26高三下•安徽・月考）已知｛可｝为等比数列，其前〃项和为S“，公比为4则下列说法正确的是

（）

A.若%=1,0=2,则邑=6

B.若为=4a；,则"$=；

C.若q=g，则%+S“=2%

4

D.若S’-52=4%,S«-SS=a：,则

32.（2026•河北保定•一模）已知等比数列｛〃”｝的公比为/前〃项和为5.，生='卅6=4%则下列说法正

确的是（）

A.牝=2B.q=2

6/36

C.%=2""D.Si向-:

o

33.（2026・湖北黄冈•一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应

）伉+〃+1,〃为奇数

用.已知大衍数列｛（%满足%=0,。向=〈%，则正确的有（）

（>[%+〃,〃为偶数

A.%=12B.%“+|=%1+4"

2

C.a2n=2n-nD.数列｛（-1）"。”｝的前20项和为110

34.（2026•广东佛山•一模）已知数列｛4｝的每一项都是整数.当〃为奇数时，有%+2+%22%+1+1；当〃

为偶数时，有。/2+。二2al.记S.为数列｛〃”｝的前〃项和，若%=1,%=3,则（）

A.数列｛4｝为递增数列B.S,的最小值为32

C.若左=100,则巴.的最小值为2649D.若4=2026,则的最大值为86

2%,0"”工；

35.（2026•广东广州・模拟预测）数列｛々J满足外£（0/）,且〜记｛q｝的前〃项和

为「，则（）

A.存在4,使｛q｝为周期数列

B.存在4，使S”>3〃恒成立

C.存在片m%，使｛£｝为等差数列

D.存在。产%,使｛q｝为等比数列

三、填空题

36.（2026•河南许昌•模拟预测）设S,,为各项均为正数的等比数列｛〃”｝的前〃项和,若2/+%=g.则

2=

5----------

37.（2026•北京平谷•一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知

10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列｛为｝,该数列的前4项成等比数列，

后7项成等差数列，且为=5,4=135,%=150，则出=,数列｛q｝所有项的和为.

38.（2026・甘肃一模）如图，若第1行数字的和记为用第2行数字的和记为。2,…，第”行数字的和记为

7/36

。一则4=；若数列｛qj的前〃项和为s“，则邑=

第1行2°

第2行2°212°

第3行2°2122212°

•••

第〃行2°2*-…212°

39.（25-26高三下•陕西渭南•开学考试）已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S.,华j是关于x的方程

/_4x+〃=0的两个不等实根，则4s6+邑-6S4的最小值为.

40.（2026♦山西朔州•一模）已知数列间的前”项和为S“，若4=3,凡”=肃石，则满足般转

nJJ

的人的最小值为.

题型19数列大题25个重点题型

题号核心题型题型解决关键点

等差数列基本量运算与不利用等差中项、等比中项列方程求首项和公差，再根据前〃项和公

1

等式式辞不等式求最小项数。

等差数列基本量与前〃项由已知条件列方程求首项和公差，写出前〃项积的表达式，利用指

2

积最值数函数单调性转化为二次函数求最值。

通过赋值法求出数列的周期，再根据周期求和；利用特殊值法求参

3递推数列的周期性

数满足的条件。

利用等差中项、等比中项列方程求公差和首项，再写出通项，用裂

4等差数列与裂项相消求和

项相消法求和。

由S〃与a〃关系求通项与错利用a〃=S〃-消去S〃，构造等差数列求通项；再用错位相减

5

位相减求和法求等比数列与等差数列乘积的前〃项和。

由S〃与加关系求通项与裂先构造等差数列求S〃，再通过的=5・5（〃-1）求通项，最后用裂项

6

项相消求和相消法求和。

等差中项与正余弦定理求利用等差中项和正弦定理得边角关系，再用余弦定理求角；结合外

7

角及边范围接圆半径和正弦定理求边长范围。

由S/7与4〃关系求通项与裂由递推式构造等差数列求S〃，再写出通项，用裂项相消法求和并证

8

项相消求和明不等式。

等差数列基本量与裂项相列方程求公差和首项，写出通项；用裂项相消法求和，再通过放缩

9

消求和法证明不等式。

构造等比数列求通项与分通过配凑法构造等比数列求通项，再分组求和，利用数列单调性解

10

组求和不等式求最大项数。

等比数列基本量与错位相由已知条件列方程求首项和公比，写出通项：再用错位相减法求数

11

减求和列的前〃项和。

构造等差数列与裂项相消

12通过赋值法构造等差数列求通项，再用裂项相消法求和。

求和

等差数列与等比数列的判

13利用等差数列定义求通项，再通过递推关系证明等比数列。

定

14等比数列前〃项和与等差利用等比数列通项公式求基本量，再通过前〃项和公式证明等差中

8/36

数列判定项关系。

等比数列与作差法求通项由等比数列通项公式求通项，再用作差法求另一数列的通项，最后

15

及裂项相消求和用裂项相消法求和。

构造等比数列求通项与裂通过配凑法构造等比数列求通项，再写出裂项形式，用裂项相消法

16

项相消求和求和。

利用等比中项列方程求公差，写出通项；再证明新数列为等比数列，

17等比中项与等比数列求和

用等比数列求和公式求和。

构造等差数列与分组求和通过取倒数构造等差数列求通项；按奇偶分组求和；构造函数研究

18

及数列最大项数列单调性求最大项。

构造等比数列与错位相减通过配凑法构造等比数列求通项：再用错位相减法求知：最后通过

19

求和及放缩法证明放缩和裂项相消证明不等式。

分段数列求和与构造等差分〃=1和〃N2两种情况求通项：由前〃项和关系构造等差数列求通项：

20

数列求通项再通过裂项相消法求和。

由S〃与a〃关系求通项与分利用皿=弘・5(〃・1)求通项；通过递推式作商求等比数列通项：再

21

组求和按大小顺序分组求和。

等比数列基本量与裂项相

22由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用裂项相消法求和。

消求和

构造等比数列与累加法求通过配凑法构造等比数列，再累加法求通项；用裂项相消法求和并

23

通项及裂项相消求和证明不等式。

由S”弓4〃关系求通项弓裂利用4〃=5?-§(止1)求通项：用裂项相消法求和；通过反证法证明

24

项相消求和及反证法不等式，用累加法放缩证明另一不等式。

由S〃与a〃关系求通项与等利用a”=Sn-构造等比数列求通项：通过分组求和和裂项相

25

差数列求和及二项式定理消求和；利用二项式定理放缩证明不等式，

1.(2026•贵州黔东南•模拟预测；已知公差不为0的等差数列｛〃”｝的前〃项和为S“，且Sg=45,，一

明，。成等比数列.

⑴求的通项公式；

(2)求使＞＞%成立的n的最小值.

2.(2026•湖南怀化•一模)已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且。2+%=0,5%+4+2=0.

(1)求数列｛q｝的前〃项和S.；

(2)汜九=2%，数列｛"｝的前〃项积为〃求北+S”的最小值.

3.(2026•江苏•一模)已知数列｛叫各项均不为零，%=1,4=g，(化-明”)

⑴当/=1时，求｛4｝的前50项和：

(2)若勺＞%「求正整数/的最小值.

4.(25-26高三上,黑龙江佳木斯力考)已知等差数列｛q｝的公差400,且%=5,叩叼为成等比数歹人

(1)求数列｛4｝的通项公式;

9/36

,1

⑵没与求数列｛力｝前〃项和为S.；

5.(2026•四川成都•二模)己知正项数列｛4｝的前〃项和为鼠，且/=1,2s“=a：+j

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若〃=*,求数列｛4｝的前〃项和列

CC1

6.(2026•河北保定♦一模)已知数列的｝的前〃项和为S”，且％=1,^=-.

(1)求S.

⑵若£=(T)”如丑，求数列｛3｝的前〃项和.

7.(2026•河北邯郸•一模)人仍。的内角4丛。的对边分别为*Ac,已知Ac成等差数列，且

sirU_2

sinZ?3

⑴求cos/；：

(2)汜△/俗C外接圆的面积为S,若S264兀，求6的取值范围.

8.(2026・重庆•一模)已知数列｛“的前〃项和为S”，若遇「(〃+1)2=2(/+可，且％=2.

(1)证明：1为等差数列，并求S”.

(2)若4=又\,数列｛九｝的前“项和副求证：Tn<\.

2>,-12

9.(2026•陕西榆林•模拟预测)已知等差数列｛q｝的前〃项和为且%=9,S,=30.

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)求数列｛(｝的前n项和；

II11I

⑶证明:丁丁丁十17.

10.(2026,广东广州•一模)已知数列｛勺｝的首项q=且满足一匚=^

3/1+In

(1)证明：数列，-1为等比数列；

见,

(2)若数歹+的前〃项和S.小于120,求〃的最大值.

II.(2026•江西南昌•一模)已知等比数列｛勺｝的公比4为整数，且勺+%-52,g+%--12.

10/36

(1)求MJ的通项公式；

(2)设3=|叫|,求数列｛，,｝的前”项和S-

12.(2026・辽宁抚顺•一模)已知数列满足q=3,%=8,且对任意的正整数〃，当〃22时，都有

%”+=2%+2.

(1)证明：数列｛%—/｝是等差数列；

(2)没"加工求数列｛九｝的前〃项和S..

anan+\

13.(2026•江苏•一模)已知数歹U｛%｝，6=1，"2"=2%+1.”€旷.

(1)若｛4｝是等差数列，求｛4｝的通项公式；

(2)没6=%,+1，证明：数列｛，｝是等比数列.

14.(2026•四川内江•二模)已知S”是等比数列｛q｝的前〃项和.

(1)若。2=2,小=64,求S7;

(2)若53,££成等差数列,证明：生小必成等差数列.

15.(2026・广东深圳•一模)已知数列｛4｝是等比数列，/=2：见=4,数列｛瓦｝满足：

⑴求｛4｝，作“｝的通项公式；

(2)求数列|」一|的前”项和S“.

16.(2026•江西一模)已知数列｛q｝中，％=1,满足%-3勺-1=0(〃EN)

(1)证明数列［勺+；)是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式：

2

⑵女儿=1。*(24”+1)，C为数列(二一卜的前八项和,求「2026.

〔她+J

17.(2026•内蒙古包头•模拟预测)已知数列｛4｝是公差不为零的等差数列，。1=1,且外,%,%成等比数

列.

⑴求数列应｝的通项公式；

1

(2)汜2=2%,求b^—b2b3H--1-(—1)'bnbn+i.

11/36

18.(2026•陕西西安•模拟预测)已知数列｛〃"｝中，4=1，〃*“=(〃+1)*+〃("+1).

(1)证明：｛半｝为等差数列，并求｛4｝的通项公式：

⑵汜。=(一1)"为，数列｛"｝的前〃项和为S“，求S”；

(3)数列｛，,｝满足：咐+%%+…+2；+1•3向—|，求，^•的最大项.

()(log必,〃为奇数

19.(2026・天津一模)已知数列%满足4=1必用=、第2;佃蛤.

[2"~，〃为偶数

(1)证明:求。2，。3的值,并证明数列｛%-｝为等比数列：

(2)设产•，求数列抄“｝的前F项和4；

E81

(3)设％=1+；----求证：q+c,+q+…+c“<〃+1--------

V(%+4)-〃十1

[3

20.(2026•山东聊城•一模)已知数列,“｝满足。"=7'”一.

In-l,n>2

⑴求｛%｝的前〃项和S“：

(2)汜数歹U｛九｝的前〃项和为夕若T.=2",-2"2+6.

(i)证明数列｛&｝为等差数列，并求出｛6｝的通项公式：

(ii)求数列的前〃项和

户”，

21.(25-26高三上•黑龙江哈尔滨•期末)数列｛〃.｝的前〃项和S“=〃(〃+】)，数列｛3｝满足

b也…"=2-，〃€N..

(1)求数列｛〃〃｝,｛瓦｝的通项公式：

(2)将数列,”｝和数列｛(-1)"”｝各取前100项，按从小到大排成一个新的数歹U｛4｝,其中重复的数只取一次,

求数列｛4｝的前100项和.

22.(25-26高三上•青海西宁•期中)已知等比数列｛凡｝的前〃项和为S“，旦牝=4〃邑=42.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式;

12/36

(2)若。=bg〃bg”.求数列也“｝的前〃项和5

1o

23.(2025•江西宜春•模拟预测)已知数列｛〃“｝满足q=5,%=Q,-+3%=4J.

(1)证明：数列｛%「为｝为等比数列；

(2)求｛q｝的通项公式；

,、

⑶汜4=2%+1,数列的前〃项和为S”，证明：

IA%J168

24.(2026•海南省直辖县级单位,模拟预测)记正项数列｛4｝的前〃项和为S”.

Ill1

⑴若勺=2"，求三十+三；

(2)若勺,2-。山》-—4,且S“K1,证明：。”,小4

⑶若4=1,(1一％)4=。/1(1+百)，证明：—<^2026<--

25.(25-26高三上•天津南开月考)已知数列｛%｝的前〃项和为S-对任意〃wN*,2s“=3%-I,

(1)证明：｛%｝为等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式.

(2)设数列4=1J"/■,其中攵eN"设

也T+4"，4<〃<Q川I

(i)求］的值；

(")设槎苧1，求使得方［CJK2026成立的最大正整数〃的值.(其中符号国表示不超过》

的最大整数)

题型20立体几何小题35个重点题型

题号核心题型题型解决关键点

利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理，结合空间想象或反例

1空间线面位置关系判断

排除，逐项判断。

通过建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量是

2线面平行的判定

否垂直；或利用面面平行的性质证明。

由轴截面为等腰直角三角形求出底面半径和母线长，代入圆锥侧面

3圆锥的侧面积计算

积公式求解。

球体与圆锥的表面积、体积分别写出球体和圆锥的表面积、体枳公式，代入已知比例关系，化

4

之比简求比值。

正三楂柱中的线面垂直与

5取棱中点构造线面垂直，利用勾股定理和相似三角形求线段长度。

线段长度

13/36

作出侧面与底面所成二面角的平面角，利川正四棱台的性质求高，

6正四棱台的体积与二面角

再代入棱台体积公式。

7正四棱台的侧面枳干算利用棱台体积公式求高，再求斜高，最后代入侧面积公式。

利用侧棱相等确定顶点在底面的射影为外心，求出底面外接圆半径

8三棱锥的外接球表面积

和高，再求外接球半径。

由外接球半径和圆锥底面半径、高的几何关系建立函数，利用导数

9圆锥外接球体积的最值

求体积最大值。

正三棱柱外接球球心到平建立空间直角坐标系，求出球心坐标和平面的法向量，利用点到平

1()

面的距离面距离公式求解。

由圆台内切球性质得母线长与上下底面半径的关系，利用勾股定理

II圆台内切球与体积比

求半径，再求体积比。

组合体（棱柱+棱锥）的外由体枳比求出棱锥与棱柱的高相等，利用对称性确定球心位置，列

12

接球半径方程求半径。

利用面面垂直得线面垂直，设未知量表示体积，转化为三角函数或

13直三棱柱体枳的取值范围

二次函数求值域。

建立.空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列

14几何体的外接球表面积

方程求解。

底面三角形面积最大时为等边三角形，利用基本不等式求体积最大

15三棱锥体积最大时的高

值，再求球心到截面距离。

空间距离和的最小值（胡不将目标式转化为点到平面的距离，通过旋转平面构造圻线段，利用

16

归模型）垂线段最短求最小值。

正三棱柱中的线面位置关

17建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行、垂直及面面垂直。

系（多选题）

平行六面体中的线面位置利用向量数量枳求夹角，通过线面垂直判定定理证线面平行，利用

18

与距离（多选题）等体积法求点到平面距离。

正方形垂直平面中的动态建立空间宜角坐标系，利用向量法求异面直线夹角、线面平行及距

19

问题（多选题）离最值。

四棱锥中的动点问题（多选