2026年高考全国2卷数学试题（含解析）

2026年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

2

1.(l-3i)=()

A.-8+6iB.-8-6iC.8+6iD.8-6i

2.三知集合4={0,1,3,6,9},8={.«二工卜

则4[15=()

A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9；D.{0,3,9}

3.三知a+b=1,a-b=V3,则76=()

1

AB.—C._1D._1

-7332

22

4.三知双曲线C；^--^--1(G>0,b>0)过点(1,0)和,3，则双曲线C的渐近线方程是()

a'b~

A.y=±3\/2xB.y=±2\/3x

C，y=±l'XD-y=±TX

5.三知棱台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且.上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为道,

则该棱台的体积为()

1919.19

A.—B.—c.—c19

1264.T

6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成/、4两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有()

A.10种B.12种C.16种D.24种

已知a为第二象限角，且3sin2acosa=8sinacos2a,则“sma

7.)

2-COS6Z

3315

A.B.一CTD.—

4512

3

8.已知函数f(x)为偶函数,且满足〃x)+/(x-2)=o,且当xw—,3时，/(x)=x2-vax+b,则

2

)

A.a=-2»b=-3B.。—2,b=3

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C.a=-4,h=—3D.a=—4,b=3

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分）

9.已知圆O：x2+y2=\,圆4：x2+y2-6x-Sy+k=0,则下列说法正确的是（）

A.点彳的坐标为（-3,-4）

B.%=9时，圆力与x轴相切

C.当〃=一11时，圆4与圆O相切

D.当圆/与圆。相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-4-2=0

10.已知等比数列｛%｝的公比且q>0,2/=q+%，记数列｛凡｝的前〃项和为S“，则（）

12

A.q=——BS〃>~a\

2

D.5,ISI•••1S”>2〃%,

C2S"2=S”+|+S〃2

J

11.已知抛物线E：/=8x,有一斜率为A（〃>0）的直线/过点（TO）,点力在抛物线£上，B,C两点、

在直线/上，且△IBC为等边三角形，则（）

A,抛物线E的准线方程为x=-2

B.当直线/与抛物线£无交点时，k>6

C.若直线/与抛物线后相交于唯一一点“，则抛物线E的焦点在直线上

D.当％=2时，△48C面积的最小值为立

15

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设S”为等差数列｛为｝的前〃项和，若q=-l,4=5,则S,,=.

13.若函数/（X）=2'+22T-〃?有两个零点，则〃，的取值范围是.

14.已知球O的体积为％=4百兀，点4,B,C,。均在球表面上，若.4BC为正三角形,且

DA=DB=DC=>/?.,则S4ABe=•

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四、解答题（本大题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.某工厂抽取•批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

间”与“对应频率”的频率分布宜方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设方为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求p;

（ii）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件,X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数,

若＞〜8（100,p）,求E（X）和。（X）.

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16.如图，在三棱锥力一片。。中，点石在8。上，AELCE,AELDE^CD±AD.

(1)求证：CDJ.4B；

⑵若DE=2,BE=LAE=y[2^CO=2JJ.求直线4。与平面4^。所成角的正弦值.

3,

17.在△NBC中，已知cosB=z，cos2(J+C)+sinJsinC=l.

(1)证明：△48c为钝角三角形；

(2)若△/BC的面积为立，求△ABC的周长.

4

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18.椭圆石：，+/=1过右焦点且与x轴垂直的直线被七截得的长度为也.

(1)求£的离心率.

(2)0为坐标原点，给定点G&,O)&)wO),力国,乂J(%WO)在E上，过点/作V轴的垂线，垂足为

B,AO与GB交于点、P.当力在E上运动时，P的轨迹为

(i)求〃的方程；

(ii)M是否有中心点？当。为何值时，M有中心点？当例有中心点时，平移”到〃'，使。为的

中心点，说明M'的形状.

19.已知函数/(x)=xe'+av+/),曲线歹二/(x)在点(0,/'(0))处的切线为y=-2%+1.

(1)求〃，b；

(2)当X>()时，/(X+〃Z)-/(X)>〃7,求〃?的取值范围；

(3)当x>0时•，/"+〃)+/体一X)>2/(A),求〃的最小值.

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2026年普通高等学校招生全国统一考试

数学解析

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(l-3i)2=()

A.-8+6iB.-8-6iC.8+6iD.8-6i

【答案】B

【解析】

【详解】(l-3i)2=l-6i+(3i)2=l-9-6i=-8-6i

2.三知集合4二{0』,3,6,9},8==则4n8=()

A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9}D.{0,3,9)

【答案】A

【解析】

【详解】由题可得8={0』},所以4c8={0』}

3.三知万+5=1,5—则"行=()

1111

A.-B.-C.一一D,一一

2332

【答案】D

【解析】

【详解】由卜+B卜1,得忖+,=1,

所以卜+5『=1,即彳2+25.B+B2=l：

由=百，得=3,

所以①B)2=3,即/一2不归+庐=3.

两式相减，得42$=-2,

-1

所以6山二一一.

2

22

4.已知双曲线C：.一彳=1(4〉0">0)过点(1,0)和,3,则双曲线C的渐近线方程是()

a~b~

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D.y=±^

A.y=±3x/2xB.y=±2\f5xc-y=±TxX

【答案】B

【解析】

【分析】把点。,0）和,3代入双曲线方程求出。力，再求出渐近线方程即可.

）

【详解】把点（1,0）和fV号7,3,代入双曲线方程可得

4=1

ar

7/二1r_1

；9

/一3=1'b2=\2,

a>O,h>0QO,”

0

所以双曲线方程为/-二二1,

12

故该双曲线渐近线方程为y=±26％.

5.己知楼台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为道,

则该棱台的体积为（）

19191919

A.—B.—C.——D.—

12642

【答案】D

【解析】

【分析1分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.

【详解】由题意，得棱台的上底面面积为2x2x2x2xsin60o=2jL

下底面面积为，

22

2岳j员竽+竽卜百=*2岳3岳竽］x百栏.

所以该棱台的体积为gx

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6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成/、8两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有()

A.10种B.12种C.16种D.24种

【答案】C

【解析】

【分析】对甲、乙两人都在月小组和8小组进行分类，结合计数原理求解即可.

【详解】情况1：甲、乙两人都在月小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在4组，另一个在B组.

若丙在力组，丁在8组：此时力殂已有｛甲，乙，丙｝,还差1人；

8组已有｛丁｝,还差3人，

则从剩余4人中选1人进力组，方案数为C；=4.

若丁在力组，丙在B组：同理，方案数为C；=4.

所以当甲、乙在力组时，方案数为4+4=8种.

情况2：甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在4组的情况与在力组的情况完全一致，

安排丙、丁：同样是丙在4组或丁在彳组两种情况，方案数各为C；=4,

所以当甲、乙在8组时，方案数为4+4=8种.

故所有分配方案共有8+8=16利L

7.已知a为第二象限角，月.3sin2acosa=8sinacos2a,则「sina=()

2-cosa

33।15

A.-B.-C.T-D.—

45212

【答案】C

【解析】

【分析•】利用二倍角公式化简可得3cos2a=4(2COS2Q-1),结合角的范围分别求出cosa,sina即可

求解.

【详解】由3sin2acosa=8sinacos2a,得：6sinacos2«=8sina(cos2«-sin2cr)

因为a是第二象限角，所以sina>0,cos«<0,

化简得：3cos2a=4(2cos26y-1),即cos2a

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7K

由于cose<0,解得：cosa=-----

5

因为sina>0,所以sina=Vl-cos2a=—，

5

1+sin«+.i

所以

2-cosa)J旧2

5

3

8.已知函数/(x)为偶函数，且满足/(x)+/(x-2)=0,且当-,3时，/")=/+公+6,则

乙

()

A.cz=—2,b=—3B.a=—2,b=3

C.a=-4b=-3D.a=-4,6=3

【答案】D

【解析】

【分析】根据/G)+/(x-2)=0推出周期性r=4,分析可得/。.5)=/(2.5),得到。，再由/(-1)=0可

得从

【详解】/a)+/G—2)=o,则/a+2)+/a)=o,

/a+4)=-/a+2)=/a),即/(不)的周期为4,

结合奇偶性,周期性，故/(1.5)=/(-2.5)=/(2.5),

在［1.5,3］上满足/(1.5)=/(2.5),说明f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=2,

则一@二2,解得。=-4,

2

又根据./(4)+-2)=0知/(1)4-/(-I)=0,而/(T)=/(-I),

则/(—1)=0,于是/.⑶=/(-1)=0,

即/(3)=9+3〃+6=9-12+力=0,解得6=3

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分)

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9.已知圆O：x2+y2=],圆力：x2+y2-6x-^y+k=0,则下列说法正确的是（）

A.点4的坐标为（-3,-4）

B.攵二9时，圆/与X轴相切

C.当左=一11时,圆4与圆。相切

D.当圆4与圆O相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y—〃—2=0

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,求出。力的圆心坐标即可判断；

对于B,利用圆心4到x的距离即可判断；

对于C,求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；

对于D,将两个圆的方程相减化简即可求解.

【详解】由。/：x2+y2-6x-^y+k=0,化简可得（x-3『+（y-4『=25-女，

所以％<25,04的圆心43,4）,半径厂二后二不，故A错误；

对干B,由％=9,得。力的半径「二/二万二4,所以圆心片（3,4）到x轴的距离d=4=〃，即04与x轴

相切，故B正确；

对于C,由攵=一11,得0/的半径尸=J市斤=6，由于00的圆心为（0,0），半径/=1,所以

f

\OA\=5=r-rt则。。与。力内切，故C正确；

对于D,由（X?+y?-6x—8y+%）—（/+J?-1）=0,化简得：6x+8y—%—1=0,

所以。。与。4两个交点所在直线的方程为6x+8），一左—1=0,故D错误.

10.已知等比数列｛为｝的公比夕工1,且q>0,2%=%+%，记数列｛%｝的前〃项和为则（）

1<,2

A.g=­B.S>—ci,

2w31

2/7

C.2S”+2=S”+]+S,D.S|+S?+•••+，

【答案】ACD

【解析】

【分析】设等比数列｛/｝的公比为9，根据条件列出关于q的方程，求解可得q的值，判断A；利用特值

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法可判断B；根据等比数列的前〃项和公式，求得S〃x+S”，S“+2,化简可判断C；求出Z

*=i

的取值情况，结合不等式的性质，判断D.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为人则2。/=〃国+q，即q（2g2f_l）=0.

因为q〉0,所以2/—^一1=0,即（2q+l）（q-l）=0.

因为＜7工1,所以q-IwO,所以2〃+1=0,即q=-g，

所以A正确.

!?

因为q〉0,则S2=-q＜一/,所以B错误

23

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/]、〃/[

当〃为奇数时，1-----=14-->0:

I2)[2)

<1Y1(1V门丫1

当〃为偶数时,因为-<-；所以1一一上=1-->->0,

⑴2(2)[2)2

2〃（1Y）n2/767,

所以寸1-6）＞。，咤亍

所以D正确.

11.已知抛物线E：r=8.x,有一斜率为左小＞0）的直线/过点（TO）,点片在抛物线E上，8,。两点

在直线/上，且△/IBC为等边三角形，则（）

A,抛物线E的准线方程为x=-2

B.当直线/与抛物线E无交点时，k＞6

C.若直线7与抛物线E相交于唯一一点B,则抛物线E的焦点在直线ABk

D.当〃=2时，△43。面积的最小值为正

15

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据抛物线方程得夕，进而得出准线方程；B选项，设直线/为＞=%（X+1）,和抛物线

方程联立消去x,令△＜（）求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点“，假设48过焦点，则得

到根据两直线的夹角的公式推出N48C的正切值，从而判断：D选项，可将问题转化为抛物线上一

点到直线的距离最小值来处理.

【详解】A选项，/=Sx=2px,则〃=4,故准线工二—5二—2,A选项正确:

B选项，设直线/为歹=%。+1）,贝ij8y=8西+8,

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联立V=8x得到，@2—8y+8A=0,

直线和抛物线无交点，则A=64-32公<0，

结合〃>0,解得k>亚,B选项正确：

C选项，由联立方程02一8>+8太=0,

若/与E相交于唯一点8,只可能是相切，

则八二64—32左2=0,解得〃=及，

此时、回/一8^+8及=0,解得y=2右，进而得x=l,则B（l,2五），

若,4B过焦点F（如图），由于4（1,2夜），尸（2,0）,%=—2拒，而噎=JL

根据倾斜角的定义，tan/B&=-2jLtan/47/=JL

而/力BC=NBFx-/BPF,此时NABC的正切值为S-五=五工6,

1-4

即/48Cw60°,这与△48C为等边三角形矛盾，C选项错误;

D选项，当攵=2,此时直线方程为歹=2x+2,

设伯］则,的距离为「一+2/।

18Jd=LLF-飞

即等边三角形的高的最小值为4,此时面积S==立，D选项正确.

《52百石15

C选项方法二：求得8（1,2夜），则4>=卜2,-2及），BF=\\-2^2）,

旃.旃_2+卜2旬@工1

则cos/PBF=研网=JR+12拒『小+卜2及「行,5

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则〃“工6(T，抛物线上的焦点不在直线力8匕故C错误.

D选项方法二：/到8c的最小距离可转化为抛物线和8。平行的切线，求得两平行线的距离即可,

由于原c=2,设直线机为歹=2)+2，

联立_/=8x,得到丁2一4了+4〃=0,

由A=0=〃=1,此时直线机为y=2x+l,

由平行线的距离公式可推出/,加直线间距离为5,其余同上.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.设S“为等差数列｛〃”｝的前〃顶和，若6=一1,2=5,则$6=.

【答案】24

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.

【详解】由等差数列通项公式Q“=q+(〃-l)d,

代入的=5,q=-1可得5=-1+[4-1"，解得d=2.

因为。6=q+5d=—l+5x2=9,所以S$=,

故S6=3x(-l+9)=3x8=24.

13.若函数/(》)=2'+22r-〃2有两个零点，则〃7的取值范围是.

【答案】(4,+8)

【解析】

4

(分析】方法一：令z=2"，则2、+2?-x一〃7=0即/+7-〃7=0,『一+4=0(r>0)，转化为一元二次方

程z2-mt+4=0有两个正根的问题.

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方法一：把函数/(工)二2'十2小一加有两个零点转化为力程，+22：-〃?二U有两个实数根的问题，再

转化为2、+22T=册，即函数y=2、+22T与函数y=〃7交点问题

【详解】令/(切=2'+2=一〃7=0,得2、+22、一〃7=0，艮12*+22r=m，

方法一：

4

令1=2'，则2、+22-'—〃7=0，upz+y-w=o,/一〃〃+4=0(/>0),

则一元二次方程/-m/+4=0(/>0)有两个正根，

A=nr-16>0\tn>4或加<-4

那么〈=><=〃？>4,

Z]+G=〃？>0[，〃>0

所以，机的取值范围是(4,+8).

方法二：

44

^g(x)=2K+22-r=2x+—,那么设〃=2'，则g(〃)=〃+—,(〃>0),

Z14

由于g(w)在(0,2)上单调递减，在(2,”)上单调递增，

故g(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且g(l)=4,

根据函数图象可知，函数/(X)有两个零点，则〃?的取值范围是(4,+8).

14.已知球。的体枳为匕=4方冗，点儿R,C/)均在球表面上，若A/AC为正二角形.且

DA=DB=DC=6,则S<8c=

【答案】空

4

【解析】

【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组

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求解.

【详解】由球的体积公式，匕=：兀*=46兀，解得R=6,

设△N4C的外心为〃，连接

由题意知。〃为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心。在。〃上,

不妨设。在线段。，上，连接40,00,4/,

设△力BC的边长为Jit，由正弦定理可得，AH=显=x，

2sin60°

X2+/=3

再设0〃=y,由题知，（2,

x2+（y+V3=2

2

解得＞=--7父（负值表示球心。在线段。〃的延长线上，实际情况如右图）,

所以

3

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

间”与“对应频率”的频率分布直方图：

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(1)求第i四分位数和中位数；

(2)设分为首次故障时间小于365天的概率估计值.

(i)求分：

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件,X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数,

若X〜8(100,p),求E(Y)和。(丫).

【答案】(1)第一四分位数为370,中位数为381；

(2)⑴0.15；(ii)£(X)=15,£>(%)=12.75.

【解析】

【分析】(1)根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；

(2)根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计直，然后利用二项分布的期望和方差求解.

【小问1详解】

由直方图可知，［345,365］的频率为0.015xl0=0.15<0.25,

［345,375］的频率为0.035x10=0.35>0.25,

故第一四分位数在［365,375］上，设为x,则(X-365)x0.02+0.15=0.25,解得x=370；

［345,375］的频率为0.035xl0=0.35<0.5，

［345,385］的频率为0.06x10=0,6>0.5，

故中位数在［375,385］上，设为儿则3—375)x0.025+0.35=0.5,解得y=381.

故第一四分位数为370,中位数为381；

【小问2详解】

由直方图可知，小于？65天的频率为(0.005+0.01)x10=0.15,故力=0.15,

根据二项分布的期望和方差公式，

£1(^)=100x0.15=15,7)(%)=100x0.15x0.85=12.75

16.如图，在三棱锥力-4CO中，点E在8。上，AELCE,AE工DE，CDLAD.

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A

(1)求证：CD工4B；

(2)若DE=2,BE=l,AE=6,CD=2道.求直线4。与平面18。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明：

因为4E_LCE且CECDE=E,且CE,OEu平面BCD,

所以4E_L平面8。。.

因为COu平面8CQ,所以月E_LCQ.

又AD工CD,AEoAD=A,平面480,

4Du平面4BD，CO<Z平面43。，

所以CO_L平面力3。，

故CQ_L48.

⑵如

3

【解析】

【分析】(1)根据题意可得4E_LC。，AD1CD,再结合线面垂直的性质定理证明即可；

(2)法一：建立空间直角坐标系，求解向量力。和平面力8。的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法

二：利用体积法解出设点。到平面力4c的距离为R进而计算线面夹角.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，DE所在直线为x轴，OC所在直线为V粕I,过点。且垂直于平面B。。的直线

为z轴，建立空间直角坐标系，

第18页/共29页

可得。（0,0,0）,C（0,273,0）,£,（2,0,0）,8（3,0,0）.

因为力且4£二夜，所以力（2,0,夜）.

所以赤二卜2,0,_&）,7§=|l,0,-V2）,充=42,2瓜-6）.

,、[n-AB=x-y/lz=0

设平面4BC的法向量而二（x,乂Z）,则｛一厂L

iiAC=-2x+2y/3y-yl2z=0

可得工=/2,令z=2,则：X=20，y=6即万=（2立痴,2）.

设,4。与平面力5c所成的角为〃：

.n\AD^n\|（-2）x2V2+0+（-V2）x2

所以sin，=—,,=]=——/=

四♦同后访海而匚7

6\/2\/6

76x372~3

所以AD与平面48C所成的角为逅

3

法二：在RS4DC1中，AD=JAE?+DE2=J（可+*=瓜，

2

在Rt△力BE中，ABZAE'BE?=+r=x/J，

由（1）知CO_L平面ZOE,则。。1DE,CD1AD.

在RS5OC中，BC=5D2+CD。="十（2叫=&1

22

在RtATlQC中，Ac=yjAD^CD=76+12=372.

•・•AB2+AC?=十p五J=21=,

.•.△48C为直角三角形，则Sif{C=-AB-AC=-xy/3x3>j2=—.

：222

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设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为。,

由^D-ABC=^A-BCD得:

—SAliC,/?=—SRCl)-AE,即'3>/^~.4=L.A..3-2y/3,y/2,

3"伙39323(2)

解得：h=2.

所以sin6=4-=，-=Y^.

ADJ63

3)

17.在△力BC中，已知cos8=w，cos2(J+C)+sinJsinC=l.

(1)证明：△NBC为钝角三角形；

(2)若△44。的面积为立，求△ABC的周长.

4

3

【答案】(1)证明：由/十3十。=兀，贝Ucos(/iC)=cosB=,

4

,97

又cos2(/+C)+sin/sinC=l,得记+sinZsinC=1,则sin/sinC=记，

3

由两角和的余弦公式，cos(J+C)=cosJcosC-sinJsinC=——，

4

结合sin/sinC=上-可知cos4cosc=--—<0,

1616

则cos4cosc异号，必然一个为负，一个为正.

又儿Ce(0,7t),即4c中必有一个是钝角;

⑵3+V2

【解析】

7

【分析】(1)cos(A+C)=-cosB,结合题设得出sin力sinC=一,然后由两角和的余弦展开得到

16

cosAcosC<0,进而得解；

(2)先推出三角形面积公式的变形式S“BC=2火2sin/lsin8sinC,解得我,由正弦定理进而得出/),然

后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

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方法一：由正弦定理和三角形的面积公式,

2

3AABC=—absinC=—(2/?sin力)(2/?sin.5)sinC=2Rsin/lsin^sinC

（R是SBC外接圆半径）

又sinZsinC二二，sin5=Jl-f-Y=—，则且=2/??•也，解得R=

16丫⑷44647

又sinB=J，则b=2Rsin〃=e，

4

,3

由氽弦定理〃=a2+c2-2accosB，即/+c2~—ac=2,

2

又LacshxB=^-ac=^-，则〃c=2,

284

3

于是/+。2—ac=2,即/+02=5，

2

(6/+c)2=a2+2ac+c2=9»解得Q+C=3,

I*IABC周长为(c/+c)+=34\/2.

方法二：由852(4+。)+5[1145亩。=1,则cosz8+sin/sinC=l，

即sin^sinC=1-cos2B=sin?B，

由正弦定理可得，ac=b2,

由三角形面积公式，S.RC=—acsin5=—acx^-=»

—2244

得到QC=2,则力=也，其余同上.

2

18.椭圆E：「+/=1过右焦点且与x轴垂直的直线被上截得的长度为

cr

（1）求E的离心率.

（2）0为坐标原点，给定点G（4,0）&H0）,/（玉,/°）（为=0）在上上，过点［作y轴的垂线，垂足为

B,40与GB交于点P.当幺在E上运动时，尸的轨迹为M.

（i）求M的方程：

（ii）M是否有中心点？当为何值时，〃有中心点？当又有中心点时，平移M到使。为的

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中心点，说明AT的形状.

【答案】（1）旦

2

（\\\2

（2）（i）"的方程为x2+/+-x-l=0（y^0）；

、2，oJ，（）

（ii）,当。=±夜时，轨迹M无中心点；

当九士士正时，M有中心点（一等4,0）：

当匐>正时，M'形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与％轴交点，

当0<|时，M'形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与x轴交点.

【解析】

【分析】（1）利用过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为收，通过求出坐标解出线段的长，求得

凡儿。再求出离心率;

（2）⑴通过联立方程求出点尸的坐标，再反解出点力的坐标代入椭圆方程，从而求出，的轨迹M的方程:

（ii）先对曲线方程配方，再讨论。在不同取值时，中心存在的情况：再通过平移规律求出M'的方程,

再讨论不同情况卜的形状.

【小问1详解】

设椭圆1+/=1的右焦点为（c,0），其中°•二

a

那么过右焦点且垂直于X轴的直线为x=c,代入椭圆得

I,

所以八土丁由于截线段长为片友‘解得

c1x/2

故c=VI=T=i，离心率e=—==—.

ay/22

【小问2详解】

（i）方法一：

由⑴知椭圆方程为y+/=l,由于点力（%,凡）满足苧+立=1，且”工°，过4作）'轴的垂线，交

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y轴于点6（0,%）,

那么当“％=0时，点4（°，±1），点P与点力（°，±1）重合;

当工0工0时，直线40方程为：y=%"X，直线GB方程为：—=1,

加环为

即）,=一%+比

%

_工0’0

%比XAY-

%x°+z0即点pxJo

联立〈，解得（为00）,

x+

y=一%+汽=jVo1%+玲o*o；

,0Xo+Z。

定0

工0+4L-X,\

设P（x,y）,则由《n4（0）

y=^L_k^'

歹。=

“0+104-x

代入椭圆方程［■+"咤闾+&2/2

*0

=1,即――]+,、，

J。」2/7）（G-X）

得二+/=纥立

两边乘以

2-彳

整理得—x-+/+-x-l=0,

（2

o7I。

把点尸（0,±1）代入，仍然成立,

［］）2

故轨迹用的方程为---2x2+y2+—x-l=0（y^0）；

、2。J，o

方法二：

由于G&,O）&HO）,点A在y轴，故直线G8必有斜率;

设直线G5方程为歹=找工一马），P（w,v）,那么点B（o,—h。）,

由于轴，则为二一打,，

由干点尸,。,4三点共线，则加"况=/酎=一股0〃,

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X=上

0仔〃

xov=-kt{/i

因为点尸在直线G8上，所以，/\—{

v=k(u-t0)

yQ=一/=-=-^―(v/0)

把,4(%,%)代入椭圆E方程：王+j，；=l,得+[上2-1=1，即