2026年高考数学复习重难点03 指、对、幂数比较大小问题（学生版+解析）

重难点03指、对、寨数比较大小问题(举一反三专项训练)

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用函数的单调性比较大小】.............................................................2

【题型2中间值法比较大小】.....................................................................2

【题型3特殊值法比较大小】.....................................................................3

【题型4作差法、作商法比较大小】..............................................................3

【题型5构造函数法比较大小】..................................................................3

【题型6数形结合法比较大小】..................................................................4

【题型7利用基本不等式比较大小】..............................................................4

【题型8放缩法比较大小】.......................................................................5

【题型9利用函数的综合性质比较大小】..........................................................5

命题规律

1、指、对、塞数的大小比较问题

指数与对数是高中数学的一个重要的知识点，从近几年的高考情况来看，指、对、幕数的大小比较是

高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要涉及指数与对数的互化、指数与对数的运算性质，以

及指数函数、对数函数和需函数的性质等知识，一般以选择题或填空题的形式考查，难度不大.这类问题的

主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活求解.

知识点指、对、器数比较大小的一般方法

1.单调性法：当两个数都是指数辕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或耗函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同,指数不同时,如/和(产，利用指数函数)，=，的单调性；

②指数相同,底数不同时,如k和月，利用鼎函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同,真数不同时,如1。瓦耳和1股,与，利用指数函数log.x单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它

能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法；

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使川二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律,很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律,

所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数：

(2)指数和恭函数结合来放缩：

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

举一反三

【题型1利用函数的单调性比较大小】

54

【例1】（2025・天津・二模）已知a=4.545,b=5.4-,c=log4.55.4,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【变式（2025♦北京•三模）已知。=10821.5,6=："=6）”,则下面结论正确的是（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

068

【变式1-2]（2025•河北石家庄•三模）已知Q=2,b=0.5°,c=log20.9,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

C02

【变式1-3]（2025.陕西咸阳.模拟预测）若"0.5。%b=O.4,c=51og3O2,则（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（2025•福建漳州•模拟预测）若Q=202402025,d=log2O24^,。=sin表，则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【变式2-1]（2025・天津•二模）设a=3一°」，b=log?5,c=log^2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

12

【变式2-2】（2025•天津・一模）若a=1.203,=0.3,c=log30.3,则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【变式2-3]（2025•河北秦皇岛•二模）已知Q=log2678,b=1.25%c=log918,则a,瓦c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【题型3特殊值法比较大小】

【例31（2025・陕西商洛•模拟预测）设a=logo,gO.6,b=O.49-03,c=O.6-06,则a,b,c的大小关系是（

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【变式3-1]（2025•西藏林芝•模拟预测）已知无二ln3,y=logs则（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【变式3-2]（2025•天津红桥•二模）若Q=（|京b=k）g/，c=贝ij。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【变式3-3]（2025•江西赣州•一模）已知75>23?,记a=log73,b=logu5»c=log237,则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】（2025•广东•模拟预测）已知a=log84,b=log（）.406c=log32,则（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

1

【变式4-1]（24-25高三上•四川绢阳•阶段练习）已知Q=G）-*b=lg4,c=log32,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【变式4-2]（2025.浙江金华•二模）已知a=\og32,b=log54,c=log98»贝l]（）

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

【变式4-3]（2024・湖南岳阳•二模）设a=log??,b=log35,c=log58,M（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】（2025•陕西汉中•二模）若a=>g914,b=lgl5,c=21ogii%则（）

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

【变式5-1]（2025•山西临汾・二模）设Q=ln0.9,b=—，c=e09,则（）

A.c>a>hB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【变式5-2]（2025•辽宁•二模）已知a=31nl.5,b=5，c=-,则（）

3

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【变式5-3]（2025•河南•模拟预测）已知a=e«,b=K，c=1+lnS则a,b,c的大小关系是（）

lo35

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【题型6数形结合法比较大小】

【例6】（2025•湖北荆州•模拟预测）已知alogz。=blnb=clog3c>0,则正数a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【变式6-1]（2025•湖北黄冈・模拟预测）若a=k）gs。5b=5-叱c=logs,50.5,则（）

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【变式6-2]（2024•河南•模拟预测）已知a=ln;r,b=log?%,。=赤皿2,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式6-3]（2024•广东茂名•统考一模）已知x,y,z均为大于。的实数，且2"=3,=logsZ,贝!x,y,z大小关

系正确的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【题型7利用基本不等式比较大小】

【例7】（2025•广东广州・一模）已知Q=j3b=5,5。=8,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【变式7-1]（2025•北京海淀•一模）已知四个数Q=上产，1=Jig211g5,c=lg2,d=lg5,其中最小的

是（）

A.aB.b

C.cD.d

【变式7-2]（2025•云南•一-模）已知Q=log32,b=log53,c=log85,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【变式7-3]（2025・陕西西安•模拟预测）若a=0.31i・5,b=log312,c=log26,d=q1,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2025•甘肃白银•三模）若a=k）g53,b=log5（）18,c=lg6,则（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【变式8-1]（2025•天津南开•二模）已知a=log?应=log&3,c=2与，则（）.

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【变式8-2]（2025•四川乐山•三模）若a=log32,b=log43,c=『2,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<h<aD.c<a<b

【变式8-3]（2025•全国•模拟预测）已知a=m-a7,b=6：c=logs3—：log35,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【题型9利用函数的综合性质比较大小】

【例9】（2025•陕西商洛•三模）已知/（%）是偶函数，且"%）在（-8,0］上单调递增，则（）

A./（Iogi3）>/（1）01

>/（O.901）B./（Iogi3）>/（0.9）>/（|）

D./（0.9。［）>/修）>/（1翼3）

【变式9-1］（2025・湖北・一模）已知奇函数/（%）在区上是增函数，9。）=力（%）.若。=9（-1。825.1）2=9（2。8）,

c=g（3），则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

【变式9-2］（2025•全国•模拟预测）已知函数fa）=2|x+m|+log3a+m）2.若/Q+1）为倡函数，Q=

f=/（V?）,c=/（吗），则（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【变式9-3］（2025•天津红桥•二模）已知/X%）是定义在区上的偶函数且在［0,+8）上为减函数，若a=/（logp）,

b=f（0.9】i）,C=/（0.912）,则（）

A.c>b>aB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

过关测试

—•、单选题

1.（2025・天津南开•模拟预测）若2。=3=108勤9,c=e呜，如实数a、氏c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.（2025•河南许昌•模拟预测）已知。=3脸3£b=9iog163.3t。二白脸。^,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

07a3

3.（2025•山东泰安・模拟预测）a=0.3^=0.7,c=log0.70.3,则a,瓦c的大小关系为（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

4.（2025•海南•模拟预测）若x==k»g54,z=cos2,贝k,y,z的大小关系为（）

A.z<x<yB.y<x<z

C.y<z<xD.z<y<x

|x|

5.（2025•天津武清•模拟预测）已知定义在R上的函数/'（%）=x-e,a=/'（log?遍），b=-f（log3^）,

c=/（ln3）,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>h>cD.c>a>b

6.（2025•重庆•三模）已知函数y=f（无+1）是R上的偶函数，对任意与,小€口，+8）,且勺工小都有

八？誓）>0,若Q=/（k）g36）,b=f（l咤），c=/（e竽），则a,4c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

-1

7.（2025•甘肃白银•模拟预测）已知a=log?%b=logu7,c=zr,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

1

8.（2025•天津•一模）已知Q=log3*,b=log面3,c=（J,则（）

A.b>c>aB.c>h>aC.a>c>bD.a>b>c

二、多选题

9.（2025•河北保定•一模）下列不等式成立的有（）

0203

A.log030.2>log020.3B.O.3->O.2

0Z03

C.log30.2<log20.2D.3<2

10.(2025•广西柳州•模拟预测)已知x,yWR,15X=3,15V=5,则()

A.y>%B.x+y>1

C.xy<D.Vx+y/y<V2

11.（2025•甘肃庆阳•模拟预测）己知非零实数％y满足宁〉x-y,则下列不等式一定成立的有（）

33

A.y>xB.log3|y-x|>0

C.->->0D.20252y+1>20252X+1

xy

三、填空题

12.（2025•北京通州•三模）已知。=2-1,，b=logi1,c=log23,则三者大小关系为______（按从小到

43

大顺序）

13.（24-25高一上•全国•课前预习）已知a=log092025,1=2024。，,c=log20252024,比好a,b,c的

大小关系：.

03

14.（2025•甘肃金昌・模拟预测）已知/（%）=cosy,a=log22025,b=1,c=O.2,,则/（a）,f（b）,/（c）的

大小关系为.（均用。”连接）

四、解答题

15.（24-25高一上•全国•课前预习）比较下列各组数的大小.

（l）log2Trhjlog20.9：

（2）log20.3^1og0.20.3；

（3）*6,0.76与6。乙

16.(24-25高一上•全国•课前预习)比较下列各组值的大小.

(l)log3TT,log20.8；

09

(2)1.1-,logi.iO.9,log0.70.8：

(3)log53,log63,log73.

17.（23-24高一・上海•课堂例题）比较下列各题中两个数的大小:

⑴0.1°7与0.2%

⑵0.7°i与0.7°2；

（3）bgo.70，与logo.702

18.（24-25高一•全国•随堂练习）已知％=Irm,y=log52,z=

（1）比较x,y的大小;

（2）比较y,z的大小.

19.（2025高三・全国•专题练习）已知a,b均为正实数，且aW1.

⑴比较范+—与：+*的大小；

(2)比较10ga(b3+1)和loga(炉+1)的大小.

重难点03指、对、蹲数比较大小问题(举一反三专项训练)

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用函数的单调性比较大小】.............................................................2

【题型2中间值法比较大小】.....................................................................2

【题型3特殊值法比较大小】.....................................................................3

【题型4作差法、作商法比较大小】..............................................................3

【题型5构造函数法比较大小】..................................................................3

【题型6数形结合法比较大小】..................................................................4

【题型7利用基本不等式比较大小】..............................................................4

【题型8放缩法比较大小】.......................................................................5

【题型9利用函数的综合性质比较大小】..........................................................5

命题规律

1、指、对、塞数的大小比较问题

指数与对数是高中数学的一个重要的知识点，从近几年的高考情况来看，指、对、幕数的大小比较是

高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要涉及指数与对数的互化、指数与对数的运算性质，以

及指数函数、对数函数和寻函数的性质等知识，一般以选择题或填空题的形式考查，难度不大.这类问题的

主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活求解.

知识点指、对、扇数比较大小的一般方法

1.单调性法：当两个数都是指数事或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或事函数的函数值，

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数想圆，指数不同时,如/和，产，利用指数函数)=，的单调性；

②指数相同,底数不同时,如k和月，利用鼎函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同,真数不同时,如10gti内和log”与，利用指数函数单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它

能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律,

所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数：

(2)有数和辕函数结合来放缩：

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

举一反三

【题型1利用函数的单调性比较大小】

54

【例1】(2025・天津•二模)已知a=4.54巴b=5.4-,c=log4.55.4,则a,b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解题思路】利用指、对、哥的单调性比较大小即可.

【解答过程】•,ey=4.5%是增函数，4.5<a=4.54,5<4.554,

y=%5.4在(0,+8)是增函数，b=5.4,4>4.5S4,故8>4.5,

y=log4.s%在(。，+8)是增函数，c=Iog4f5.4V2V4.5,

即c<a<b,

故选：D.

【变式1-1](2025•北京•三模)已知。=1。821.5,6=3"=@)'5,则下面结论正确的是()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解题思路】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得cvbva,即可得解.

【解答过程】根据题意，a=log21.5>log2V2=1=b,

所以c<匕<a.

故选：C.

8

【变式1-2](2025•河北石家庄•三模)已知a=2°4b=0.5°,c=log20.9,则a,Pc的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解题思路】依据y=log2%，y=2X,y=0.5%的单调性比较a,Z?,c与0,1的大小关系即可.

【解答过程】因为y=log2》单调递增,所以c=log20.9<log2l=0,

因为y=2、单调递增，所以Q=20-6>2°=1,

因为y=0.54单调递减，所以b=0.5"<0.5°=1,且匕>0

所以Q>b>c,

故选：D.

C02

【变式1-3](2025・陕西咸阳・模拟预测)若a=0.50°i,/?=O.4,c=51og302,则()

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【解题思路】根据塞函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.

【解答过程】因为函数y=”02在]0,+8)上单调递增，y=log3o%在(0,+8)上单调递增，

y=0.5"在(0,+8)上单调递减，

所以b=O.4002<O.5002<O,5001=a<1,

c=51og302=log302s_)Og3032>log3030=1,所以b<a<c.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】(2025•福建漳州•模拟预测)若a=2024°zo25,b=log2024c=则(■

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解题思路】通过中间值0,1即可比较大小.

【解答过程】易知Q=2O2402025>2024°=1,

力=1°g2024^^V1°g20241=°，

0<c=sin—<1,

2025

所以Q>C>b,

故选；c.

【变式2-1］（2025・天津・二模）设a=310,,b=log35,c=log^2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【解题思路】通过中间值1,和对数函数的单调性即可判断.

【解答过程】a=3-01<3°=1,

b=log35>log33=1,

C=log62=log34>log33=1,

再结合y=log3》的单调性可知：log35>log34,即b>c,

所以aVcVb,

故选：D.

12

【变式2-2］（2025・天津•一模）若a=2.2'3,b=0.3,c=log30.3,UW（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解题思路】根据指对数和中间值1和。比较大小，即可判断.

0312

【解答过程】a=1.2>1,d=0.3€（0,1）,c=log30.3<0,

所以C<匕<Q.

故选:A.

09

【变式2-3］（2025•河北秦皇岛•二模）已知a=log2678,b=1.25,c=log918,则a,4c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解题思路】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案.

【解答过程】由题a=log26（3x26）=log263+1>log273+1=1+%

c-log（2x9）=1+log2<1+log2-1+；,且c=1+log2>1+log2=1+；,

998■59i6*r

b=1.2509<1,251=1+

4

综上，b<l+-<c<l+-<a,即Q>c>匕.

43

故选:B.

【题型3特殊值法比较大小】

-03-06

[例3]（2025•陕西商洛•模拟预测）设a=log0.50.6,b=O.49,c=O.6,则a,b,c的大小关系是（

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解题思路】利用塞函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=10go.5%在+8）上单调递减，所以logos1<logofU.6<log0.50.5,即U<a<1.

因为y=%。-6在（0,+8）上单调递增，又0.49-63=0.7-86=（^）"，0.6~°-6=C）*

又所以故所以C>b>a.

故选：A.

【变式3-1]（2025•西藏林芝•模拟预测）已知x=ln3,y=logs号,z=eR,贝1J（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【解题思路】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.

[解答过程】依题意，x=ln3>l,y=log5y<log5V5=而2==白>洱z<1,

所以yVzV工

故选：D.

【变式3-2]（2025•天津红桥•二模）若。=（犷，b=logi|»c=3一，，则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用塞函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.

【解答过程】b=logi|>嗝=1,a=（翡=吗）珀=（髓>端向=（1）*=c,而a=（芋<1,

所以4,C的大小关系为b>Q>C.

故选:C.

【变式3-3]（2025•江西赣州•一模）已知7'>233,记。=log??,b=loglt5>c=log237,则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解题思路】利用指数和对数运算，先估算出C6(|,|)的取值范围，再用对数运算来估算Q<,叱>|,即

可得到判断.

【解答过程】由换底公式等价变形得：a=log3,d=log5,c=log7=

7n231。87已J

3

因为75>233,两边取以7为底的对数可得：5>Iog723=31og723=>log723<

22

又因为73=343<529=23,两边取以7为底的对数可得；3<log723=21og723=log723>

可知C

log723\53/

32

由3b=310gli5=logiiS=logiJ25>logn121=logull=2,可得b>j

53

由5a=51og73=log73=log7243<log7343=log77=3,可得a<

从而可得QVcVb,

故选：C.

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】(2025•广东•模拟预测)已知Q=logg/b=log()40.6,c=log32,则()

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】R

【解题思路】利用作差法与对数的运算性质即可判断.

【解答过程】由于a=log84=log?322=(又23<3?,贝ij2V3?,c=log??Vlog33§=|=Q,即cVa.

22

由于j=1强2嗝2喧一髭=Ig3-lg5Ig2=lg3-lg31g5-»g2-Hg21g5

Ig2-lg5一而一(Ig2-lg5)lg3

)

(ig3-lg2)(lg3+lg2-lg5<0=>Z?<c,则b<c<a.

(Ig2-lg5)lg3

故选：B.

1

【变式4-1](24-25高三上•四川绢阳•阶段练习)已知Q=(|)飞，b=lg4,c=log32,贝U()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性，则a>1,/)<1,c<l,再利用作商得3<1，可得a>c>b.

【解答过程】Q>G)=1,0=Igl<lg4<IglO=1,0=log3l<log32<log33=l,O<b<l,O<c<

又c=^2=督=21g3=lg9<IglO=1,/.b<c,-.a>c>b.

故选：B.

【变式4-2](2025•浙江金华•二模)已知Q=log32,b=log54,c=log98,则()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【解题思路】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】由题意可知，0VQ<1,0VbV1,0Vc<1.

Ma=log32=!g2lg5=lg2jg1=jg1=lg5所以Q<4

blogs4Ig3lg4lg321g221g3lg9mu.

则2=.=粤=警X平二等=器VI,所以bVC

Clog98lg5lg8lg53lg231g5lgl25

所以Q<bVC.

故选：D.

【变式4-3](2024•湖南岳阳•二模)设a=log23,b=log35,c=logs8,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解题思路】根据指数函数性质得出ab<kc<§然后利用作差法比较b与c的大小关系即可.

【解答过程】因为32>23,所以脸32>唾223,BP210g23>3,所以1(^3>支即。冶；

因为5?V33,所以log35?vlog???,即210g35V3,所以log35<g,即bv|：

因为82<53,所以Iogs82vIog553,即210g58<3,所以log58Vl即c<去

l-logQlogsb

又因为b-c=log35-logs8=-log58=

•og53

且2Jlogs3,脸8<log53+log58=log524<log525=2,

所以log5310g58V1,所以b-c>0,所以b>c；

综上所述，a>b>c.

故选：A.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(2025陕西汉中・二模)若。=)8914,6=/15。=210曲14,贝1」()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】C

【解题思路】先由对数的运算性质变形a,Ac,再构造函数/(幻=嘿&(工之9),然后求导分析单调性即可.

【解答过程】a-In-l4,b,=-)-nl5,c=l.ogu16,=■I—nl6

ln9InlOInll

构造函数/•(%)=嘿及。工9),则/(X)=xlnx-(x+5)ln(x+5)

x(x+5)(lnx)2

易证函数y=xlnx(x>9)为增函数,

(/=Inx+l,x>0,令y=0n%=[所以%€(£,1)时,y为增函数.)

所以；dnx—(x+5)ln(x+5)V0Q之9),所以可(冗)V0,所以f(9)>f(10)>BPa>b>c.

故选:C.

【变式5-1](2025•山西临汾・二模)设a=ln0.9,6=-，c=e°9,则()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解题思路】构造函数/(幻=10:-％+1,求导可证明|11%43-1,即可求解。>匕，进而根据指数以及对数

的性质求解.

【解答过程】记f(x)=Inx-x+1,则f'(x)=：-1=

故当0cxVI时，广(%)=?>0,故f(%)在(0,1)单调递增,

当%>1时，f(x)=^<0,故/(%)在(1,+8)单调递减，

故/(%)=lnx-x+1Wf(l)=0,因此对任意的x>0,都有InxWx-l,

当且仅当x=1时取到等号，

故故-In2VL=ln0.9>-L故a>b,

991099

由Ta=ln0.9<0,h=一g<0,c=e0,9>0,因此c>a>b,

故选:A.

【变式5-2](2025•辽宁•二模)已知a=31nl.5,b=etc=则()

A.b>a>cB.h>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解题思路】由b-Q=3-：)],构造函数/(x)=xe"+ln(l-x),0<xVL利用导数分析其

单调性，可得函数/'(x)在(0,迎一1)上单调递增，结合/'(())=0可得进而得到b>a,再通过比

较护和c3的大小得到c>b,进而得出选项.

【解答过程】b—a=e3—31nl.5=3(g®一Ing)=3好出+In(1—，)],

设/(x)=xex+ln(l-x),0<x<1,

W，(x)=(x+l)e"+^=

设A(x)=(7—l)ex+1,0<x<1,则"(%)=(x2+2x—l)e3

令//(%)<0,得0<%<遮一1,

所以函数h(均在(0,或一1)上单调递减，又九(0)=0,

所以当不€(0,a-1)时，h(x)<0,则尸(外>0,

此时函数/(%)在(0,或一1)上单调递增，又/'(())=0,

所以/(3>0，则b—a=3慨3+In(1->0,即b>a；

Xfc3=e<3,炭=(I)=翳>3,则c>b,

所以c>b>a.

故选：D.

【变式5-3](2025•河南•模拟预测)已知a=e,b=Sc=l+ln9则a,hc的大小关系是()

1835

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解题思路】根据a=£,b=：：式子结构特征构造函数=1,利用单调性列断可得avb,再令

lo

g(x)=lna+l)—奇，工>0,求导判断出单调性可得c>5,即可求得结果.

【解答过程】由。二/力=骂可构造函数/(%)=眇-%-1,

则广(%)=铲-1,令/(%)=0,解得1=0,

因此可得当口W(0,+8)时,/'(%)>0,即f(%)在(0,+8)上单调递增,

当天6(—8,0)时，/a)vo,即/(X)在(一8,0)上单调递减，

可知/(外在％=0处取得极小值，也是最小值，所以/(%)工/(0)=0,

即e*2%+1,故0-方>—%+1,即=:>1—x

当。时，有士，所以就〈e=热可得”b；

令gO)=ln(x+1)--,x>0,

则/⑴=k耐于=(*+1)(>2户>°

故e(x)在(o,+8)上单调递增,

可得g(x)>g(o)=o，即in(x+i)>^，

取x二总则】n(卷+1)>与点=M所以1+1嗤>1+2=蒋,可得c>8；

35

综上可得，aVbVc.

故选：A.

【题型6数形结合法比较大小】

[例6](2025•湖北荆州•模拟预测)已知alog2a=b\nb=clog3c>0,则正数a,b,c的大小关系为(

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解题思路】通过将己知等式变形得到关于工、氏c的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标,

最后通过比较函数图像交点的位置来确定a、b、c的大小关系.

【解答过程】设alogzQ=blnb=dog3C=k>0,由此log?。=%ln/?=,』og3c=£,

a,力,c分别为方程log2X=plnx=plog3x=g的解，在同一坐标系作函数y=:的图像，

分别与函数y=log2x,y=\nx,y=log?%的图像分别交于4B,C,其横坐标分别为a,b,c,

由图可知QVb<c.

故选:A.

【变式6-1](2