2026年中考数学：特殊平行四边形-矩形（知识解读+例题讲义）解析版

第23讲特殊平行四边形-矩形

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知识点1：矩形的性质

知识点2：矩形的判定

M知识梳理一.

知识点1:矩形的性质

(1)性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的

性质：

①边的性质：对边平行且相等.

②角的性质：四个角都是直角.

③对角线性质：对角线互相平分且相等.

④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形.

宜角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

直角三角形中，30。角所对的边等于斜边的一半.

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推

得.

知识点2；矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

判定②：对角线相等的平行四边形是矩形.

判定③：有三个角是直角的四边形是矩形.

FT题型精讲「.寺

【题型01利用矩形的性质求角度】

【典例1】(2025•江苏无锡,二模)如图，矩形/1BCD的对角线力C、BD交于点0,若

LDOC=120°,贝IJ4ABO等于()

DC

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.根

据矩形的性质即可求解.

【详解】解：•,•矩形4BCD,

二OA=OB,

♦••乙408=4。0。=120。，

180。-4/。8180。―120。

LABO=22=30°.

故选：D.

【变式1】（24-25九年级上•山西晋中•期末）如图，四边形48CD是矩形，对角线AC,BD相

交于点0,过点。作8。的垂线交BC于点凡若4。89二28。，则，尸。C的度数为（）

A.24°B.28°C.34°D.36°

【答案】C

【分析1本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得

BO=OC,则NOCB=乙OBF=28。/8。（？=124°,再结合过点。作80的垂线交BCF点

F,得出48。F=90。，最后进行角的运算，即可作答.

【详解】解：•.•四边形ABC0是矩形，

:.BO=qBD==OC,

Z.OCB=Z.OBF=28°,/BOC=180°-28°-28°=124°,

•••过点。作8D的垂线交BC于点F,

:'乙BOF=90°,

.%Z.FOC=124°-90°=34°,

故选：C.

【变式2】（2025•辽宁辽阳•一模）如图，在矩形A8C。的边BC上方作等边三角形E8G连接

AE,DE,若AABE是以BE为底边的等腰三角形，则4以4。的度数为（）

E

A.15°B.20°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角

和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先由矩形的性质以及等边三角形的性质

得乙4BE=30。，结合△4BE是以BE为底边的等腰三角形，得乙4E8=乙/lBE=30。，运

用三角形内角和性质得120。，即可作答.

【详解】解：••・在矩形A8CD的边8c上方作等边三角形E8C,

=/.ABC=90%乙EBC=60°,

则乙48E=30°,

•••△ABE是以BE为底边的等腰三角形，

：.£.AEB=Z.ABE=30°,

^UBAE=180°-30°-30°=120°,

：/EAD=NB4E-90°=30°,

故选：C.

【变式3】（23-24九年级上•重庆沙坪坝•月考）在矩形48co中，对角线4C,8。相交于点

【答案】B

【分析】此题考查矩形的性质.根据矩形的性质得出。4=。。，进而利用角平分线的定

义和等腰三角形的性质解答即可.

【详解】解：•••四边形A8CD是矩形，

.•"A。=90。，OA=O。,

•.NBHO的角平分线交BC于点E,

'.Z.EAD=-^Z-BAD=TX90°=45°,

,:(AOB=a,

：.^AOD=180。一4408=180。-a,

,-OA=OD,

-Z.OAE=Z.EAD-Z.OAD=45°—za.

故选：B.

【题型02利用矩形的性质求线段长】

【典例2】（2025•陕西西安•一模）如图，在矩形48CD中，对角线AC,8。相交于点。，点E为

边BC的中点，连接OE,交力C于点心连接OE,若OF=2cm,则AC的长是（）

A.12cmB.15cmC.10cmD.9cm

【答案】A

【分析1本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，先根

据矩形的性质得到0E是△BCD的中位线，即可得到0EIICD,若另，即可得到

△OEFCDF,根据对应边成比例求出FC的长解答即可.

【详解】解：必3。。是矩形，

:.BO=。0,AC=2OC,

乂•••点E是BC的中点，

•••0E是△BCD的中位线，

OE1

'-0EIICD,cD=2f

'-Z.OED=乙CDE,Z-EOC=乙OCD，

△OEFCDF,

OFOEI

：，~FC=而=不

-FC=20F=4cm,

••.OC=FC+OF=6cm,

-AC=2OC=12cm,

故选：A.

【变式1】（2025•辽宁•中考真题）如图，在矩形中，点E在边4。上，BE=BC,连接

CE,若48=3,4E=4,贝1JCE的长为（）

A.1B.5C.272D.x/10

【答案】D

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的

关键，勾股定理求出BE的长，进而得到BC的长，推出力。的长，进而求出£）£的长，再利

用勾股定理求出CE的长即可.

【详解】解：•••矩形曲C。，

：.Z.A=ZD=90°,AD=BC,CD=AB=3,

:.BE=yiAE2+AB2=5,

•BC=BE=5,

•••/ID=5,

：.DE=AD-AE=1,

：.CE=JCD2+DE2=x/lO：

故选D.

【变式2】（2025•四川・中考真题）如图，在矩形4BG）中，对角线4C,BO相交于点O

,/-AOB=60°,AB=4,则4c的长为.

【答案】8

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断△力08是

等边三角形是解题的关键.

根据矩形的对角线互相平分且相等，可知。力=OB=OC=OD,然后由N力。8=60。可

得△力OB为等边三角形，然后可求得力C=24&进而即可求解

【详解】•••四边形ABCD为矩形，

•••。4=OC.OB=OD,且4c=BD,

•■OA=OB,

又"AOB=60°,

.♦・△40B为等边三角形，

■■OA=AB=4,

■■AC=2OA=8.

故答案为：8.

【变式3】（2025•江苏徐州•中考真题）如图，E,F,G,"分别为矩形ABC。各边的中

点.若48=3,FC=4,则四边形"GH的周长为.

【答案】10

【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明

3工

/.A=/.B=Z,C=/.D=90°,AH=DH=BF=CF=2,AE=BE=DG=CG=个再

进一步利用勾股定理计算即可.

【详解】解：•.•矩形/BCD,AB=3,BC=4,

•-AB=CD=3»AD=BC=4,Z.A=Z.B=Z.C=Z.D=90°,

•・•£F,G,〃分别是矩形A8CD各边的中点,

3

AH=DH=BF=CF=2,AE=BE=DG=CG=《.

:.EH=+力”2==I，

5

同理可得：E/7=FG=HG=g,

••.四边形的周长为4xf=10；

故答案为：10

【题型03利用矩形的性质求面积】

【典例3】（2025・湖北•中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2,〃?，则这个矩形的面积

是.

【答案】2m

【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长X宽即可

解答.

【详解】解：根据题意可得矩形的面积是2m,

故答案为：2m.

【变式1】（2025•陕西咸阳•三模）如图，矩形48C0的对角线4。、BO相交于点。，点M为。。

的中点，连接/“，若/8=4,BC=6,则△/。”的面积为（）

【答案】A

【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形A8CD的面积为

4x6=24,得到So。。=[s%形A8CD=6,进而求解即可.

【详解】•••矩形ABC。，AB=4tBC=6,

矩形ABCO的面枳为4x6=24,

•'•5△4。。=矩形48CD=6,

•••点M为。。的中点,

'SaAOM=5s△A。。=3.

故选：A.

【变式2】（2025•浙江宁波•一模）已知矩形4BCD的顶点B,C在半径为5的半圆。上，顶点

4。在直径EF上.若EO=2,则矩形力BCD的面积等于（）

DO

A.22B.23C.24D.25

【答案】C

【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关

概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.

连接。GOB,可由勾股定理求得CD=JCO?一。=%再证明RtZXCOO三Rt/XRAO,

则40=。。=3,那么710=6,即可求解矩形面积.

【详解】解：连接。&。8,则0C=0E=5,

DOA

•；ED=2,

••・00=3.

•.,矩形/BCD.

：/CDO=Z.BAO=90°,CD=AB,

:.CD=y/cO2-DO2=4

-0C=0B,

•••Rt△CDO=Rt△BAO,

>'AO=DO=3,

•-AD=6.

.JUI'BC。的面积为4X6=24,

故选：C.

【变式3】（2024•山东聊城•二模）如图，在矩形ABC。中、AE1BD,垂足为E,

/.DAE=2LBAE,若B£=2,则矩形A8C0的面积为

【答案】16西

【分析】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，根据矩形的性质和CDAE=2N8AE,得

BE

4BAE=30°,继而得到/ABE=90°-^BAE=60°,然后在Rt△48E中,得48=—LUS乙〃TLJZEZt

=4,在&△ABO中，得40=48•tan乙4BE=4百，即可得解.掌握矩形的性质及锐

角三角函数的定义是解题的关键.

【详解】解：•••在矩形A8C。中,Z.DAE=2Z.BAE,

：.LBAD=90°,

.•.90。=Z.BAD=/.BAE+4DAE=Z.BAE+2/.BAE,

：.Z.BAE=30°,

••.BE=2,4E180即44E8=90。，

：.^.ABE=90°—4BAE=90°-30°=60%

'RS4BE中，48=益互诉=益薪=1=4，

2

在Rt△ABDl[',AD=AB-tanz.ABE=4xtan600=4百,

•••S审形.BCD=ABAD=4x4x/3=16百，

矩形48CD的面积为16百，

故答案为：16百.

【题型04求矩形在坐标系中的坐标】

【典例4】（2025•河南洛阳•一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边。C,04分

别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边0C上的点尸

处.若。力=8,5=4,则点E的坐标是.

【答案】(T0，3)

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，相似三角形的性质与判

定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

根据题意BE=EF,由勾股定理可以得到EC,进而证明〜AFOA得F0的长度，

即可求得E点坐标.

【详解】解：•.•四边形ABC。是矩形，

；.BC=AO=8,乙ECF==Z.AOF=90°

设CE=Q,则BE=EF=8-a,

在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2

••.(8-a)2=424-a2

解得：a=3

••.EC=3

••・折叠，

.•"凡4=90°

.-.zFFC=90°-Z/1FO=Z.FAO

乂乙ECF=Z.AOF=90。

△ECFFOA

EC££3_4

,'FO=而3而=8

:.FO=6

••.CO=CF+FO=44-6=10

10,3),

故答案为:(TO,3).

【变式1】(2023•河南商丘•二模)如图，在平面直角坐标系％Oy中，四边形。力8c为矩形,

点4。分别在y轴、T轴卜,口点双4,3),。为动8。上一点,将N/?沿40所在百■线翻折.

当点8的对应点夕恰好落在对角线4c上时，点。的坐标为（

B.（4卷）D.I/)

A.(2J

【答案】B

【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形.根据点的坐标

得出A8=0C=4,40=BC=3,根据勾股定理求得4C,设B0=夕。=，则

CD=3-x.在RtZ\B'CD中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解.

【详解】解：依题意，AB=0C=4,A0=BC=3,

•••AC=5

由折叠的性质,可知BD=B'D,AB1=AB=4,

•••B'C=5—4=1.

设BO=B'O=x,则CO=3—%.在Rt2\B'CD中，由勾股定理,

得/+仔=（3一%产,

解得欠=1

45

:.CD=3——=—

•・•点。的坐标为（4,§,

故选B.

【变式2】（2024•河南驻马店•一模）如图所示，矩形HBOC的顶点0为坐标原点，BC=2,

对角线。力在第二象限的角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点。以每秒45。的速度顺

时针旋转，则第202s秒时，点4的对应坐标为（）

Ay

A.(2,0)B.(0,2)C.(V2,V2)D.(-V2-V2)

【答案】B

【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点A的

变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转45。，则8次一个循环，

2025+8=253……1,第2025秒时，点S的对应点4202s落在y轴正半轴上,由此可得

到点力的坐标.

【详解】解：•.•四初形/80C是矩形.

•••OA=BC=2,

•••每秒旋转45。,8次一个循环,2025+8=253……1,

第2025秒时，点4的对应点为025落在y轴正半轴上，

•••点42025的坐标为(0,2).

故选：B.

【变式3](2022•辽宁铁岭•一模〉如图，点D是矩形ASC。的对称中心，点4(6,0),1(0,4),

经过点。的反比例函数的图象交ABF点儿则点P的坐标为.

【答案】(6,1)

【分析】先求得D点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把汇=6

代入解析式即可求得点P的坐标.

【详解】解：•.•点。是矩形48co的对称中心，

•••点0是矩形048c的对角线4C.的中点，

又・・・A(6,0),以0,4),

八点。的坐标为(3,2).

•­•反比例函数y=:的图象经过点D，

•••k=3x2=6,

6

•••y=7

把％=6代入得，y=1=l,

•••点P的坐标为(6,1).

故答案为：(6,1).

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特任，矩形的性质，待定系数法求反比

例函数的解析式，求得点。的坐标是解题的关键.

【题型05根据矩形的性质证明】

【典例5】(2026•陕西宝鸡•一模)如图，在矩形8CEF中，延长CE至点4使得EA=EC,

连接48交EF于点0.求证：点。是EF的中点.

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出

Z.AEO=Z.BFO,结合已知条件得出£71=8四进而证明△40E三△8。/(AAS),根据

全等三角形的性质，却可得证.

【详解】证明：•四边形BCE尸是矩形，

/.EC=BF,Z-AEO=Z,CEO=/.BFO=90%

•・•EA=EC,

•••EA=BF,

在RtUOE和RtZ\80户3

乙AEO=^BFO,Z.A0E=Z.BOF,EA=BF,

.•.△40EW4F0F（AAS）,

OE=OF,即点。是Er的中点.

【变式1】（2026•广东中山•模拟预测）如图,8。是矩形力雨。的对角线,IB=4,

AD=8.

⑴请用尺规作图法，作80的垂直平分线，垂足为G,分别交4。、BC于点E、F；（不要

求写作法，保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，连接BE、。尸，求四边形BEDF•的周长.

【答案】（1）见解析；

（2）四边形BEDF的周长:20.

【分析】本题考查作垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识.

（1）作线段BD的垂直平分线即可解决问题：

（2）先根据垂直平分线的性质得到BE=BF=DF,设BE=DE=%,

BF=DF=y,再结价矩形的性质和勾股定理求出与y,即可求出四边形BED尸的周长.

【详解】（1）如图所示，E尸为所求作的直线，

•••“垂直平分于点G,交力。、BC于点、E、F,

••,BE=DE,BF=DF,

•••矩形48G9,AB=4,AD=8,

.-.z/1=ZC=90°,AB=CD=4,AD=BC=8.

,•,设BE=DE=x,BF=FD=y,

--AE=8—x,FC=8-y.

•.•在中，44=90°,

：.AB2+AE2=BE2,即4?+(8—％)2=/,

解得：x=5,

:.BE=DE=5.

•.•在RtaOCF中，Z-C=90°,

：.CD2+FC2=DF2,即42+(8-y)2=y2,

解得：y=5,

：.BF=DF=5,

菱形BEDF的周长为=BE+DE+BF+0F=20.

【变式2】(2025•贵州黔东南•二模)如图，在矩形力BCD中，点E在BC边上，AE=AD,

DFA.AE,垂足为少.

⑴求证：BE=AF；

⑵若乙/。。=30。，AB=8,求AD的长.

【答案】（1）见解析

（2）16

【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形

的性质.解题的关键是熟练运用矩形的性质推导角的关系，结合全等三角形的判定定理

证明三角形全等，再利用特殊角度的直角三角形性质求解边长.

（1）利用矩形对边平行和四个角为直角的性质，得到角相等的条件，结合垂直的定义

和已知边相等，通过AAS证明三角形全等，进而得出线段相等；

（2）根据全等三角形的性质得到对应边相等，结合已知角度求出相关角的度数，再利

用含30。角的直角三角形中斜边是直角边两倍的性质计算AD的长.

【详解】⑴证明：•.•四边形A8CD是矩形，

.-.AD||BE,48=90°.

Z.DAF=Z-AEB.

又MFIAE,

乙AFD=LB=90°.

vAE=AD,

••.△Ar“wZ\E84（AAS）.

:.BE=AF.

（2）解：由（1）可得△力F。三△EB4

:.AB=DF=8.

又•:乙FDC=30°,

LADF=Z.ADC-Z.FDC=60°.

二Z.DAF=90°-z.ADF=30°.

.'.AD=2DF=16.

【变式3】（2025•海南海口•模拟预测）如图，矩形/BCD的对角线力C,相交于点。，过

点C作BD的平行线交AB的延长线于点£

⑴求证：AC=CE.

⑵若力B=B。，CE=4,求48的长.

【答案】(1)见解析

(2)/18=2

【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质.直角三角形30度角的性质,

熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键.

(1)由矩形的性质得4811CD,AC=BD,证明四边形BOCE是平行四边形得80=C£

等量代换可得结论成立；

(2)由矩形的性质可得04=08,乙4BC=90。，证明△力BO为等边三角形得

乙。48=WBA=60。，求得N4CB=30。，I耳利用直角三角形30度角的性质即可求解.

【详解】（1）证明：•••四边形ABCD是矩形，

.'.AB||CD,AC=BD,

BE||CD.

vBD||CE,

四边形8DCE是平行四边形，

:.BD=CE,

AC=CE.

（2）解：♦.•四边形4BC。是矩形，

0A=0B,乙48c=90。，

AB=OB

•••△480为等边三角形，RUO/li?=Z.OBA=60°.

Z.ACR=30°

•••CE=4,

:.AC=CE=4.

•.•在RtZXABC中，Z.ACB=30°,AC=4,

.'.AB=2.

【题型06添加一个条件使四边形是矩形】

【典例6】（2025•上海虹口•二模）已知四边形48CD是平行四边形，对角线HC,8。相交于

点、O,下列条件中，不能判定四边形ABCO是矩形的是（）

A.AC=BDB.OA=OB

C.Z.DAC=Z.BACD./.ABC=Z-BAD

【答案】C

【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质,

解题关键是掌握上述判定与性质.

根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一

分析，再作判断.

【详解】解：四边形A8CD是平行四边形，

添加AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形，

可判定四边形A8C.。是矩形，故A不符合：

添加OA=OB,可得AC=8。,

根据对角线相等的平行四边形是矩形，

可判定四边形H8CD是矩形，故B不符合；

添加NZX4C=^BAC,可得出四边形/BCO是菱形，

不能判定四边形力BCD是矩形，故C符合；

•••四边形H8CD是平行四边形，

：.Z.ABC+LBAD=180°,

添力I"48C=/.BAD,可得出4力8c=4BAD=90°,

根据一个角是直角的平行四边形是矩形，

可判定四边形718CD是矩形，故D不符合，

故选：C.

【变式1](2025•河南周口二.模)如图所示.线段力/?的端点〃在直线MN卜.过线段.48卜

的一点。作MN的平行线，分别交和/ABN的平分线于点C,D,连接力C,AD,

要使四边形力为矩形，则可添加下列条件中的()

A.CD=ABB.CO=OD

C.Z.ACB=90°D.AC=AD

【答案】A

【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可.

【详解】解：添加条件为：CD=AB,理由如下：

•.♦CDIIMN,

••.8C平分乙4BM，

：/OBC=乙CBM,

：-Z.OCB=乙OBC,

-'-OC=OB,

同理可证：OB=OD，

-OB=OD=OC,

-CD=AB,

•OB=OD=OC=OAi

四边形ACBD是平行四边形，

-CD=AB,

・••平行四边形4CBD是矩形.

故选：A.

【变式2】（2025•福建福州•三模）如图，己知在四边形4BOD中，对角线交于点O,

且OA=OCQB=OD,要使四边形4BCD是矩形，添加一个条件可以是（）

A.AD=ABB.AC=BDC.AB=CDD.ACLBD

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条

件即可.

【详解】解：•.0A=0C,08=0D,AC=BD,

•••四边形48co是矩形，

故选：B.

【变式2】（2024•广东佛山•三模）如图，在中，AC,80是两条对角线，如果添如

一个条件，可推出048CD是矩形，那么这个条件匕以是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.AC1BDD.ABLBD

【答案】B

【分析】此题考查矩形的判定.根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形〃

解答即可.

【详解】解；•.•四边形A8CD是平行四边形，

添加47=BD,

•••□48CD是矩形,

故选：B.

【题型07证明四边形是矩形】

【典例7］（23-24八年级下•内蒙古通辽•月考）如图，在平行四边形/1BCO中，过点D作。E1/8

于点E,点F在边C上,CF=AE,连接力凡BF.

⑴求证：四边形EBFD是矩形：

（2）若A£=3,DE=4,DF=5,求证：力「平分4DAB.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及

性质，综合运用相关知识是解题的关键.

⑴根据平行四边形的性质得出DCII力&即DFIIBE,根据平行四边形的判定得出四

边形DE3F为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；

（2）根据矩形的性质求出4OEB=90。，根据勾股定理求出4D,求出4。=。凡准出

Z.DAF=Z.DFA,求出r=4凡48,即可得出答案.

【详解】（1）•.•四边形ABCD为平行四边形，

.'.CD=AB,DCWAB.即。FIIBE,

又rCF=AE,

:.CD-CF=AB-AE,

••.DF=BE,

.•.四边形。E8F为平行四边形，

又••・£）£1J.AB,

；/DEB=90°,

•••四边形DEBF为矩形;

（2）•.•四边形DE8F为矩形,

•/DEB=90°,

-AE=3,DE=4,DF=5,

"0=y/AE2+DE2=V32+42=5.

•AD=DF=5,

•^.DAF=Z.DFA,

-ABWCD,

；ZFAB=Z.DFA,

•ZFAB=Z.DAF,

•••-F平分/D4B.

【变式1】（2025・湖北•一模）如图，在四边形力BCD中，乙A==90。，点。是边48的中

点、,乙ADO=^BCO.求证：四边形A8CD是矩形.

【答案】见解析

【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判断方法是解题的关键.

先根据条件证明△A0D三△BOC,再证明四边形4BC。是平行四边形，最后根据平行四

边形与矩形的关系进行证明即可.

【详解】证明：,点。是边AB的中点，

••-0/1=OB.

,-/.A=Z.B,Z.ADO=乙BCO,

△40D三△BOC(AAS).

：-AD=BC.

,.Zi4=LB=90°,

.••Zi4+=180°.

"DIIBC.

.•.四边形AB。。是平行四边形.

=90°,

二平行四边形A8CD是矩形.

【变式2］（2025•甘肃酒泉•二模）如图，点4B,C,D在同一条直线上,AB=BC,

△力EC三△8FD,连接BE,CF,EF.

⑴求证：BE=CF；

⑵当=时，求证四边形BCTE是矩形.

【答案】⑴详见解析

⑵详见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌

握这些性质定理是解题关键.

（1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明△4BE三4BCF,

从而得出8E=CF；

（2）先根据全等和角的关系证明四边形BC/E是平行四边形，再证明有一个角是直角,

进而判定为矩形.

【详解】（1）证明：•••△AEC空△BFD,

.-.AE=BF,LEAB=LFBC.

-AB=BC,

.-.△/lfiF=AFCF（SAS）,

BE=CF：

（2）解：•••△ABEWABCF,

•••BE=CF,

，：RAEC^ABFD,

•••AC=BD,Z-ACE=ZD,

-AB=BC,

:.AB-BC—CD,

vZ71=ZD,

Z.A=Z.ACE=乙DBF=ND,

AE=CE,BF=DF,

.-.BELAD,CFLAD,

:.BEWCF,

•••四边形3CFE是矩形

【题型08矩形的性质与判定综合】

【典例8】(2025•浙江•模拟预测)如图所示，在平行四力形ABCD中，P是4B边上一点(不

与4,8重合)，CP=CD,过点P作PQ1CP交力。边于点0,连结CQ,Z.BPC=Z-AQP.

⑴求证：四边形4BCD是矩形.

(2)当月P=3,4。=9时，求CQ的长.

【答案】⑴见解析

(2)5710

【分析】本题考查直角三角形全等的判定，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定

和性质，综合应用上述知识点是解题的关键.

(1)根据PQ1CP，4BPC=〃QP,通过导角证明4QP/+N力QP=90。，进而得出

〃=90。，结合四边形ABCD为平行四边形，可得四边形A8CD是矩形.

(2)先证RtZXCDQ三RtZXCPQ得DQ=PQ.^AQ=x,则DQ=PQ=9-x,在RtaAPQ

中，由/IQ?+4p2=pQ?得至［JAQ=%由△力得PC=15,在Rt^CPQ中

得到CQ=5V10.

【详解】(1)证明：•,PQJLCP,

..“PC=90。.

：.Z.QPA+Z.BPC=90°.

,：Z-BPC=N4QP,

.-.Z.QPA+/.AQP=90°.

山=90°.

又•.•四边形为BCD为平行四边形，

四边形是矩形.

(2)解：•••四边形A8CD是矩形，

:.乙。==48=90°,BC=AD=9,

在Rt△C0Q和Rt△CPQ中，

[CQ=CQ

\CD=CP，

Rt△COQ三RtZXCPQ(HL),

/.DQ=PQ.

设4Q=x,则。Q=PQ=9-x,

在Rt△力PQ中，由勾股定理得HQ2+AP2=pQ2,

x2+32=(9—x)2,

解得力Q=%=4,

DQ=PQ=9-4=5.

v乙A==90°,乙BPC=Z-AQP,

:*△AQP~Z\8PC,

AP_QP,,,3__5_

'BC-PC，I、吗―PC，

••・PC=15.

在Rt△CPQ中，CQ=y/cp2+QP2=V152+52=5^10.

【变式1】(23-24八年级下•重庆南川・期中)如图，平行四边形力BCD中，对角线AC,AELBD

于点E,。尸12。于点£AE=DF

⑴求证：四边形4BCD是矩形.

⑵若NBAE=\LEAD,求N40E的度数.

【答案】⑴见解析

(2)60°

【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理,

通过比值换算，求出角的度数，再通过二角形内角和计算是解题的关键.

(1)要证明平行四边形ABCD是矩形，证明△AEOmZiDFO求得力0=。。即可.

（）首先根据矩形的性质和=土"。得到

2NBAE=90°x!30°,AO=BO,

则N0A8=2ABE,然后利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】（1）证明：-AELBD,DFLAC,

Z-AEO=乙DFO=90°,

在△AEO和△。尸。中，

（Z.AEO=乙DFO

Z.AOE=Z.DOF

AE=DF

•••△4E0WZ\DF0（AAS）,

•••AO=DO,

•••四边形48co是平行四边形，

•••AO=CO=DO=B。，

AAC-BD,

.••四边形4BCD是矩形;

（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，

:.Z.BAE=90°X1=30°,AO=FO,

•••Z.OAB=乙ABE,

在直角三角形ABE中，4ABE=90°—/BAE=60°=WAB.

•••/-AOE=180°-£OAB-^ABE=60°.

【变式2】（2023•广东梅州•一模）如图，四边形48G）中，对角线力C,8。相交于点。,

AO=OC,BO=OD,B.Z.AOB=2/-OAD.

⑴求证：四边形/18CD是矩形；

(2)若=6:7,求立力。。的度数.

【答案】⑴见解析

（2）27°

【分析】（1）先判断四边形48。。是平行四边形，继而根据已知条件推导出力。=8。,

然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证；

（2）由矩形的性质得到力BIICO,再由平行线的性质得到乙480=/C。。，然后由一:角

形的内角和求出乙48。=63。，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解.

【详解】（1）证明：-AO=0C,BO=0D,

四边形ABCD是平行四边形，

,:jA0B=Z.DA0+LAD0=2^.0AD,

Z.DA0=乙ADO,

:.AO—DO,

AC=BD,

•••平行四功形是矩形：

（2）解：•••四边形力BCD是矩形，

.-.ABWCD,LBAD=90°,

•••Z.ABO=乙CD0,

vZ.AOB:Z.ODC=6:7,

:.Z.AOB.Z.ABO=6:7,

•••Z-BAO-.Z.AOB:^.ABO=7:6:7,

••・4480=180°X776+7=63°,

v乙BAD=90°,

•••Z.ADO=90°-63°=27°.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定

等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明AC=BD是解题的关键.

【变式3】（25-26九年级上•湖南邵阳•期末）如图，四边形”CD的对角线4c与BD相交于点

0,ABWCD,ADWBC,AB1BC.

4Kq-----71。

BC

⑴求证：△480三4。0。：

(2)若A8=l,AC=2,求△A8。的周长.

【答案】⑴见解析

⑵△48。的周长是3

【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判

定方法是解决问题的关键；

(1)先判定四边形4BCD是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出0A=。&

OB=0D,再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论：

(2)由力B1BC可得平行四边形4BC0是矩形.由此得出AC=8。=2,进而得出

0A=0B=\fiiC=1,由此求出三角形周长.

【详解】(1)证明：在四边形力BCD中，ABIICD,ADIIBC,

.••四边形？18C0是平行四边形.

••.04=OC,OB=0D.

又“AOB=乙COD,

.••△4B0wZkCT50(SAS).

(2)解：•MB1BC,四边形力BCD是平行四边形.

•••平行四边形力BCD是矩形.

MC=BD=2.即。,4=OB=\AC=1.

'-AB+04+08=1+1+1=3,

即△48。的周长是3.

B随堂检测

1.(25-26九年级上•山东青岛・期末)如图，在矩形力BCD中，对角线力C与相交于点。，力8=3,

BC=4,则0C的长为()

B.2.5

【答案】B

【分析】本题考直了矩形的性质和勾股定埋，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相

平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段。。的长.

先在Rt△力BC中，由勾股定理求出对角线4?的长度；再根据矩形对角线互相平分的性

质，得到OC=》C,从而计算出0C的长.

【详解】解：•.•四边形4BCD是矩形，

.,■/.ABC=90。，OC=\AC.

在Rt△48c中，AC=y)AB2+BC2=732+42=V9+16=V25=5,

-OC=1x5=2.5.

故选：B.

2.（2024・西藏那曲•一模）如图所示，将矩形纸片力BCD折叠，使点。与点B重合，点C落在

点C'处，折痕为E凡若乙48E=20°,那么NEFC'的度数为（）

A.115°B,120°C.125°D.130°

【答案】C

【分析】由已知条件易得乙4EB=70。，由此可得NDEB=110。，结合折叠的性质可得

乙DEF=55。，则由4。IIBC可得NEFC=125°,再由折叠的性质即可得到NEF。'=125°.

【详解】解：•.•乙4=90°,乙48E=20°,

Z.AEB=70°,

LDEB-1800-7。"-110°,

•.•点。沿E尸折登后与点8重合，

•%LDEF=乙BEF=\LDEB=55°,

•.•在矩形4BCD中,AD||BC,

•••乙DEF+乙EFC=180°,

ALEFC=180°-55°=125°

由折叠的性质可得"FC'=LEFC=125°.

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形折叠的问题，熟悉“矩形的四个内角都是直角〃和“折叠的性质〃

是正确解答本题的关键.

3.（25-26九年级上•广东深圳•期末）如图，把两个全等的矩形"CD和矩形CEFG拼成如图

所示的图案，点。在CG上，已知矩形的长BC为3,宽A8为2,则力尸的长为（）

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和

性质等，由全等图形的性质可证△4BC三△CEF（SAS）,即得到4；=C凡

乙84c=乙ECF,进而可得△4CF是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AC即可求解,

熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：•.•矩形4BCD和矩形CEFG全等，

=CE,N9=NE=90。，BC=EF,

•••△4BC三△CEF(SAS),

••.AC=C尸，Z.BAC=£.ECF,

-Z.BAC+Z.ACB=90°,

••ZECF+ZAC8=90°,

：.^ACF=90°,

；•△HCr是等腰直角三角形，

,-AB-2,BC—3,

"C=JAB2+BC2=V22+32=V13.

"F=V2AC=V2xV13=>/26,

故选：C.

4.（2025•四川成都•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线4c和BD相交于点。，则下列

结论一定正确的是（）

A.Z.ABD=乙CBDB.CD=COC.AC=BD

D.AC±BD

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等.

根据矩形的性质求解即可.

【详解】解：•.•四边形4BCD是矩形，

.^AC=BD,故C符合题意，

而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故小符合题意

故选：C.

5.（2026・湖北•模拟预测）在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行

四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其

中填写正确的是（）

A.①：中心对称B.（3）：充边相等

C.②：有一组邻边相等D.©：对角线互相平分

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法.

根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可.

【详解】解：A.①：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形;

B.（3）：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形；

C.@：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确；

D.④：对角线匕相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形；

故选：C.

6.如图，AC,3。是四边形48CD的两条对角线，顺次连接四边形力BCD各边中力、得到四边

C.ABKDD.AC=BD

【答案】B

【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与

性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、

矩形的判定等知识是解决问题的关键.

先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到EHII80,口

FG||BD,且FG=/。：GH||AC,且GH=FE||AC,且FE=进而判定四

边形EFGH为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案.

【详解】解：：4C、80是四边形的两条对角线，E、F、G、〃是四边形4BCD各

边的中点，

•••E”是△48D的中位线，”是△C8D的中位线，HG是△ACD的中位线，尸E是△4CB

的中位线，

则E，||B。，且EH=；BD；FGIIBD,=GH\\AC,且G"=g/lC；FE\\AC,

RFE=\AC.

AEH||FG,且EH=FG,

四边形EFGH为平行四边形，

当4C1BD时，EH1HG,

•••四边形EFGH为平行四边形，

・•・四边形EFG〃为矩形，

综上所述，要使四边形EH7H为矩形，应添加的条件是力

故选：B.

7.（2025•云南昭通・模拟预测）如图，匚MBCD的对角线AC,相交于点。，△是等

【答案】A

【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与

性质，由等边三角形的性质得力8=。4=。8=4,乙BAC=60。,由四边形ABCO是平

行四边形，则O4=0C,OB=0D,从而得AC=3D=8,证明四边形ABC。是矩形，

然后通过勾股定理求出BC=4百即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•・•△HOB是等功二角