平面向量的基本运算及应用-2026年高考数学二轮复习

微专题16平面向量的基本运算及应用

高考定位I.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算,

难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义,

难度中低档.

【真题体验】

1.(2022・新高考I卷)在中，点。在边48上，BD=2DA.i^CA=m,CD=n,

则徐=()

A.3/w—2/iB.-2/M+3M

C.3〃I+2〃D.2/w+3w

答案B

解析因为BD=2DA,所以石=3历，

所以份=2+养=方+3历=为+3(金一2)

=-2为+3金=-2〃1+3〃.故选B.

2.(2024・新高考I卷)己知向量4=(0,1),b=(2,力,若〃J_S-4a),则x=()

A.-2B.-1

C.lD.2

答案D

解析法一因为b_L仍一4a),

所以力♦(力一4G=0,即尻=4〃力.

因为。=(0,1),b=Q、x),

所以52=4+4,ab=x,

得4+f=4x,所以(工-2)2=0,

解得x=2,故选D.

法二因为。=(0,1),b=(2,x),

所以6—4〃=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).

因为〃_L(b-4a),所以万(6—4〃)=0,

所以2X2+x(x—4)=0,

所以(x—2)2=0,解得x=2,故选D.

3.(2023•全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos4a+b,a-b)=()

答案B

解析由题意知a+b=(5,3),a-b=(\,—1),

(a+b)•(a—6)=5X1+3X(-1)=2=17

所以cosQ+力，a—b)=

\a-\~b\\a-h\~34X2~217―17

故选B.

4.(2024•新高考II卷)已知向量小b满足同=1,|〃+2臼=2,且(〃-2Q)J_6,贝帅|

=()

A.1B.2

22

3

C.D.1

2

答案B

解析由(〃-2a)_L〃，

得s—2。)力=〃-2a力=0,

所以尻=2°力.

将|°+2切=2的两边同时平方，

得雇+4〃力+482=4,

即1+2/+4〃2=1+6册=4,

解得血2=；,所以向=：,故选B.

【热点突破】

热点一平面向量的线性运算

I核心归纳

1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相

连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观

察图形对向量进行等价转化.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法

类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.

例1(1)(2024・西安模拟)已知点P是△43。的重心，则办=()

\.AP=XAB+XAC~►1-►1-►

B/产=48+%。

6644

C.AP^AC^BCD.j>=2^C-15C

3333

(2)(2024•保定模拟)如图所示，ZVIBC内有一点G满足为+扬+反?=0,过点G

作一直线分别交于点若疝施'=＞，及3岸0),则1+匕()

A.4

C.2D.1

答案(1)D(2)B

解析(1)延长力P与交于。点，由重心的性质，知。为8C的中点,

且"=#)=＞婀+洞=；(2懑+南=押+乒=；(左+函+屏=

，心一；辰?，由此可知A,B,C错误，D正确，故选D.

(2)因为第+强+沆=0,

所以G为△48C的重心，

又因为G,D,七三点共线，

所以恁=：(养+充)=4力+(1~t)AE=txAB+(\-t)yAC,

所以比=；且(1一/»=；,

所以+=3,故选B.

xy

易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基

底，变形要有方向，不能盲目转化.

训练1(1)(2024•厦门调研)如图，正方形中，七为。。的中点，若弱=沅

+/ME,贝以一〃的值为()

A.3B.2

C.1D.-3

(2)(2024•太原模拟)己知在矩形力中，石为边的中点，线段4c和DE交于

点F,则砺=()

BlAB-2Ab

1.2A-D

33

C2AB-XAD

33

答案(1)D(2)D

解析(1)因为E是。。的中点,

所以能一1充十力)，

即在=-AC-\-2AEf

所以/=—1,〃=2,

则2一"=-1-2=-3.

(2)如图，在矩形48co中，AE=EB.

所以△。尸

则K=2,

FAAE

所以西=2成,即次=；0，

所以砺=眉+赤=一方+1(益+历)=一2善+1石.故选D.

333

热点二平面向量的数量积

I核心归纳

1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.

2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进

行计算.

例2(1)(2024•惠州模拟)已知非零向量。,〃满足(〃+2力)_L(〃-2b),且向量力在向

量a上的投影向量是1，则向量a与b的夹角是()

4

AA.兀Bn.兀

63

C兀D.2兀

23

(2)(2024・常德模拟)已知平面向量a,〃均为单位向量，且夹角为60。，若向量c与

明力共面，且满足a・c=b・c=l,则|c|=()

23

A.lB

3

C.3D.2

(3)如图，在中，ZJ5C=90°,/为的中点，CE=3,C5=8,AB=\2,

则或•或=

答案(1)B(2)B(3)13

22

解析(1):(a+2b)_L(a-2力)，二(a+2〃)•(〃-2b)=a~4b=0f

即同=2网.

向量力在向量〃上的投影向量是%,则向量力在向量。上的投影向量为(|〃|cos〈4,

向cos(a,b)cos〈a,b)I1

回2)(i=a

咻=[4

/.cos(a,力〉=L即cos(a,b)=L

242

由〈%b>e[0,兀]，得(%b)=:,即向量。与〃的夹角是:.故选B.

JJ

⑵设c=ma-\~nb,

因为。力=同|力|cos(*b)=1X1x1=；,

又ac=bc=1,

1.

ac=a(〃皿+)力)=m+n=1,

2

即1,,

bc=b(nia-\-nb)=m-\-n=1,

2

解得〃7=〃=j,所以C=[+）,

333

所以|c|=:同2+2X；|a|X；|b|X；+：|bF=2故选B.

/JJXr7J

（3）法一（坐标法）建立如图所示的平面直角坐标系，

则力(12,0),5(0,0),0(0,8),F(6,0),

a7

易知CF=C82+8产=10,即CE=FC,FE=FC,

1010

77p28]

所以丽=脐+]；危=(6,0)+]；(—6,8)=15，5J,

[928]pl28]

所以以=或一旗=(12,0)-L，5)=15'-5),

f_928]

而或=15'-5),

S1f_91[_28]2

所以或后5J+15J=13.

5

法二（基底法）由法一知前=[亦,

且CF=次+1研=10,

故或丽=(砺+荡)•(济+或)=110C"+2叼11。"-2叼

=49宓-1嬴2=49X102-1X122=13.

10041004

法三(利用极化恒等式)由法一知|西=7,

由极化恒等式知

启•育=|两2」由2=49—1X144=13.

44

易错提醒1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是［0,用.

2.利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用己知的向量作基底.

训练2(1)(多选)(2024・连云港调研)设0b,。是三个非零向量,且相互不共线,

则下列说法正确的是()

A.若|a+b|=|〃一"，贝

B.若同=|例,则(a+b)_L(a—8)

C.若ac=bc,则a-b不与c垂直

D.(bc)a—(ac)b不与c垂直

(2)(2024•郑州调研)在矩形力中，AB=23,AD=2,点£1满足2踮=3位,

则成协=.

答案(1)AB(2)-14

解析(1)。，b,。是三个非零向量，

对于A,|〃+臼=1〃一"两边平方得(〃+。)2=(〃一〃)2,

即/+2〃力+/=〃2-2〃力+护，

故a力=0,则aJL〃，故A正确；

对于B,(a-\-b)(a—b)=a2—b2=\a\2—\b^

因为同=步|,

所以(a+b)・(Q-b)=0,

故(a+b)_L(a—b),故B正确；

对于C,ac=bCy

故ac—bc=(a—b)c=0,

又a与力不共线，有aWb,

则a—b与c垂直，故C错误；

对于D,[(bc)a—(acM]c=(bc)(ac)—(ac)(〃c)=O,故(bc)a—(ac)b与c垂直,

故D错误.

(2)由题意，以力为坐标原点，前，历的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所

示的平面直角坐标系，

V

D--------iC

TBx

则4(0,0),BQ3,0),C(23,2),D(0,2),

所以虎=(23,0),BD=(-23,2).

因为2励=3反.设Egv).

则2(x,y-2)=3(23,0),解得E(33,2),

所以范=(33,2),

所以在筋=(33,2)-(-23,2)=-14.

热点三平面向量的综合应用

I核心归纳

三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角

函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数

进行交汇.

例3已知①>0,a=(3sincox,—coscox),b=(coscox,coscox),f(x)=ah,xi,

X2是y=火工)一；的两个零点，且瓦一刈min=兀.

(1)求/»)的单调递增区诃；

(2)若a®m3%,求sin2a的值.

解(1)/(x)=3sincoxcoscox—cos2Gx

3.-1+cos2(ox

=sin2Gx一

22

3sin25」cos25」i

2222

2<yx-

Vxi,X2是函数y=/(x)—；=sin|3-i的两个零点,

即用，X2是方程sin!2""-2=1

的两个实根,

且|X1-X2|min=7C,

•rr^2j兀•*♦<

••1=—7T,••60—1.

2(0

2x~n61

A/(x)=sinl

由一；+2E〈2x—keZ,

得一kQZ.

63

—'kit'—|-brr

.\/(x)的单调递增区间为16'3」(%£Z).

43-3

10

4+33V43-324+73

sin2a=2sinacosa=2X

1010—50

规律方法对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转

化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

训练3（2024•武汉统考）如图所示，4,B,C,。是正弦函数y=sinx图象上四个

点，且在月，。两点函数值最大，在6,0两点函数值最小，则（为十励）•（注十沆＞）

答案12兀2

解析由题图知，A（M,ET,启[E

所以"61）,应上，无£,1）历里,-1]

所以晶+/=（2兀，0）,比+而=（6兀，0）,

所以（为+历）•（沆+历）=2兀X6TI+0X0=12兀2.

【精准强化练】

一、单选题

1.（2024•全国甲卷）设向量〃=（x+l,x）,b=（x,2）,则（）

A.x=-3是。_16的必要条件

B.x=~3是a//b的必要条件

Ca=0是〃，力的充分条件

D.x=-1+3是〃〃b的充分条件

答案C

解析a_LbQx2+x+2x=0Qx=0或x=—3,

所以工=-3是aJL〃的充分条件，x=0是〃的充分条件，故A错误，C正确.

。〃〃02%+2=12<=>式2—统一2=0<=>x=1士3,故B,D错误.

2.（2024•唐山模拟）已知向量0=（3,-1）,力=（-2,x）,若/_1_（。+四，则网=（）

A.25B.4

C.210D.20

答案A

解析〃+力=(1,x-1),因为。_!_(〃+〃)，所以3X1-1X(x-l)=0=x=4,所以

〃=(—2,4),所以|〃=4+16=25,故选A.

3.(2024•合肥模拟)已知向量a=(sin。，cos。)，b=(2,1),若°心=网,则tan。

=()

2

A.B.2

2

3

C.3D.

2

答案B

解析由〃力=|力|得2sin9+cos0=3,

又sin2^+cos2^=1,

故sin2^+(3—2sin夕尸=i,

即3sii?8-26sin<9+2=0,

解得sin0=

711

故cos<9=3—2sin0=3—=

33

LI,sin023

故tan0n=X=2.

cos033

4.（2024泰安模拟）在平面内，”,N是两个定点，，是动点，若/而种=4,则点

P的轨迹为（）

A.椭圆B.抛物线

C.直线D.圆

答案D

解析不妨设|MN|=2c,以"N为x轴，MN的中点。为原点，过点。且垂直于

MV的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

设点P(x,y),点A/(—c,0),M。，0)，

则X^=(x+c,y),NP=(x—c,y).

由BA•沛=4可得(x+c)(x-c)+V=4,

即/+y=4+/

所以点尸的轨迹为圆.

5.(2024•西安模拟)在△N8C中，点。是线段4c上一点，点P是线段上一点,

且我)二扇，AP=^AB-\-AAC,贝必=()

A.1B,1

63

C2D.：

36

答案A

解析因为引=易，

所以在」式，

2

即充=2历，又力=2施+沅，

3

所以善=2懑+2疝)，

3

因为点。是线段上一点，

即以P,。三点共线，

所以：+22=1,解得2=1.

6.(2024・芜湖模拟)己知等边△彳8c的边长为2,点O,E分别为48,8C的0点,

若及：=2前,则前•办=()

4

A.1B.

5

5

D.

4

答案A

解析在△ABC中，取祀，力为基底,

贝力太|=|成|=2,{AC,AB)=60°.

因为点。，E分别为3c的中点，

EF=XDE=XAC,

24

办=涯+丽=；（森+病+：企=；石+：衣

EFAF=1祀L'"/'）」沅眉+在

4816

=1X2X2Xcos60°+3乂4=1.

816

7.（2024・石家庄联考）已知点列｛尸〃｝中的所有点都在△4?C内部，△4?尸〃的面积与

△ACP”的面积比值为；在数列｛〃〃｝中，m=1,若必山N且“22,善”=3〃,弱+（4即

」+3）太恒成立，那么44=（）

A.15B.31

C.63D.127

答案D

解析如图，延长力。〃交BC于点

ni|SAJ^P,；_S/\ACP„_AP„

则——/n

S^ABDSMCD4D

又△45P〃的面积与△ZCP〃的面积比值为:,

.S^ABD_1.BD_1

S^ACD3CD3

，点。是边8。上最靠近点B的四等分点.

疝=施+筋=施+：施=施+；(衣—砺=沙+；祀，

又办〃=3即行+(4。〃_1+3)及;，AD//AP„f

.3alt4Q”_I+3

,3=1'

44

♦♦i+3(〃22).

由ai=l,依次计算得到6=7,43=31,44=4X31+3=127.故选D.

二、多选题

8.(2024・广州模拟)已知向量小b不共线，向量平分。与人的夹角，则卜列

结论一定正确的是()

A.a力=0

B.(a+8)J_(。—力)

C.向量”，力在〃十〃上的投影向量相等

D.\a-\~b\=\a-b\

答案BC

解析作向量晶=〃，OB=h,

在oOACB中,OC=a-\-btBA=a-by

由向量a+b平分〃与。的夹角，

得004cB是菱形,即〃|=网，

对于A,a与〃不一定垂直，A错误；

22

对于B,(a+b)\a—b)=a—b=09

即(a+b)_L(Q—b),B正确；

对于C,〃在上的投影向量“•"+?(a+b)=/+®/+3,

|a+砰|a+肝

力在Q+6上的投影向量〃（级+,）（。+办）=〃+。?（。+〃）=4+〃?（a+6），C正确;

|〃+力卜|〃+力卜|a+b/

对于D,由选项A知，。力不一定为0,

则与M一"不一定相等，D错误.

9.已知△XBC是边长为2的等边三角形，。，E分别是4C,48上的两点，且恁=

泰,AD=2DC,BD与CE交于点、O,则下列说法正确的是（）

A.ABCE=-1B.OE-\-OC=Q

C.\OA+OB+OC\=；D.应）在求方向上的投影向量的长度为:

答案BCD

解析因为港：=曲,△力BC是等边三角形，

所以CEUB,

所以前•走=0,A错误；

以石为坐标原点，球，成:的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系,

如图所示，

所以E(0,0),/(I,0),5(-1,0),C(0,3),zL'31

设0(0,y),ye(o,3),

则仍=(1,y)-3'L3

f1

又尻)〃血，所以y—23?=一3，

解得歹=2%

即。是CE的中点，OE+OC=0,

所以B正确；

|晶+协+灵|=|2无+西=|无尸；.所以C正确;

123

动=〔3'3J,肥=0,3),

一一EDBC1+27

EO在8。方向上的投影向量的长度为一=3=；,所以D正确.

\BC\26

三、填空题

10.若向量。"为单位向量，且|。一2力|=7,则向量。与向量力的夹角为

答案120°

解析因为-2〃=7,

所以同2—4〃力+4网2=7.

又向量a,b为单位向量,

所以5—4cos〈*b)=7,

所以cos〈a,b)=-L即〈a,b)=120°,

故向量。与向量方的夹角为120°.

11.写出一个同时满足下列条件①②的向量a=.

①|。|=1;

②向量。与力=(1,-1)的夹角J.

答案t?3,一』(答案不唯一)

解析同=1,

可设。=(cos。，sinG),。£[0,2n),

[o,nl

又向量。与力=(1,—1)的夹角’4j,

□兀7研伽]

所以。£[2'4ju14'nL

pH77fl,兀]

在区间12，4j”“与内任取一个角卿可，

不妨取0=1产，则a=(2，一』(答案不唯一).

12.（2024・镇江调研）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾

股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造

出图2：△ABC为正三角形，AD,BE,。尸围成的△/）£尸也为正三角形.若。为

8E的中点，①△OEb与△4BC的面积比为；②设在=2港+〃太，贝以

+"=•

答案;\

解析如图，连接力E,由题意知△44Z）gZ\BC为且△⑦厂,且O,E,厂分别为

BE,CF,力。的中点.

所以S4DEF=SAAEF=

乙

S^ABC=Sy尸(?+S&ABD+S*BCE+S2EF=7sg£F,得山汨工1

S“BC7

历=前+历=施+;曲=养+;庆+函=功+;

又衣=就一私

&=AF-AC=1在一衣

2

化简得在=；葭+；充，

所以Z+〃=4+2=6.

777

四、解答题

13.已知向量。=(cosx,sinx),b=(—6,2),xe[0,71].

(1)若求x的值；

(2)记火x)=/b,求人x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

解(1)由题意，得一6cosx+2sinx=0,

所以tanx=3,

又工£[0,7l],所以X=；.

(2)f(x)=ab