空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题L6空间向量的应用(二)：用空间向量研究距离、夹角问题【七

大题型】

【人教A版(2019)]

【题型I点到平面距离的向量求法】.............................................................2

【题型2平行平面距离的向量求法】.............................................................2

【题型3点到直线距离的向量求法】.............................................................4

【题型4向量法求异面直线所成的角】...........................................................6

【题型5向量法求线面角】......................................................................7

【题型6向量法求二面角】......................................................................9

【题型7利用空间向量研究存在性问题】.........................................................11

A举一反三

【知识点1用空间向量研究距离问题】

i.距离问题

(1)点p到直线/的距离：已知直线/的单位方向向量为“，人是直线/上的定点，p是直线/外一点,

设向量AP=a在直线I上的投影向量为双，则点P到直线/的距离为，“？一(…>(如图).

(2)点尸到平面。的距离：设平面a的法向量为〃，A是平面a内的定点，户是平面〃外一点，则点P

到平面a的距离为噜*(如图).

2.向量法求点到直线距离的步骤：

(1)根据图形求出直线的单位方向向量;

(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量赤.

(3)垂线段长度d=^/w2-(W.v)2.

3.求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过P点作平面。的垂线，垂足为Q,把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就

是点P到平面a的距离.

②转化法：若点。所在的直线/平行于平面a,则转化为直线/卜某一个点到平面〃的距离来求.

③等体积法.

PA­n

④向量法：设平面a的一个法向量为〃，A是a内任意点，则点尸到a的距离为〃

同

【题型1点到平面距离的向量求法】

【例1】（23-24高二下・江苏徐州・期末）在棱长为4的正方体45。。-4$1。1。1中,£1,尸,6分别为校48,4。,8仇

的中点，点P在棱GDL上，且GP=3PD>则点G到平面PEF的距离为（）

A.画B.熠C.亚D.立

8241414

【变式1-1］（23-24高二下.江西,开学考试）在正三棱锥P-4BC中，AB=^2PA=V2,且该三棱锥的各

个顶点均在以。为球心的球面上，设点。到平面%B的距离为/小到平面4BC的距离为〃，则上=（）

m

A.3B.竽C.V3D.y

【变式1-2］（23-24高二下.江苏连云港.阶段练习）在楼长为2的正方体48co-中，E,尸分别为

棱A4i，8区的中点，6为棱4*1上的一点，且46=/1（0</1<2）,则点6到平面。逐尸的距离为（）

A.2V3B.V2C.卓D.警

【变式1-3］（2024.江苏盐城•模拟预测）棱长为2的正方体48CD-4B1G必中，设点P为底面4次。也内

（含边界〉的动点，则点4cl到平面PBO距离之和的最小值为（）

【题型2平行平面距离的向量求法】

【例2】（2024高二.全国.专题练习）设正方体力BC0-481GD1的棱长为2，求:

⑴求直线4C到平面的距离；

（2）求平面4B。与平面8传。1间的距离.

【变式2-1］（2024高三.全国.专题练习）已知正方体4BCQ-4当6。1的棱长为1,求平面48。与平面

B1CD1间的距离.

【变式2-2](23-24高二•全国•课后作业)如图，正方体48CD-A/B/G。的棱长为4,点M,N,E,/分

别为A/D，A向,CD，B/G的中点,

(1)证明：平面AMN〃平面EFBD；

(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.

【变式2-3](2024・贵州贵阳•一模)底面为菱形的直棱柱—中，E、F分别为棱4当、A.D.

的中点.

(I)在图中作一个平面。，使得80ua,且平面力EF〃a.(不必给出证明过程，只要求作出a与直棱柱力BCD-

&B1G5的截面)；

(2)若48==2.Z,BAD=60°,求平面AEF与平面a的距离d.

【题型3点到直线距离的向量求法】

【例3】（23・24高二下・甘肃・期中）将一块△力BC模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示,

则点4到直线的距离为（）

【变式3-1］（23-24高二下.江西,阶段练习）已知正方体"CO-力道传1。1的棱长为2,F是棱公名的中点,

若点P在线段CD上运动，则点P到直线B尸的距离的最小值为（）

A在B2C2D至

33J555

【变式3-2］（23-24高二上•江苏无锡・期中）在直四棱柱48CD-48iGDi中，底面是边长为2的正方形，

侧棱长为3,点E为棱CG上靠近C的三等分点，点尸在棱力&上靠近点4的三等分点.

（1）求证：点B,E,F,D】共面;

（2）求点"到EF的距离.

【变式3-3］（23-24高二上.安徽亳州.期末）如图，在三棱柱81cl中,所有棱长都为2,且乙时=

60%平面4送。61平面4BC,点P为88的中点，点Q为&G的中点.

小Q,G

Bi

⑴点当到直线"Q的距离；

⑵求点当到平面PQC的距离.

【知识点2用空间向量研究空间角】

1.夹角问题

(1)两个平面的夹角：平面Q与平面夕的夹角：平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个

二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面/7的夹角.

(2)空间角的向量法解法

角的分类向量求法范围

设两异面直线/1,所成的角为仇其方向向量

两条异面直h

(0,

If/.v|1

线所成的角分别为〃，1，,则co*，=|co*(11.v)1=喘

设直线A8与平面a所成的角为"直线AB的

直线与平面

方向向量为〃，平面a的法向量为〃，则sin0=_0,今

所成的角

|cos(小加1一间川

设平面a与平面厅的夹角为"平面a,4的法

两个平面的向量分别为〃1，〃2，则cos6=|cos〈〃1，〃2)1

夹角

_\ni-n2\

~M\n2\

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,y],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的

绝对值.

3.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补

角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

4.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求山两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角

的大小.

【题型4向量法求异面直线所成的角】

【例4】（23-24高二下•江苏盐城期中）如图，已知棱长为2的正方体力BCO-A/iGDi，E,F,G分别为

AB,CO1,力。的中点，则异面直线4G与E"所成角为（）

A.*B.：C.gD.]

【变式4-1］（23-24高二下•江苏淮安•期中）已知四面体力-BCD,其中40=BC=2,CD=AB=AC=BD=

瓜E为CO的中点，则直线与8E所成角的氽弦值为（）

【变式4-2］（23-24高二下•陕西榆林•开学考试）如图，在三棱锥P-ABC中，AABC为等边三角形，△PHC

为等腰直角三角形，PA=PC=4,平面/MCI平面4BC,。为力B的中点，则异面直线AC与P。所成角的余

C.*D.立

4

【变式4-3］（2024•全国•模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，乙48c="AB=乙PCB=90°,PA=2vL

BC=^AB=2,M是楂P8的中点，N是楂PC上靠近点P的四等分点，则异面直线MN与P4所成角的大小为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【题型5向量法求线面角】

【例5】(23-24高二下•江苏泰州期末)如图，正方体48。。一4/心。1的棱长为2,£为B5的中点,点M在

(1)求证：M为BO1的中点；

(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小.

【变式5・1](23-24高二下.四川成都.期末)如图，在斜三棱柱ABC-A.B.C,中，0,D分别是AB,CC.

的中点.

(1)证明:OD//平面;

(2)若AC1O&,乙B441=60°,且力B=AAX=2,AC=BC=^2,求直线81GL与平面441G所成角。

的正弦值.

【变式5-2]（23-24高二下.江苏盐城•期中）如图，在直三棱柱—中，AC=BC,=4B,D为

BB[的中点

（1）若£为AB】上的一点，且善=；,求证DE1CZ）；

AD4

（2）在（1）的条件下，若异面直线力位与CD所成的角为45。，求直线AC与平面4B]Ci所成角的正弦值.

【变式5-3]（23-24高二下•江苏扬州•阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形48CD为直角梯形，

ABIICDjDAB=60°,CD=ltAB=3qPBC为等边三角形，/为线段BC的中点，平面PC81•平面A8CD,E

为线段P尸上一点.

A

(1)证明：PFLAD,

（2）当E"为何值时，直线BE与平直PAD夹角的正弦值为¥・

4

【题型6向量法求二面角】

【例6】(2024.北京.高考真题)如图，在四棱锥P-48co中，BC//AD,AB=BC=1,4。=3,点E在4D

上，RPE1ADtPE=DE=2.

(I)若F为线段PE中点，求证：/平面PCD.

(2)若J_平面R4D,求平面P4B与平面PCO夹角的余弦值.

【变式6-1](2024•江西宜春•模拟预测)如图1,在五边形4BCDE中，=AD1DC,E4=ED且EA1

ED,将△4ED沿AD折成图2,使得EB=4B,尸为4E的中点.

图1图2

(I)证明：8F〃平面ECZ)；

(2)若EB与平面ABCD所成的角为30。，求二面角力-EB-。的正弦值.

【变式6-2](23-24高二下」:海.期末)如图，在三棱柱中,平面力CG41平面18C

四边形ACG4是边长为2的正方形.

(1)证明BC1平面

(2)若直线41C与平面4B8遇i所成的角为30。，求二面角8-4C一A的余弦值.

【变式6-3](23-24高三下.重庆.阶段练习)如图甲，菱形力8CD的边长为2,^ABC=\将△48。沿80向

上翻折，得到如图乙所示的三棱锥BCD.

甲乙

⑴证明：A'C1BD；

(2)若=在线段8D上是否存在点G,使得平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为手？若存在，求的

BG；若不存在，请说明理由.

【题型7利用空间向量研窕存在性问题】

【例7】(2024高三.全国.专题练习)斜三棱柱ABC-&&G的各棱长都为2,=60。，点4在下底

面ABC的投影为AB的中点O.

(1)在棱(含端点)上是否存在一点。使力1。1AG?若存在，求出B。的长；若不存在，请说明理由;

(2)求点儿到平面BCQBi的距离.

【变式7・1】(23-24高二下•浙江宁波・期末)如图，在五面体ABCDEF中，四边形4BCD为矩形，△FBC为

等腰直角三角形，且尸C