高考数学讲义：一元二次方程、不等式

元二次方程、不等式

I考试要求]

1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式.

2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等

式.

3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

以题弓I理・激活思维。----------------------教材母题街生理法系统结构

Nol.深研教材典题

1.（人教A版必修第一册P53练习T|⑴改编）己知二次函数），=ad+A+c的图象

如图所示，则不等式ad+法+c>0的解集是（）

A.（-2,1）B.（—8,-2）U（1,4-oo）

C.[-2,1]D.（-8,-2]U[1,4-oo）

2.（湘教版必修第一册P54例4改编）关于x的不等式手21的解集为（）

2-X

A.{x

B.{需WxV2}

C.（%x<-,或%>21

I3J

D.[x|x<j,或Q2}

3.（苏教版必修第一册P69习题3.3TII（2）改编）若不等式nvr+2/?u—2<0对一切实

数x都成立，则实数的取值范围为（）

A.（一2,0）B.（-2,0]

C.（一8,0）D.（-8,0]

4.（北师大版必修第一册P4i习题1-4B组Ti改编）已知关于x的一元二次不等

式加+法+1>0的解集是（一^^）,则〃+力的值是________.

5.（人教A版必修第一册P55练习T2改编汝口图，在长为12m,宽为10ml勺矩

形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面

积不超过总面积的?，那么花卉带的宽度的取值范围是(单位：m).

No2,储备知识要点

1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

项目J>0/=()J<0

二次函数

4I；/以

V7

hx+c(a>立

0)的图象

方程加

有两个不相等的

+〃工+。=有两个相等的实没有实

实数根XI,X2(X{<

(数根X1=X2=_[数根

06/>0)2a

XI)

的根

ax2+Z?x+c>0

xx

—l\*R

3>0)的解集

or+Z7x+c<0

m>o)的解集

2.分式不等式与整式不等式

(嘿>0(<0)可。)・g[x)>0(<0)；

(2舄河(4))={/3g⑺知仁°%

3.绝对值不等式

仅|>〃(々>0)的解集为{加欢―4,或/>〃);

|x|<a(a>0)的解集为{x|—a<x<a].

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

4.不等式加+法+<?>()(<())恒成立的条件

⑴不等式k2+反+c>。对任意实数上恒成立=卜=b=0,或『>°，

⑵不等式加+云+”0对任意实数X恒成立Ok=b=0,或1Q<°，

（cvoU<o.

No3.激活解题思维

1.一元二次不等式的解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的

根，体现了函数、方程、不等式三者间的内在联系.

2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式1一元二次不等式在给定区间

上恒成立，不能用判别式4一般分离参数求最值或分类讨论，注意数形结合在

解题中的应用.

精研考点-提升素养---------------------典题4根溯源变式迁移拓维

□考点一三个二次的关系

[典例1]⑴若关于x的不等式|F+〃u:+止0的解集为{小为且"2},则（）

A.〃7=3,〃=2B♦〃？=-3,〃=2

C.〃？=3,〃=-2D.ni——3，〃=-2

（2）（多选）已知关于工的不等式〃『十以+c<0的解集为口打《一2,或x23},则

下列说法正确的是（）

A.4Vo

B.。丫+。>0的解集为{%|x<6]

C.8〃+46+3c<（）

D.c『+Z?x+〃<0的解集为{x|—gVxV[}

名师点评：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向

及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

□考点二不等式的解法

［典例2］(1)(多选)下列选项中，正确的是()

A.不等式x2+工一2>()的解集为{可上<一2,或心>1}

B.不等式的解集为{川一3<<2}

C.不等式枕一2|21的解集为{x|lWxW3}

D.设x£R,则“|上一1|<1”是“空〈0”的充分不必要条件

(2)解关于X的不等式加一(4+l)x+l<O(^eR).

名师点评：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有:

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式/与。的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时必需根据两根的大小进行讨论.

［巩固迁移］

1.解关于x的不等式记+0¥+1VO(〃£R).

□考点三一元二次不等式恒成立问题

［典例3］已知函数/(1)=加一x+〃.

⑴不等式/(©>()的解集为R，求。的取值范围；

⑵若不等式/(x)>()对任意的x£(l,+8)恒成立，求。的取值范围.

【深度思考】若3］,/(幻22(〃-1)4+2〃一3恒成立，如何求实数x

的取值范围？

名师点评：恒成立问题求参数的取值范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数.

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式力；一元二次不等式在给定区间

上恒成立，不能用判别式4一般分离参数求最值或分类讨论.

(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式.

［巩固迁移］

2.(2025•安徽宿州期中)对于任意的x,)ER,定义运算：xO)，=x0+2).若不

等式xG)a+〃)+4>()对任意实数X恒成立，则。的取值范围是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(—6,6)D.(—2.2)

3.若不等式《+g+1>〃+m对满足依|<2的所