集合及其运算【10个核心题型归纳】-2027届高三数学一轮复习【原卷版】

第1讲集合及其运算

题型总览核心题型归纳（目录）

【题型1】元素与集合的关系

【题型2】集合中元素的特征

【题型3】集合间的基本关系

【题型4】子集真子集的个数

集

合

及【题型5】集合的交并补运算

其

运

【题型6】Venn图运算

算

【题型7】由集合的基本关系求参数范围

【题型8】由集合的交并|卜运算求参数范围

【题型9】容斥原理及其应用

【题型10】集合中的新定义问题

三K特性：确定性（标笊明确）、互异性（解口混出量）、无序性

常月收集：NN（自然数）、ZZ（整年）、QQ（有理故）、西（实效）、ATN・（正

—:列举法（右阳少元茶）、义述法（关注竖娱的代奏元索人图示法（Venn/散黝

1.2表示方法怎空集o/'驻00：不含任何元素，何集合子集，非空集合H子

警示：♦♦问R-讨论00情

定义：AU-A-B（X€4-X€8XWA=>X€B）,4£B

]子■个敛：”n元集合的子集2"2n,K子72--12n-1,非空艮子

-联系鼻曾皿：包生比对

'、、、」"上-"：；―/一连续蟹：壬数轴.,：巨一一点虚实

'、、_抽.StVenn图或性质报导

交集AC“AnB：公共部分

3.1交并补定义井集丝"AUB：合并去顺

集合及其运算朴集C“ACUA：全柒中除去CA的

德•摩根定律：“4C8)=/4)U(QBKU

3.2关键性质

三、曷本运算Ana•A*»AQB

等价转化：

AUB"A-BQA

有限集：Venn图:a充

33米解第整。一无限集：数物力完谟占取区⑥

点集：联立方程，结合几何意义

步一：化—集合-t讨论空集-->数轴分析跳点一-检

4.1含叁关系求值

-易”：）撑00、第点等号取舍楮误、未抬

(x|y=/(x)Hxly=f(x»：定义域(

四、高频考点与易楮区分(yiy-"OHy।y=3))：值G

4.2代聂元未辨析°

((x.y)iy=f(x)H(x.y)iy=f(x»：B

43新定义题型情玷：照相心日新定义,下依部依好；可用特使法七证送项

模块一I核心题型-举一反三

【题型1]元素与集合的关系

基础知识

核心知识

集合元素的确定性互异性无序性是判断元素与集合关系的基础

元素与集合的关系只有两种：属于（七）或不属于（促）

常见数集符号：N（自然数集）N*（正整数集）Z（整数集）Q（有理数集）股（实数集）

方法技巧

1.代入险证法：判断一个元素是否属于集合直接代入集合的描述条件验证即可

2.互异性检脸：若集合含参数求出参数后必须回代检验集合元素是否重复

3.符号区分：注意区分“属于（元素与集合）”和“包含（集合与集合）”符号避免混淆

【经典例题I]（2026・湖北武汉•三模）设集合U={1,2,3,456},集合。满足={1,3,5）,贝I」（）

A.2E8B.4cBC.{3}cBD.{1,4,6}cB

【经典例题2】（2026•北京丰台•二模）已知集合4={。1},A\JB={-1,0,1,2),则()

A.-16FB.一1£8

C.2EAC\BD.2e8

【巩固练习1】（2026・上海嘉定•二模）己知集合力=且1W4,则。=

【巩固练习2】（2026•安徽滁州••模）已知集合力={XI/一%一6工0},若aEA,且Q+3€4,

则。的取值范围是（）

A.[-2,3][-3,-1]C.[-2,0]D.[-3,2]

【巩固练习3]（2026•湖南湘潭•二模）设不等式％2+3x410的解集为M,则（）

A.V3EMB.-6eMC.1£MD.V6eM

【题型2】集合中元素的特征

基础知识

核心知识

确定性：给定集合任何对象都能明确判断是否属于该集合

互异性：集合中的元素互不相同是集合的核心性质也是高频易错点

无序性：集合中元素的顺序不影响集合本身

方法技巧

1.互异性优先：涉及含参集合时先根据条件列方程求解参数再检验元素是否重复

2.分类讨论：当集合中元素的膨式不确定（如含字母分式根式）时按元素类型分类讨论

3.排除法：利用元素的确定性和互异性排除明显不符合条件的选项

【经典例题1X2026•江西宜春•模拟预测）若集合4={2,Q,Q2},B={2,4},且BGA,则a的值为（）

A.4B.2或4C.-2或4D.±2或4

【经典例题2】（2026•山东烟台•二模）已知集合4={l,m},B={1,3,m2},若AU8,则实数m的值

为（）

A.0或一1B,0或1C.0或3D.1或3

【巩固练习1】（2026・江苏・一模）设集合4={-2,1,。},8={-1,。2},若AuB含有4个元素，则。=

（）

A.-1B.0C.1D.2

【巩固练习2】（2025•陕西榆林•一模）已知集合用={1,2。+3},可={1,。2},若乂=N,则实数a的

值为（）

A.-1或3B.0或一1C.3D.-1

【巩固练习3】（25-26高一上黑龙江鸡西•月考）已知QER,beR,若集合{a3,l}={a2,a+b,0},

则。2。26+启。25的值为（）

A.-2B.1C.-1D.2

【题型3】集合间的基本关系

基础知识

核心知识

子集：若集合A的所有元素都属于集合3则称A是B的子集记作Aq8

其子集：若4=5且4HB则称4是8的真子集记作AU8

空集：不含任何元素的集合记作。是任何集合的子集是任何非空集合的真子集

集合相等：若且则A=B

方法技巧

1.定义法判断：判断集合关系核心是判断一个集合的元素是否全部属于另一个集合

2.数轴/韦思图辅助：数集用数轴表示抽象集合用书网图表示直观判断包含关系

3.空集优先：含参集合讨论子集关系时必须先考虑集合为空集的情况避免漏解

4.符号辨析：区分“和“A08”前者包含A=8的情况后者不包含

［经典例题1】（2026•河南•模拟预测）已知集合A={x|x2—14x+40=0}>Z?={4,a+1,a2+1},

若AcB,则实数a的取值集合为（）

A.{9}B.{-3,3}C.{-3,9}D.{-3,3,9}

【经典例题2】（2026•西藏日喀则•模拟预测）集合力={1,a},B={0,a2,-a-2）,若AGB,则实

数a=（）

A.0B.2C.3D.-1

【巩固练习I】（2026•山东济南•三模）已知集合4={%卜<1},B=（x\x>l],则（）

A.AC\B=0B.A\JB=RC.B\JAD.AUB

【巩固练习2】（2026•湖南长沙•二模）已知集合乂={（%/巾2+（y-l）2=0},N={0,1}.则M与

N的关系是（）

A.M=NB.MGNC.M2ND.MnN=0

【巩固练习3】（2026•江西•模拟预测）设集合A={12a?},B={1Q+2},若BEA,则a=（）

f9I

A.0或一1B.0或2C.2或一1D.0或2或一1

【题型4】子集真子集的个数

基础知识

核心知识

若集合4含有"个元素则：

子集个数：2"个

真子集个数：2"-1个（去掉集合本身）

非空子集个数：2〃-1个（去掉空集）

非空其子集个数：2"-2个（去掉空集和集合本身）

方法技巧

1.先数元素个数：计算子集个数前先化简集合明确集合中元素的个数〃

2.特殊集合处理：空集的子集个数为1（只有它本身）单元素集合的真子集个数为1（只有空集）

3.易错点规避：注意题目是否要求“非空”“真”避免直接用2"作答

[经典例题1】（2026•河南商丘•模拟预测）已知全集U={xeN|（x+2）（%-6）＜0},集合4=[1,2,5},

则Q4的真子集个数为（）

A.3B.7C.15D.31

【经典例题2]（2026•陕西榆林・三模）集合4=（x\x3-2x2+x=0}的真子集的个数为.

【巩固练习1]（2026•西藏林芝•二模）若{2,0,1}G4G{0,2,1},则4的真子集个数为（）

A.8B.7C.6D.3

【巩固练习2】（2026・湖北褰阳•二模）已知集合力二{“€2弓＜2"V8},B4则符合条件的集合3

的个数为（）

A.2B.6C.7D.8

【巩固练习3】（2026•河南开封•模拟预测）己知集合力={xWN|霆＜0},8={6忱|V3},则71nB

的非空子集的个数为（）

A.3B.6C.7D.8

【题型5】集合的交并补运算

基础知识

核心知识

交集：由同时属于集合A和集合5的所有元素组成的集合记作AcB

并集：由属于集合A或属于集合8的所有元素组成的集合记作

补集：设全集为U由不属于集合A但属于U的所有元素组成的集合记作aA

运算性质：AcA=4A\JA=A4c0=0Au0=A$）=A

方法技巧

l.定义法直接运算：根据交、并、补的定义直接找出符合条件的元素

2.数轴法（数集专用）：对于区间型集合画数轴表示通过区间重叠部分快速确定交、并集

3.补集思想：当正面计算复杂时利用“正难则反”先求补集再转化求解

4.运算律应用：灵活使用分配律AC(3DC)=(AC8)U(ACC)、德摩根律

瘩(AD8)=(uA)c&B)简化运算

【经典例题1】(2026•天津河东•二模)己知全集U={0,1,234,5},集合4={0,1,4),集合8={疝G

A),则(CMC")=()

A.{2)B.{0,1}C.{3,5}D.{234,5}

[经典例题2](2026•山西大同•三模)已知全集U=R,集合M=[x\2x-3>3},N={x\3x>1},

则(QM)nN=()

A.(3,+8)B.(-oo,0]C.[0,3]D.[0,3)

【巩固练习1】(2026•浙江宁波•三模)已知集合4=[y\y=-x2],B={x\x>2},则下列说法正确的

是()

A.AC\B=BB.A\JB=R

C.(品力)U8=8D.(CRB)HA=A

【巩固练习2】(2026•河南•三模)己知集合4={X|/-5XW0},B={XEN|2WWW3},则8n

(CR4)二()

A.(5,9]B.[5,9]C.{6,7,8,9}D.{5,6,7,8,9}

【巩固练习3】(2026•江苏扬州•模拟预测)已知集合A={xeN*|x2-4x<0),集合CR。=[-14]，

R为实数集，则AC8=()

A.(1,4]B.(l,+oo)C.{1,234}D.{2,3,4}

【题型6】Venn图运算

基础知识

核心知识

Venn图用封闭曲线直观表示集合通过图形的重登、包含关系体现集合运算

核心关系：对应两圆重登部分对应两圆覆盖的所有部分对应全集内、集合A

外的部分

方法技巧

I.标注元素法：将集合中的元素标注在Venn图的对应区域直接读取运算结果

2.区域分析法：根据Venn图的区域划分理解“属于A不属于8属于8不属于A”等区域的含义

3.容斥原理结合：利用Venn图理解|AuB|=|A|+|8|-|Ac3|解决计数问题

【经典例题口(2026•内蒙古赤峰•三模)如图，已知全集U及其两个非空真子集力,8,则图中阴影部

分所表示的集合是()

A.i4n8

B.A\JB

C.AA(CyB)

D.8n(Q4)

【经典例题2】(2026•河北唐山•一模)已知全集U及其两个非空真子集M,N,则Q(MUN)=()

A.0B.MdNC.(QM)n(CuN)D.(QM)U(QN)

【巩固练习1X2026•海南省百辖兵级单位•模拟预测)已知全集U=R,集合力=(X|X<4},B=囚3<

x<5},则Venn图中阴影部分表示的集合是()

A.(-oo,3]U[4,4-co)B.(-8,4]U[5,+8)C.[5,4-oo)D.(5,+8)

【巩固练习2】(2026.河南南阳•模拟预测)(多选)已知U为全集，集合M,N,P均为非空集合,MCN羊

0,MC(CUN)=5P，则()

A.MGPB./VcpC.CuMGPD.QyNQP

【巩固练习3】(2025•辽宁•模%预测)已知集合力、B、C是全集U的三个真子集，力、8、C的关系如

Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为()

C.（AdC+BCiO-ACiBCyCD.An（CyCUF）

【题型7】由集合的基本关系求参数范围

基础知识

核心知识

已知（或4。8）结合集合的描述（如区间、方程的解）求参数的取值范围

核心逻辑：集合A的所有元素都必须属于集合B转化为不等式或方程的恒成立问题

方法技巧

I.分类讨论（空集优先）：先诃论集合A=0的情况此时参费满足使方程无解的条件

2.数轴法列不等式：若集合为区间型画数轴表示两集合的包含关系列出端点满足的不等式

3.端点验证：列出不等式后必须验证端点是否可取避免漏写或多写等号

4.互异性检险：若集合含参数求出参数后需回代检验集合元素的互异性

【经典例题I】(2026•陕西•二模)已知集合/={x|(x-a)(x+1)<0}(a>0),B={xeN|xt=2,tE

N*}，若4,则实数a的取值范围是()

A.[6,+8)B.(6,+8)C.[2,+8)D.(3,4-oo)

2

【经典例题2】(2026,青海西宁・二模)己知集合M=[x\x—ax<0},N=(x|log2(x十1)<1}»若AfG

N,则实数a的取值范围是()

A.(-oo,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,1]

【巩固练习1】(2026・湖北十堰•二模)已知集合4=&|Q-a)(X+l)W0}(a>0),B={x£N|

tx=6,te/V*},若B£A,则实数a的取值范围是()

A.[6,+00)B.(6,4-co)C.[3,+co)D.(3,+oo)

【巩固练习2】(2026・湖北•二模)已知集合M={x|x2—2x+a<0),/V={x|y=ln(x-4)),若

（CM）nyv=（4,+<»）,则。的取值范围是

KD()

A.(-8,-4]B.(-8,+8)C.[-4,+8)D.[—8,+8)

【巩固练习3]（2025•甘肃武威・模拟预测）已知集合力={%|“2—％—2<0},B={x\x2<a],若

8£4则a的取值范围为（）

A.(-oo,1]B.(0,1]C.D.(0,1)

【题型8】由集合的交并补运算求参数范围

基础知识

核心知识

已知集合运算的结果（如Ac3=0、ADB=B、Acq,8=0等）反求参数的取值范围

核心转化：将运算结果转化为集合的包含关系如4c笈=0转化为A、8无公共元索

转化为

方法技巧

1.运算转包含：

Ar>B=0：两集合无公共元素（数集用数轴看区间无重叠）

AuB=B：

AnB=A：A^B

2.补集转化：利用Ac3=0oAq率3转化为已知包含关系求参数

3.端点临界分析：重点关注区,可端点的取值避免因端点等号导致集合出现公共元素

4.多情况讨论：当集合为方程的解时需讨论方程无解、有一解、有两解的情况

[经典例题11（25-26高三上•上海徐汇•期中）已知集合力={x|^|>0],F={x|3p-2<x<2p-

1},BQQKA,则p的取值范围是（）

A.（W，+8）B.2+8）C.（一羽D.卜羽

【经典例题2】(2025•新强喀什•二模)己知集合力={泪"W2},B={x|x2-2x-3>0),C=

{x\x>Q}且4U(CRB)UC=R,则实数a的取值范围为()

A.(-1,4-co)B.(-oo,3)

C.(—co,-1]D.(-8,3]

【巩固练习1】(2026•上海普陀•二模)设a€R,集合M={-1,一2,-a},N={x\x2-ax<0],若

集合AG(MnN),且满足条件的4恰有2个，则。的取值范围为.

【巩固练习2](24-25高一上•上海•月考)已知集合4={x\x2-2x—3>0],B={x\x2-3ax+2a2<

0},若=则实数a的取值范围是_____.

【巩固练习3】(2025•海南僚外•模拟预测)已知集合A={x\l<x<4],B={x\2-m<x<2+m}.

(1)若=求实数机的双值范围；

(2)设q-.xEB,若〃是夕的充分不必要条件，求实数〃，的取值范围.

【题型9】容斥原理及其应用

基础知识

核心知识

两个集合的容斥原理：|AuBRA|+|8|-1Ac8|

三个集合的容斥原理

|Au8uC|=|A|+|3|+|C|-|Ac例一|AcC|-|3cC|+|Ac3cC|

本质：计算并集元素个数时减去重复计数的部分再加回多减的部分

方法技巧

1.韦恩图辅助计数：将题目中的数据标注在Venn图的各个区域直观理解重复部分

2.公式直接套用：明确题目涉及的集合个数直接套用对应的密斥原理公式

3.逆向思维：当直接计算并集困难时用“总数-都不属于的元素个数”求解

4.重复部分分析：重点关注“司时属于多个集合”的元素这是容斥原理的核心易错点

【经典例题1】(2026.安徽合肥.模拟预测)为了丰富学生的课余生活，促进学牛.全面发展，某校开

设了劳动实践、研学参观、AI技术培训13类拓展课程.高二某班学生共有32人报名参加拓展课程，其

中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参

加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和A[技术培训的有5人，只参加AI技术培训

的人数为（）

A.5B.6C.8D.10

【经典例题2]（25-26高一下•四川成都・期中）对班级40名学生调查对48两个事件的态度,有如下

结果：24人赞成4其余的不赞成；27人赞成8,其余的不赞成；另外，对48都不赞成的学生数比

对48都赞成的学生数的三分之一多1人，则对4B都赞成的学生有人.

【巩固练习I]（25-26高一上•四川巴中•月考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位

列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有

8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和

《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只

观看了《长安的荔枝》的人数为（）

A.7人B.8人C.9人D.10人

【巩固练习2]（2027高三•全国•专题练习）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其

中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有

12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有人.

【巩固练习3]（2025高三・全国•专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一

某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参

加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛.以下说法

正确的有（）

A.同时参加径赛和球类比赛的人数有3人B.只参加球类一项比赛的人数有2人

C.只参加径赛一项比赛的人数为。人D.只参加田赛一项比赛的人数为3人

【题型10】集合中的新定义问题

【经典例题I]（2026•河南开封•二模）定义集合4-B={x\xE4旦xWB},已知集合4={1,。},B=

[2,。},若{-8={1},则下列一定成立的是（）

A.a=2B.b¥1C.AClB=⑵D.B-A={2}

【经典例题2】（2026•福建漳州•三模）已知是集合A的非空子集，若432=0，则称（4，%）

是集合力的“互斥子集组”，并规定（4,%）与（%，4）为不同的“互斥子集组”.集合{1,2,3,4}的不同“互

斥子集组”的个数是.（用数字作答）

22

【巩固练习1]（2026.广东东莞.模拟预测）已知集合/l={（^y）|x+y<h^yez},5=

{（x»y）||x|<2，|y|<Vx>yGz},定义集合4㊉B={（修+不少1+%）I（叼月）€4（叼及）£B},

则力㊉B中元素的个数为.

【巩固练习2]（2026•山东德州•模拟预测）已知4,B,C为集合M={l,2,-,n）（nGN]的非空子集，

满足：

①4n8=/nC=BnC=0,AUBUC=M；

②{%eM|%=3k,kEN・}G4B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③4,B,C中所有元素的和分别记为品，52,S3,且&=52=S3.则正整数n的最小值为.

【巩固练习3】（24-25高三上•陕西・期中）【多选题】已知集合An={xWNl2n

N*）,B=\x\x=3m,mEN*}>iECn=AnC\B,则（）

A.4中有个元素

B.Go中的最大元素为2046

C.当九为偶数时，C”中有。个元素

D.当n为奇数时，Cn中的元素之和为22时1+2时1

课局1哪测

一、单选题

1.(2026・四川雅安•二模)下列关系正确的是()

A.0e{O}B.ZQ

c.{1}C{(U)}D.{2,3}q{3,2}

2.(25-26高一上•重庆渝中•期末)已知集合A={%|/V4},集合B=W则4八8=()

A.[1,2}B.{0,1}C.(-2,2)D.(0,2)

3.(2026.云南.模拟预测)已知集合力={x\x2-5x+6=0},B={x\x<4,xE3},则405=()

A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,2}D.{1}

4.(2026•四川成都•三模)设全集U={xEZ\\x\<3},集合A={-3,2,3],5={-3,0,2},则[5UB)=

()

A.{-3,0,2,3}B.{-2,-1,1}C.{-3,2}D.{0,3}

5.(2026•山西•二模)集合A={x|lnx<2},B={yEN]2y>8},则4n8=()

A.(3,J]B.{3,4,5,67,8}C.{45,6,7}D.0

6.(2026•安徽安庆•三模)设集合力={x|-l<x<1],B={x\x>a],若力nB=力，则a的取值范

围()

A.a>1B.a<—1C.a<1D.a>1

7.(2026•甘肃兰州•模拟预测)已知集合4={1,2,3},B=[x\x<t),若AnB恰有4个子集,则t的

取值范围为()

A.[2,3)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,4)

8.(2026・陕西咸阳•三模)已知集合时={"|黑<0},N={x\2x>a],若MWN,则实数a的取

值范围为()

A.(—co,14]B.(—co,14)C.(—2,4-oo)D.(—oo,-2]

9.(2026•广东江门•二模)已知集合力={用一1<%<。},B={x\x<2a-1},且4G8,则a的取

值范围是()

A.(—1,1]B.(1,+8)C.[1,+8)D.(—8,—1]U[1,4-OO)

10.(2026・陕西榆林•模拟预测)已知集合A=[y\y=(1},集合B=卜WZI/一2%-3V0},则

4n8=()

A.(-1,3)B.(0,3)C.{1,2}D.{0,1,2}

11.(2026•陕西榆林•三模)已知集合A={%|2%