集合及其表示方法（学生版）-人教B版高中数学同步讲义（必修一）

1.1.1集合及其表示方法

J常考题型目录

题型1判断给定的对象能否构成集合...............................................................3

题型2判断元素与集合的关系.....................................................................4

题型3集合的表示................................................................................6

♦类型1列举法表示集合....................................................................6

♦类型2描述法表示集合....................................................................7

♦类型3列举法与描述法的理解..............................................................8

♦类型4区间表示集合.....................................................................10

题型4根据元素与集合的关系求参数..............................................................10

题型5集合元素互异性的应用....................................................................11

题型6集合与一元二次方程......................................................................11

c知识梳理

知识点一.元素与集合的概念

1.元素：一般地，把研究对象缔为元素(element),常用小写的拉丁字母a,b,c..表示.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set),(简称为集)，常用大写拉丁字母LB,集•表示.

3.空集：不含任｛可元素的集合称为空集，记作0.

知识点二.元素与集合的关系

1.属于：如果a是集合力的元素，就说8属于集合力,记作型.

2.不属于：如果a不是集合力中的元素,就说a不属于集合记作24

知识点三.集合元素的特点

1.确定性：集合的元素必须是确定的。

2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。

3.无序性：集合中的元素可以任意排列。

知识点四.集合相等

集合相等：给定两个集合和如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等，记作

ABA=BO

知识点五.集合的分类

1.有限集：含有有限个元素的集合。

2.无限集：含有无限个元素的集合。

知识点六.常见的数集及表示符号

数集非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

知识点七.集合的表示方法

L列举法：把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号」宜二括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法：一般地，设/是一个集合，把集合2中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为｛x

£川氏刈，这种表示集合的方法称为描述法.

3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合.为了方便起见，我们引入区间

(interal)的概念.

①一般区间的表示：设a,6是两个实数，而且,我们规定：这里的实数”/叫做区间的端点.

在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示

{布<x<b}闭区间

211

{^a<x<b}开区间（火〃）

1I>

{和<x<b}半开半闭区间口,〃）

A

71

{布<x<h}半开半闭区间（。网

-----►

②实数集R可以用区间表示为（-8,+8）,"8"读作"无穷大"，"-8"读作"负无穷大"，"+8”

读作"正无穷大”

③特殊区间的表示

定义符号数轴表示

x>a

(a,+oo)U

C

x>a[%+8)

G--A

x<b(-

x<b（一8,同

4

C题型分类

题型1判断给定的对象能否构成集合

【方法总结】判断一组对象是否为集合的三依据

（1）确定性：负责判断这组元素是否构成集合.

（2）互异性：负责判断构成集合的元素的个数.

（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关.

【例题1】（多选）（2023•江苏高T畏期作业）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）

A.某校高一年级成绩优秀的学生

B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C.不小于3的自然数

D.2022年第24届冬季奥运会金牌获得者

【变式1-1】1.侈选）（2021秋福建泉州高一校考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是［）

A.全体较高的学生B.所有素数

C.2021年高考数学难题D.所有正方形

【变式1-1】2.（2023・全国•高T段期作业）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.上课迟到的学生

B.2022年高考数学难题

C.所有有理数

D.小于x的正整数

【变式1-1]3.（2023♦全国•高T段期作业）由下列对象组成的集体属于集合的是—（填序号）.

①不超过10的所有正整数;②高一⑹班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于

自身的数.

【变式1-1]4.若以集合力的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）

A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

题型2判断元素与集合的关系

【方法总结】判断元素和集合关系的两种方法

（1）直接法：集合中的元素是直接给出的.

（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

【例题2-1]（2021秋高一课时练习）已知①而GR;0|GQ;③0={0}；@0eN;⑤TTWQ;⑥-3€Z,

其中正确的个数为.

【变式2-1】1.（2022・高一课时练习）用符号或"阵"填空：

1—N,-3—N,0.3_Q,V2_N,

1_Z,-3_Q,0_Z,V2_R,

0—N*fn_R,y_Q,cos30°_Z.

【变式2-1】2.有下列说法：

①集合N中最小的数为1；②若-WN,则8WN;③若WN,bGN,则a+6的最小值为2;④所有小

的正数组成一个集合.

其中正确命题的个数是()

A.OB.1C.2D.3

【变式2-1]3.(2022秋云南曲靖•高一曲靖一中校考阶段练习)已知集合4=[｛。｝,。｝,下列选项中均为

力的元素的是_________.(填写序号)

①｛。｝②｛。｝③°④｛。卜。｝

【例题2-2】用符号或“住”填空：

⑴设集合B是小于4T的所有实数的集合厕2V3B,l+&B.

⑵设集合C是满足方程艮中〃为正整数)的实数x的集合，则3C,5C.

⑶设集合D是满足方程六N的有序实数对牝联勺集合厕-1D,(-l,l)D.

(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)—A,(1,1)A,(-l,l)A.

【变式2-2]已知集合例有2个元素％2-x,若-14忆则下列说法一定错误的是_______.

6

【例题2-3】集合A中的元素x满足^—WN,xeN,则集合A中的元素为.

【变式2-3】1.集合Z是由正整数构成的且满足"若x^A,则10-,则集合/中元素个数至多

有多少个？

【变式2-3]2.集合力是由形如也6+,"WZ)(例如数2^2-1)的数构成的，判断J片是不

是集合力中的元素.

【变式2-3]3.如果具有下述性质的x都是集合例中的元素，其中x=a+舶a、b为有理数)，则下列元

素中，不属于集合例的元素的有【)

]⑤x二七6-4田+76+4啦

@%=o;②x=3;®x=3-2\ETT;@x=

3-2小

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例题2-4](多选X2023秋•湖南怀化•高一统考期末)已知M是同时满足下列条件的集合:①O£M,1WM;

②若x,y£M,则x-yWM；③xWM且xHO,则:WM.下列结论中正确的有()

A•*MB—M

C.若％y£M,则x+yWMD.若％yWM,则xyWM

【变式2-4]1.(2022秋・江苏扬州•高一校考开学考试)以某些整数为元素的集合P具有以下性质：

(1)P中元素有正数，也有负数；(2)P中元素有奇数，也有偶数；

(3)—1任P;(4)若工、yEP,贝卜十yeP.

则下列选项哪个是正确的()

A.集合P中一定有0但没有2B.集合P中一定有0可能有2

C.集合P中可能有0可能有2D.集合P中既没有0又没有2

【变式2-4]2.(2022秋・重庆万州•高一校考阶段练习)设4是实数集，满足若力，则:日，g1，且164

1-a

(1)若2W/1,则集合A中至少还有几个元素?求出这几个元素.

(2)集合力中能否只含有一个元素?请说明理由.

【变式2-4】3(2022秋・安徽合肥・高一校考阶段练习股数集力由实数构成且满足若xe4%学1且x=0),

则…

(1)若264，试证明4中还有另外两个元素；

(2)集合4是否为双元素集合,并说明理由；

(3)若力中元素个数不超过8个，所有元素的和为日,且人中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合4

题型3集合的表示

♦类型1列举法表示集合

【方法总结】用列举法表示集合应注意的两点

(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素；

(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.

【例题3-1］用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程必=2x的所有实数解组成的集合;

⑶直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合；

(4)由所有正整数构成的集合.

【变式3-1】用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合力;

(2)方程2-9=0的实数根组成的集合8;

(3)一次函数x+2与-2x+5的图象的交点组成的集合D.

♦类型2描述法表示集合

【方法总结】

一.两步认识描述法表示的集合

(1)一看代表元素：例如｛M/XM｝表示数集，｛(x,二向初表示点集.

(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征).

二.利用描述法表示集合应关注五点

⑴写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合｛xwR|x<l｝不能写成3<1｝.

(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，｛xGZ|x=2m，足Z,这种表达方式就不符合要求，需

将化Z也写进花括号内，即UGZ|x=2勺杷Z｝.

(3)不能出现未被说明的字母.

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程M-2x+1

=0的实数解集可表示为｛xwR|/-2x+1=0｝,也可写成例2-2x+1=0｝.

【例题3-2】用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

【变式3-2】1.用描述法表示下列集合：

(1)(0,2,4,6,8).

(2)(3,9,27,81,...}.

(4)到两坐标轴距离相等的点.

【变式3-2】2.用描述法表示下列集合：

⑴{3,6912,...}.

(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.

(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.

【变式3-2】3.下列三个集合:

①4=3片"+1};

②6=W二求+1};

③+1}.

Q)它们是不是相同的集合？

(2沱们各自的含义分别是什么？

♦类型3列举法与描述法的理解

【方法总结】

1.对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，

如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其

他元素用省略号表示，如N•二{1,2,3

2.一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合.

【例题3-3】教材给出了奇数集合{后©>=2〃+1,蛇Z}.

(1)用这样的方法表示偶数集.

(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合.

(3)当於Z,yeZ点(x,另称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？

【变式3-3]1.(2023・江苏•高T限期作业)用适当的方法表示下列集合.

⑴方程组FAX：]；的解集；

(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；

(3)方程d一4%+4=0的实数根组成的集合；

(4)二次函数y=d+2%-10的图象上所有的点组成的集合；

(5)二次函数y=d+2%-io的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

【变式3-3]2.(2023•全国•高一假期作业)用另一种方法表示下列集合：

(1“-3,—1,1,3,5j；

(2)：1,22,32,42-)；

(3)已知M={2,3},P={卜，y)eM,yeM},写出集合P;

(4)集合A={x€Z|-2<x<2},B={x2-l|xe>1},写出集合B.

【变式3-3]3.(2023・全国•高一假期作业)表示下列集合：

(1)清用列举)去表示方程后』+|2y+l|=0的解集；

(2)清用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；

（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；

（4）清用描述法表示二次函数y=d+2%-io的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

【变式3-3]4.（2021秋•上海消东新•高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合M=[x\xeZ,£G

N]=_.

【变式3-3]5.（多选）（2023•江苏♦高T段期作业）方程组二二的解集可表示为（）

A二}B"砒：;}

C.{1,2}D.{（1,2）}

♦类型4区间表示集合

【例题3-4]（2022・高一课时练习）用区间表示下列的集合

{x|-1<x<2]{x|-6<%<-1}{x\x<7}{x\x>3}{x|2<x<5}

【变式3-4】1.（2020・高一课时练习）用区间表示不等式2%->%的所有解组成的集合A.

【变式3-4]2.（2020・高一课时练习）已知区间[a-1,a]关于原点对称，求a的值，并写出该区间.

题型4根据元素与集合的关系求参数

【方法总结】由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤

【例题412023•江苏•高一假期作业后知集合A含有两个元素a和a2若2eA则实数a的值为

【变式4-1]1.（2023・全国•高一假期作业）已知集合4中含有两个元素Q-3和2a-1.

（1）若-2是集合4中的元素，试求实数a的值；

（2）-5能否为集合力中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.

【变式4-1]2.（2022秋•高一课时练习）记方程/-％-m=0的解构成的集合为M,若2€M,试写出集

合M中的所有元素.

【变式4-1】3.集合/是含有两个不同实数？3,28-1的集合，求实数d的取值范围.

【变式4-1】4.若由*2019d组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（）

A.OB.2019C.1口.0或2019

题型5集合元素互异性的应用

【例题5】（2023・上海・）"notebooks"中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是_____________

【变式5-1]1.（2022•上海•高一专题练习）非零实数Q,计勾成的数2+2+黑能组成的集合是

1«1b\ab\

【变式5-1】2.（2023・高一课时练习）由兄-凡⑷,而构成的集合中，元素个数最多是_____.

【变式5-1]3.（多选）（2021秋•高一课时练习）设a/,c为非零实数，代数式由+高+百+熟的值所

组成的集合是M,则下列判断正确的是（）

A.-4eM

B.0wM

C.4eM

D.以上都不正确

【变式5-1]4.（2023•江苏•高一假期作业）已知集合S中的三个元素a,b,c是MBC的三条边长,那么

△ABC一定不是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

题型6集合与一元二次方程

【例题6]（2022秋•广东揭阳高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知集合力={xe/?|ax2-3x+l=

0,Q€R}.

(1)若1w4,求实数a的值；

(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；

(3)若集合A中仅含有两个元素,求实数a的取值范围.

【变式6-1]1.(2023・高一课时练习)已知A为方程ad+2x+l=0的所有实数解构成的集合，其中a

为实数.

⑴若A是空集，求a的范围;

(2)若A是单元素集合，求a的范围：

(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

【变式6-1]2.(2022秋•高一课时练习)已知集合M={xl(x-a)(x2-ax+a-1)=0]}中各元素之和等

于3,求实数a的值，并用列举法表示集合M.

【变式6-1]3.(2022秋•黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考阶段练习)已知方程d+Q%+b=o.

⑴若方程的解集为。，求实数a,b满足的关系式；

(2)若方程的解集有两个元素分别为1,3,求实数a,b的值

【变式6-1]4.(2022秋・山东淄博•高一校考阶段练习)已知集合力=(xlax2+2x+1=0,aeR],

⑴若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

题型7集合新定义

【例题7】已知/:{123},B={