高考数学 常用逻辑用语（附解析）

常用逻辑用语

新课标要求真题分布

2025

北京卷T

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.年7

2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与2024

新高考II卷T2

充要条件的关系.年

3.理解全称鼠词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.2023

新高考I卷T

年7

必备知识•助学教材清单式排查彰显一个“准”

知识清单

1.充分条件、必要条件与充要条件

p是q的________________条件p=q且qD=lp

P凫q的________________条件pDnlq且qnp

p是q的________________条件poq

p是q的_________条件pDaq且qDnlp

剖析若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A={x|x满足条件日，B

={x|x满足条件q},

①若〃是g的充分条件，则彳£8；

②若P是夕的必要条件，则8U4；

③若〃是4的充分不必要条件，则4B；

④若p是9的必要不充分条件，则8A；

⑤若p是9的充要条件，则彳=8.

2.全称量词与存在量词

⑴短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做,用符号"”表示.

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做,用符号“”表

示.

3.全称量词命题与存在量词命题及其否定

名称全称量词命题存在量词命题

结构对“中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记

—p(x)

否定3xGM,「p(x)—

注：M为变量X的取值范围

自主诊断

1.思考辨析（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）当〃是q的充分条件时，q是〃的必要条件.（）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（）

⑶*>1”是“x>0”的充分不必要条件.（）

（4）命题si吗+cos2：=针是真命题.（）

2.（人教A版必修一P31习题「.2改编）下列命题为假命题的是（）

A.有些实数是无限不循环小数

B.每一个末位是。的整数都是5的倍数

C.至少有一个整数"，使/+1是4的倍数

D.对任意负数x,«的平方是正数

3.（多选）（人教A版必修一PIN例1改编）下列命题中，p是q的充分条件的是（）

A.若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直

B.若r=1,则x=l

C.若a=b,则ac=bc

D.若x,y为无理数，则xy为无理数

4.（人教A版必修一P30例4（3）改编）命题“有一个偶数是素数”的否定是

考教衔接•活用教材探究式精练收获一个“赢”

命题点一充分条件与必要条件

考向1充分条件、必要条件的判定

例1（1）（2025•天津卷）设x£R,则“x=0”是“sin2x=0”的（）

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）（2025•北京卷）己知函数加）的定义域为D,则“函数人x）的值域为R”是“对任意

MWR,存在刈£。，使得的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［听课笔记］...................................................................

学才皂忆：充分条件、必要条件的判断方法

（1）定义法：根据p=q，q=p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要

分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难

时，可举反例判断.

（2）集合法：如果条件p和结论q都以集合的形式出现，即A={x|x满足条件p}B={x|x

满足条件q}，那么若AGB,则p是q的充分条件：若A3B,则p是q的必要条件；若p=

q，则p是q的充要条件.

跟踪训练（1）（2026•六安毛坦厂中学模拟）%>£'是a>lg夕'的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）（2026•鸵州模拟）设4一{x|l£2Y4},4—**《公},贝晨匕4是.¥£4的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

考向2充分条件、必要条件的探求与应用

例2（1）已知a,b£R,则以下选项中为、>6”的充分条件的是（）

A.3a>4bB.a2>h2

C.a>\b\D.2">3〃

（2）（2026・包头模拟）设x£R,则“x2-5x<0”是“打一。|<1"的必要不充分条件，则实数

a的取值范围为（）

A.[1,4]B.（一8,|]

C.[4,+8）D.（1,4）

[听课笔记]...................................................................

名加皂记：（1）充分不必要条件的探求是选择推出结论的条件（选择题中是由选项推出结

论）；必要不充分条件的探求是判断由结论能够得到什么条件（选择题中是由结论推出选项）.

（2）在利用集合关系列不等式时，不等式是否能够取到等号直接决定着端点值的取舍，

在这里容易增解或漏解.

跟踪训练（1）“一元二次方程/+公+1=0有实数根”的充要条件是：

(2)“一元二次方程。一编(4一4一1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不

必要条件可以是;

(3)“一元二次方程/+如+1=()有两个不相等的正实数根”的充要条件是.

命题点二全称量词与存在量词

考向I含量词命题的否定及真假判断

例3(1)(2026•哈尔滨二模渝题uVx>0,8+lW3x”的否定是()

A.aWO,e'+l>3xB.3x>0,e'+lW3x

C.3x>0,e-^-\>3xD.V.r>0,er+l>3x

(2)(链接2024年新高考H卷)已知命题p：VxeR,|x4-l|>l,命题q：3x>0,7=x,则()

A.p和q都是真命题

B.「〃和夕都是真命题

C.p和工/都是真命题

D.7)和"都是直命题

真题探源(源自人教A版必修一P35T7改编)下列命题的否定为真命题的是()

A.一元二次方程/一“一1=0有实根

B.每个正方形都是平行四边形

C.力〃£N,Vm2+1GN

D.存在一个四边形,44CQ,其内角和不等于360。

［听课笔记］...................................................................

君亦皂记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论.

(2)判定全称量词命题“Vx£M,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证

明p(x)成立；判定存在量词命题“mx£M,p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x

使p(x)成立即可.

考向2由含量词命题的真假求参数

例4(2026・南阳模拟)已知aWR,若“*£R,。=2'+1”为假命题，则。的取值范围是

()

A.(一8,1)B.(1,+8)

C.(一8,］］D.［1,4-oo)

［听课笔记］...................................................................

学密皂忆：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数

的范围；二是利用等价命题，即P与邛的关系，转化成由「P的真假求参数的范围.

跟踪训练若命题“太£R,f+(a—l)x+lvO”是假命题，则实数〃的取值范围是

()

A.{a|—lW“W3}

B.{a\~\<a<3}

C.{丽W—I,或心3}

D.{a\a<—1,或a>3}

常用逻辑用语

必备知识•助学教材

知识清单

1.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要

2.(1)全称量词V(2)存在量词3

3.PxGM,p(x)Vx£A/,~7?(.¥)

自主诊断

1.答案：(1)4(2)7(3)4(4)x

2.解析：对于A,实数包含有理数和无理数，其中无理数包含无限不循环小数，故A

为真命题；B为真命题；对于C,假设有一个整数明使/+1是4的倍数，则〃2+1能被4

整除，故〃2+1为偶数，所以/为奇数，即〃为奇数，设〃=2%+1,A^N,则〃2+1=43

+4〃+2,故/+1除以4的余数为2,与题设矛盾，因此不存在整数％使〃2+1是4的倍

数，故该命题为假命题；D为真命题.故选C.

答案：C

3.解析：A中p=g,所以p是q的充分条件；B中由于(-1)2=],但一1力，所以

》q,所以P不是9的充分条件；C中由等式的性质知，p=q,所以p是q的充分条件；D

中企为无理数，但&X&=2为有理数，pF>q,所以〃不是q的充分条件.

答案：AC

4.答案：任意一个偶数都不是素数

考教衔接•活用教材

例1解析：(1)由x=O=sin2r=sin0=0,则％=0”是“sin2x=0”的充分条件；又当x

=%时，sin2x=sin2n=0,可知sin2x=0ORx=0,故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，

综上可知，"x=0”是"sin2Y=0”的充分不必要条件.故选A.

解析：(2)若函数/W的值域为R,则对任意M£R,一定存在知£。，使得/(xi)=|M+l,

取xo=m,则1/(XO)|=M+1>M,充分性成立；取./W=2r,O=R,则对任意一定存

在不£。，使得y(xD=|M+l,取xo=R,则=但此时函数人工)的值域为(0,

+8),必要性不成立，所以“函数及0的值域为R”是“对任意HER,存在祝仁。,使得I/IWAAT

的充分不必要条件.故选A.

答案：(1)A

答案：⑵A

跟踪训练解析：⑴±Jy=lgx在(0,+8)上单调递增，所以lgq>lg/>=4>力>0,当0>a>b

时，lg%Igb没有意义,所以。»不能推出IgAlgR所以“公沙”是“lga>lgb”的必要不充

分条件.故选B.

解析：(2)由4={*|1&2±}=30人2},B={X\X2<4X}={X\0<X<4],所以4字8,艮

力是的充分不必要条件.故选A.

答案：⑴B

答案:(2)A

例2解析：⑴若〃一一4,〃一一3.5,满足3a>4A,不满足aN),故A不符合题意，当

a=-2,b=l满足/>丛,不满足心仇・・・B不符合题意；若。>|臼，又・•・〃»,.・・C

符合题意；〃=-3,b=-2>满足2。>3:不满足心力，故D不符合题意.故选C.

(2).・・f-5x<0,，(Kc<5,V|x-a|<l,Aa-1<x<a+1,，0<x<5是a-l<x<a+l的必要不充

A-1>Da—1>°,

分条件，则,一，或得。£口，4].故选A.

,a4-1<5(a+1<5,

答案：⑴C

答案：⑵A

跟踪训练解析：(1)一元二次方程/+6+1=0有实数根，应满足/=片一4X),

解得好一2或e2,

・•・实数a的取值范围是(-8,-2]U[2,+oo).

(2)一元二次方程(x—〃)(x—a—1)=0的两个根为a,a+1,

•・•有一个正实数根和一个负实数根，

a<0,

:.—1<zz<0.

a+1>0,

•・•(-[0)(-1,0),

，“一元二次方程(x-a)(x-a-l)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要

条件是{a|一：<avo}(不唯一).

(3)一元二次方程/+仆+1=。有两个不相等的正实数根，

则J=a2—4>0,a>2或a<—2,

又两个根的和一。>0,・・・。<0,

:.ci<—2,

・•・“一元二次方程/+次+1=0有两个不相等的正实数根”的充要条件是{a|av-2}.

答案：(1)(一8,-2]U[2,+劝(2){W一，7<0}(不唯一)

⑶{加一2}