2026年高考数学一轮复习考点讲义（新高考）函数模型及其应用（学生版+解析）

第08讲函数模型及其应用

目录

考情探究................................................................2

知识梳理................................................................2

探究核心考点............................................................3

考点一指数法数模型......................................................................3

考点二对教法教模型......................................................................4

考点三建立拟合舀数模型解决实际问题..................................................5

三阶突破训练............................................................6

基础过关...................................................................................6

能力提升...................................................................................9

真题感知..................................................................................11

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏卜，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、哥函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型(指数函数、对数函数、基函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型)的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考更习的重要内容

＞知识梳理＜

知识点1三种函数模型的性质

函数y=axy=\ogax

性31)3>1)(心0)

在(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随工的增大逐渐表现为随工的增大逐渐表随〃值变化而各有

图象的变化

与谢平行现为与.回平行不同

知识点2常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax-\-b{a,。为常数，。?0)

二次函数模型J[x)=ar++c(a,b,c为常数,aXO)

反比例函数模型_/U)=§+〃(3〃为常数且攵¥0)

指数函数模型/（幻=6?+（?（。，b,c为常数，a＞0且aNl,力KO）

对数函数模型/U)=3og“r+c(a,btc为常数,“>()且力#0)

基函数模型h,a为常数，a#0,ar0)

知识点3解函数模型问题的步骤

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

（3）解模：求解数学模型，得出数学结论.

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

＞探究核心考点＜

考点一指数函数模型

典例1.（2025•广东汕头•模拟预测）某食品保鲜时间V（单位：小时）与储藏温度x（单位：0）满足函数

关系y=e"+&（k,〃为常数）若该食品在0℃的保鲜时间是168小时，在20℃的保鲜时间是42小时，则该

食品在30C的保鲜时间是（）

A.21小时B.22小时C.23小时D.24小时

典例2.（2025•北京房山•一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地

繁殖后代，且有时不同的世代能在同••时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符

合模型：N（/）=N°e”，其中即为种群起始个体数量，7•为增长系数，N⑺为f时刻的种群个体数量.当，=3

时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N（4）=150,则N（10）=（）

A.300B.450C.600D.750

跟踪训练1.（2025•云南昆明•模拟预测）已知某种水果的保鲜时间）’（单位：小时）与温度x（单位：。C）

近似满足函数关系y-c皿〃（。力为常数，e为自然对数底数），若该品种水果在时的保鲜时间为192小

时，在17C时的保鲜时间为96小时，则在30七时，该种水果的保鲜时间约为（）

A.12小时B.24小时C.36小时D.48小时

跟踪训练2.（2025•北京平谷•一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单

位：mg/L）与时间/（单位：h）间的关系为其中七次是正的常数，如果前10h消除了5（）%的

污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

考点二对数函数模型

典例L（2025•新疆乌鲁木齐•三模）溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中

[H[表示溶液中氢离子的浓度（单位：inol/L）.某强酸溶液加水稀释后pH值增加2,则稀释后溶液中氢

离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（）

1

A.2C.100D.

Too

典例2.（2025•广东广州•二模）声强级乙（单位：dB）由公式。=101g（涡）给出，其中/为声强（单位：

W/m2）.轻柔音乐的声强一般在l（T8~l（T6w/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A.。〜20dBB.20-40dB

C.40~60dBD.60〜80dB

跟踪训练1.（2025•四川成都•二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮

度J。为标准，天体的星等/"与亮度/满足机=-；怆：，已知北极星的星等为2,牛郎星的星等为0.8,则北

极星与牛郎星的亮度之比为（）

AB

-102-10-2C.10*D.|O25

跟踪训练2.（2025・贵州六盘水•一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是

使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说

的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lg4其中A是被测地震的最大振幅，4是"标准地震〃的振幅（使用

标泮地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），假设在一次地震中，一个距离震中100T-

米的测震仪记录的地震最大振幅是50,此时标准地震的振幅是0.002,则这次地震的震级为（）（精确到

0.1,参考数据：lg2=0.3）

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

考点三建立拟合函数模型解决实际问题

典例1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金130万元，

在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的

年份是（）（参考数据：怆1.12,0.05,怆1.3-。.11,怆2^。.30）

A.2026年；B.2027年；C.2028年；D.2029年.

典例2.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温

度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔

lmin测量一次茶水温度，收集到以下数据：

时间/min012345

水温/团857973.668.7464.3460.24

设茶水温度从85P开始，经过/min后温度为V氏为了刻画茶水温度随时间变化的规律.现有以下两种函

数模型供选择：①/=履'+/2；（l）y=at2+bt+c

⑴选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；

⑵若茶水温度降至55P时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放

置多长时间才能达到最佳饮用口感？

（参考数据：1g2=0.30,1g3之0.48）

跟踪训练1.人工放射性核素碘-131可发射夕射线治疗甲亢，己知该物质的半衰期为8天，设质量为。的碘

-131经过X天后剩留的质量为y,则y关于X的函数解析式是（）

IflY、

A.=q—♦XGNB.y=a—J,AGN

\2/

C.y=a—,xeN,尸，

I8)D.y=a(0.5xeN

跟踪训练2.近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱.某平台从2021年初建立开始，得到了

很多网民的关注，会员人数逐年增加.已知从2021到2024年，该平台会员每年年.末的人数如下表所示:

（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）

建立平台第X年1234

会员人数y（千

16285286

人）

⑴请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台工（xeN”）年后平台会员人

数¥（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：

@y=-+c（b>0）,②y=dlogz,尤+eQ,>0且rwl）,③y=〃/+$（〃>0且aw1）；

X

（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过卜4,伙>（））千人，请根据（1）中你选择的函数

模型求々的最小值.

>三阶突破训练<

基础过关

一、单选题

1.（2025•福建漳州•一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mg/L）

与时间”单位：h）间的关系为尸=R）e”,其中外，&>0,若在前5h内消除了10%的污染物，则15h后污

染物含量还剩余（）

A.70%B.85%C.81%D.72.9%

2.12025•广西北海•模拟预测）DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S。）随时间”单位：月）

的变化满足对数型函数模型：S（/）=〃ln（f+1）+5（）,其中〃是常数.若DeepSeek在经过3个月后评分增长

到70,则满意度评分5（1）为（•

A.60B.61C.62D.63

3.（2025・甘肃天水•三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重

影响生活的问题.经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率/（单位：心跳次数下由「）与体重W（单位：Kg）的

（次方成反比.若A、8为两个睡眠中的恒温动物，4的体重为2色、脉搏率为210次.minT，B的脉搏率是

70次min"，则B的体重为（）

A.6KgB.8KgC.18KgD.54Kg

4.（2025•福建莆田•三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有acm'

的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过f分钟时剩余的细沙量为yen/,且（〃为常数），

经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的;，需经过的时间为（）

4

Z----------

▼

■

A.24分钟B.28分钟C.32分钟D.36分钟

5.（2025•江西•二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的

规律.某同学根据自己记忆io。个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y

（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间X（单位：小时）的函数关系式为

y=l-O.5x006,当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（）（参考数据：lg2ao.30,lg3ao.48）

A.100小时B.300小时C.1000小时D.3000小时

6.（2025•浙江•二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例

如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级仞之间的关系为：lgE=4.8+1.5M.若记2025

年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为E,2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8

£

级地震释放出来的能量为£，则f=（）

A.100B.200C.1000D.2000

7.（2025•湖南长沙•模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有弋表性的实现方法，它是以神经网络为出发

P

点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为M=M卢W，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，

M）表示初始学习率，£表示衰减系数，夕表示训练迭代轮数，%表示衰减速度.己知某个指数衰减的学习

率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为16,且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48,则学习率衰

减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）

（参考数据：1g2a0.301,1g3a0.477）

A.75B.77C.79D.81

8.（2025•北京海淀•二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五

分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5一馆/其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清楚的

最低一行形视标的笔划宽度（单位：亳米），。为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，k是与

d,D无关的常量.图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，

能分辨的最低•行视标为图2中虚线框部分.因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时

他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视

力值最接近的为（）（参考数据：lg2=0.30/g3Po.48）

QJ3LUrnE4.7

3mE3UJm4.8

UJ3EmEmUJ4.9

图1图2部分标准视力表示意图

A.4.5B.4.6C.4.8D.5.0

二、填空题

9.12025•江苏南通•模拟预测）心理学家有时使用函数"/）=A（1-e”）来测定在时间/（min）内能够记忆的鼠

L,其中A表示需要记忆的量，攵表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min后

该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要min.

10.（2025・云南昆明•模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积），（单位：疝）与时间/（单位：月）的

关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为2病，第5个月时，浮萍面积就会超过30加，

下列函数模型：①y=G+l（a>0）,②），二次+］（〃>（））,③尸c'（c>0,CH1）,④

Y=lo8”+l）+l（d>0,dHl）中，最符合浮萍面积y与时间，关系的模型是____（填写序号），若浮萍蔓延

到3m2,所经过的时间，=.

能力提升

一、单选题

11.（2025•甘肃平凉•模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减

为原来的一半），即经过，年后，碳14的含量N=产（N。为碳14的初始含量，及为常数），则碳14含

量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（）

（参考数据：In2Po71n3R1.1）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

12.（2025・贵州•模拟预测）2023$,深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型,其训练算

力需求为lOOOPetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%.截止至

2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一

年首次突破7500PetaFLOPS?（）

（参考数据：怆2。0.301,Ig3«0.477,1g5ko.699）

A.2026年B.2027年

C.2028年D.2029年

13.（2025•河北邯郸•模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为P（/）=《-e”，其中

/•为年收益率，，为投资时间（单位：年），e为自然对数的底数，庶为初始资金，P"）为，年后的资金，已

知某产品年收益率r=5%,则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：ln2、0.6931）（）

A.12年B.13年C.14年D.15年

14.（2025・陕西咸阳•模拟预测）“喊泉〃是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波

传入泉洞内的储水池，进而产生〃共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.

已知听到的声强机与标准声强人（叫）约为ICT”，单位：W/mD之比的常用对数称作声强的声强级，记

作L（贝尔），即乙=但二，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度）'

（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式），=4（）x,现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度

为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起

的涌泉最高高度约为（）

A.1.75米B.1.5米C.1.25米D.1米

15.（2025・湖北黄冈•二模）如图，某池塘里浮萍的面枳》（单位：m?）与时间，（单位：月）的关系为），="，

关于下列说法，其中正确的说法是（）

①浮萍每月的增长率相同；

②若函数＞=/（*）与广优的图像关于直线对称，则函数y=/（/+»x+l）的值域为R的充要条件是

-2<Z?<2；

③若g（x）=gj,则当玉工〜时，*"）『£）>g（七习•'亘成立;

④若浮萍蔓延到2m2,3m:108m2所经过的时间分别是6，G，G，则+%=八.

B.③④C.②③④D.①②④

二、多选题

16.（2025•河南南阳•模拟预测）Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之

一，函数的数学形式为y=AKa"（A>0,K>0,L>0,（）<a<l,0</vl）,其中丫是总产出，K是资本存量,

L是劳动力，A是技术参数，%/是资本和劳动的产出弹性.当A不变时，下列说法正确的是：）

A.若K与L均变为原来的皿〃>0）倍，月9+4=1,则丫变为原来的，〃倍

B.若K与L均变为原来的〃z（〃〉l）倍，且羽=；则丫最少可变为原来的〃1倍

C.若K与L均变为原来的〃7（〃00）倍，且1+夕2=3,则y最少可变为原来的加倍

D.若a,民L均不变，则函数y=AK〃”的增长速度越来越慢

17.（2025•重庆•二模）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标桂开始实施，只要每100mL血液中乙醇含

量大于或等于20mg,就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg则认定为醉驾，属于犯罪行为.张师

傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量）'（单位：mg/mL）与酒后代谢时间x（单位：h）的数量关系满

足片厂4V则张师傅此次饮酒后（）

+1

A.当代谢时间x=0.5时，血液中的乙醇含量最低

B.血液中的乙醉含量开始是代谢时间”的增函数，然后是代谢时间x的减函数

C.若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为

D.若执意驾车，饮酒后0.5h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾

18.（2025•甘肃定西•模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）

中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强

/（W/cm?）.但在实际生活中，常用声音的声强级。（dB）来度量，声强级。（dB）与声强/（W/cnf）的关系近

似满足。=。怆/+力.经过多次测定,得到如下数据:

声强/(W/cnf)1()111O-10m

声强级O（dB）102030

已知烟花的噪声的声强级•般在（90J00）,其声强为人：鞭炮的噪声的声强级•般在（100,110）,其声强为人；

飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在（135,145）,其声强为小则（）

A.b-a=110B.〃？=10-8

19.（2025•广西•模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物

的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值5（"=',、；］，）“，xe［0,l］,。>0.其中x表示

污染物浓度，。为设备灵敏度参数①越大，灵敏度越高），则（）

（I1>

A.S"）过定点

B.S（x）在污染物浓度区间［0,1］上单调递增

C.S（x）关于x对称

D.取定x的值（Ovxvg）,灵敏度越高，监测值越大

三、填空题

20.（2025・上海青浦•模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数,

是度量道路疏导交通能力的指标洞时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道

路通行能力，现给出如下假设：

假设1：车身长度均为4.8米；

假设2：所有车辆以相同的速度甘（单位：千米/小时）匀速行驶；

假设3安全距离d（单位:米）与车辆速度了近似满足d=3.2+0.6522u+0.0M.

该城市道路通行能力的最大值约为.（结果保留整数）

真题感知

一、单选题

21.（2025・北京•高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间

T=k\og2N（单位：h）,其中女为常数.在此条件下，已知训练数据量N从ICT个单位增加到1.024x1（）9个

单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024x10"个单位增加到4.096x10"个单位时，训练时间增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

二、多选题

22.（2023・新课标团卷•高考真题）噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4，=20xlgf,其中常数〃。（%>0）是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

与声源的距离声压级

声源

/m/dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽

1050-60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为/不P”P.〉则（）.

A.p.>p2B.〃2>10〃3

C.〃3=1°°〃0D.〃]4100〃2

第08讲函数模型及其应用

目录

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................2

探究核心考点........................................................3

考点一指数函数模型......................................................................3

考点二对数法数模型......................................................................4

考点三丈立拟合后数模型解决实际问题..................................................5

三阶突破训练........................................................6

基础过关...................................................................................6

能力提升...................................................................................9

真题感知..................................................................................11

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏卜，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、哥函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型(指数函数、对数函数、基函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型)的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考更习的重要内容

＞知识梳理＜

知识点1三种函数模型的性质

函数y=axy=\ogax

性31)3>1)(心0)

在(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随工的增大逐渐表现为随工的增大逐渐表随〃值变化而各有

图象的变化

与谢平行现为与.回平行不同

知识点2常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax-\-b{a,。为常数，。?0)

二次函数模型J[x)=ar++c(a,b,c为常数,aXO)

反比例函数模型_/U)=§+〃(3〃为常数且攵¥0)

指数函数模型/（幻=6?+（?（。，b,c为常数，a＞0且aNl,力KO）

对数函数模型/U)=3og“r+c(a,btc为常数,“>()且力#0)

基函数模型h,a为常数，a#0,ar0)

知识点3解函数模型问题的步骤

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

（3）解模：求解数学模型，得出数学结论.

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

＞探究核心考点＜

考点一指数函数模型

典例1.（2025・广东汕头•模拟预测）某食品保鲜时间），（单位：小时）与储藏温度x（单位：0）满足函数

关系（A,人为常数）若该食品在0℃的保鲜时间是168小时，在20c的保鲜时间是42小时，则该

食品在30℃的保鲜时间是（）

A.21小时B.22小时C.23小时D.24小时

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解.

【详解】当x=0时，e〃=168,当x=20时，

所以e2o*=£=L

16842

当x=30时，*"=（即》（廿）=6）xl68=21.

故选：A.

典例2.（2025•北京房山•一模）自然界中，大多数生物存什淆世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地

繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符

合模型：N（/）=Me”，其中N°为种群起始个体数量，「为增长系数，N⑴为f时刻的种群个体数量.当，=3

时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N（4）=150,则N（10）=（）

A.300B.450C.600D.750

【答案】C

【分析】根据已知函数模型计算得出e"=2,再结合指数运算计算求解.

【详解】因为模型：N（t）=N£其中乂为种群起始个体数量，，为增长系数，

因为当1=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.

所以％（3）=2e「二2乂，所以e"=2,

,Or4,6r2

若N（4）=NQ=150,则^（10）=Afoe=^0e?e=150x2=6（X）.

故选:C.

跟踪训练1.（2025•云南昆明•模拟预测）已知某种水果的保鲜时间）’（单位：小时）与温度x（单位：“C）

近似满足函数关系y=ez（4力为常数,e为自然对数底数）,若该品种水果在4c时的保鲜时间为192小

时，在”“C时的保鲜时间为96小时，则在30c时，该种水果的保鲜时间约为（）

A.12小时B.24小时C.36小时D.48小时

【答案】D

2=192

【分析】由指数函数模型得到《I«6〜，结合•/“求解即可.

e=96

44+6_1Q9I

【详解】由题意得：/…二.，两式相除得：屋"=],

所以当x=30时，e30a+h=e,7a+z>•=96x1=48,

2

即该种水果的保鲜时间约为48小时，

故选：D.

跟踪训练2.（2025•北京平谷•一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量产（单

位：mg/L）与时间f（单位：h）间的关系为尸=平—其中己M是正的常数，如果前IOh消除了50%的

污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

【答案】A

【分析】由题意得到0.56=求得攵，再设消除60%的污染物对应事件为J消除80%的污染物对

应事件为〃，得到方程。,4/=牛血,0.2弓=牛*,求解即可；

【详解】由题意可知:0.54=放一皿，即0.5=小叫即々=皆，

设消除60%的污染物对应事件为4,即0.4%=?e-M,

设消除80%的污染物对应事件为4,即0.26=*也，

两式相除可得：2=eWf，

即ln2=-^（r,-/2）,

所以：，2-4=1°，

即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h,

故选：A

考点二对数函数模型

典例1.（2025•新疆乌鲁木齐•三模）溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中

[H[表示溶液中氢离子的浓度（单位：mol/L）.某强酸溶液加水稀释后pH值增加2,则稀释后溶液中氢

离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（）

A.2B.4C.100D.—

2100

【答案】D

【分析】根据题意.列出方程,利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.

【详解】设稀释前溶液的pH值为办，氢离子的浓度为勺，

加水稀释后pH值为小+2,氢离子的浓度为人.

则m=-lg〃],〃?+2=一怆/，

两式相减,可得-1g%+lg〃i=2,

化简得畸=2解得%高.

故选：D.

典例2.（2025•广东广州•二模）声强级。（单位：dB）由公式。=10怛（薪）给出，其中/为声强（单位:

W/m2）.轻柔音乐的声强一般在IO"〜"6w/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A.0〜20dBB.20~40dB

C.40〜60dBD.60~80dB

【答案】C

【分析】依题意可得lO'M/WlO”,即可求出1g薪的范围，从而得解.

【详解】依题意可得10f4/工10H，所以1044薪GO%所以441g尚46,

所以40W101g焉^460,即轻柔音乐的声强级范围是40~60dB.

故选:C

跟踪训练1.（2025•四川成都•二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮

度J。为标准，天体的星等〃?与亮度/满足〃?=已知北极星的星等为2,牛郎星的星等为0.8,则北

,,0

极星与牛郎星的亮度之比为（）

55\2\2

A-102B-10-2C.[0石D.[0%

【答案】D

【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案.

【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为小，2,依题意，

两式相减得一»夕=（，解得4=1。々・

故选：D

跟踪训练2.（2025・贵州六盘水•一模）20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是

使用测震仪衡最地震能显的等级，地震能最越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说

的里氏震级M,其计算公式为M=1gA-lg4其中4是被测地震的最大振幅，4是“标准地震〃的振幅（使用

标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.假设在一次地震中，一个距离震中100千

米的测震仪记录的地震最大振幅是50,此时标准地震的振幅是0.002,则这次地震的震级为（）（精确到

0.1,参考数据：1g2=0.3）

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

【答案】A

【分析】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果.

【详解】根据题意可知这次地震的震级为：

M=lg50-lg0.002=1g=lg25000=lg-^-=5-21g2«5-0.6=4.4；

因此可知这次地震的震级为4.4级.

故选：A

考点三建立拟合函数模型解决实际问题

典例1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金130万元，

在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的

年份是（）（参考数据：噱.12,0.05,联.3々0.11,怆2之0.30）

A.2026年；B.2027年；C.2028年；D.2029年.

【答案】B

【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式.

【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是〃，则第〃年投入的研发资金为13（）（1+12%广2阳，

则130（1+12%广初飞200,即（1+12%广202&,

.,c八”、Ig2-lgl.l3_

frtr以〃-2023>--------------a3.8o,