第三章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值

第2课时利用导数研究函数的极值、最值

I考点突破呼精彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一利用导数研究函数的极值（多维探究）

命题角度1已知函数求极值（点）

【例1一1】（2018・泉州质检）已知函数段）=x—l+^m£R,e为自然对数的底

数）.

（1）若曲线。=段）在点（1,。1））处的切线平行于x轴,求。的值；

（2）求函数次好的极值.

解（1）由人¥）=X一1+£,得了。）=1一宗

VV

又曲线），=/*）在点（1,式1））处的切线平行于X轴，

得了（1）=0，即1—2=0，解得4=e.

C

（2»（X）=］一£,

①当aWO时，/（幻＞0,4犬）为（-8,+8）上的增函数，所以函数人幻无极值.

②当白＞0时，，令/（x）=0,得c'=〃，即x=lna,

当x£（—8,In〃）时，f（犬）＜0；

当x£（lna,+8）时，f'（x）＞0,

所以JU）在（-8,m〃）上单调递减，

在（Ina,+8）上单调递增，故4r）在x=lna处取得极小值且极小值为4n〃）=ln

a，无极大值.

综上，当时，函数兀（）无极值；

当。＞0时，危）在x=\na处取得极小值Inch无极大值.

命题角度2已知极值（点），求参数的值或取值范围

【例1—2］已知函数段）=ar—1—Inx（a£R）.

（1）讨论函数人工）在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数7U）在x=l处取得极值，Vxe（0,+8）,人］）2加；一2恒成立，求实数

b的取值范围.

解（1VU）的定义域为（0，+8）.

1ax—1

当aWO时，/(x)WO在(0,+8)上恒成立，函数次x)在(0,+8)上单调递减，

・・・加)在(0,+8)上没有极值点；

当。>()时,由/(x)<()得Ove：,由/'(x)>()得心］，

.・・瓜)在(0,{J上递减，在&+8)上递增，即上)在尸十处有极小值.

・••当aWO时，於)在(0,+8)上没有极值点,当时，於)在(0,+8)上有一

个极值点.

(2)二•函数其丫)在x=l处取得极值，

.•./(x)》"—2=1+：—^^20,

人人

IIOV11"!V—2

令g(x)=l+;一；,则g<x)=1一，令g，(x)=O,得x=e\则g(x)在(0,『)

上递减，在e2,+8)上递增，

•'•^(X)min=g(e2)=1—A,即Z?W1一£即实数6的取值范围为(一8，1一］.

规律方法函数极值的两类热点问题

(1)求函数凡丫)极值这类问题的一般解题步骤为：

①确定函数的定义域；②求导数1(X)；③解方程了(犬)=(),求出函数定义城内的

所有根；④列表检脍/㈤在，(#=()的根的左右两侧值的符号，如果左正右负，

那么火X)在沏处取极大值，如果左负右正，那么凡r)在项处取极小值.

(2)由函数极值求参数的值或范围.

讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论/(x)=0根的有无(个数).然后由已知条

件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0,而

导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.

【训练1】(2()16・山东卷改编)设/(©=xhi尢一十(2〃-1)x(常数〃>()).

(1)令g(x)=/(x),求g(x)的单调区间；

(2)己知凡E)在x=l处取得极大值，求实数。的取值范围.

解⑴由/(x)=lnx—2ov+2a,

可得g(x)=lnx-2or+2a,x£(0,+8).

「「一11—2ax

所以g'(x)=；-2a=---.

--V人

又4>0,

当x£(°，抒九g'(种①函数g(x)单调递增，

当工£借，+8)时，/。)<0,函数g(x)单调递减.

工函数尸g(x)的单调增区间为(0,归，单调减区间为④+8)

(2)由(1)知，f(1)=0.

①当0<〃<：时，由(1)知/(x)在(0,明内单调递增，可得当工W(0,I)时，

f(x)<0,当“£(1,明时，f(x)>0.

所以./U)在(0,1)内单调递减，在(1,3内单调递增.

所以JU)在x=l处取得极小值，不合题意.

②当”=；口寸，!=1,/(八)在(0,1)内单调递增，在(1,2)内单调递减，所以

当x£(0,+8)时,f(x)W0,K0单调递减，不合题意.

③当。斗时，。号<1，当工右七，1)时，/。)>0，段)单调递增，当x£(l，+

8)时，，㈤<0,1)单调递减.

所以“¥)在X=1处取极大值，符合题意.

综上可知，实数〃的取值范围为g,+8)

考点二利用导数研究函数的最值

【例2】(2018•山西三区八校模拟)已知函数7U)=lnx+a?+/M其中小。为常

数且。/0)在x=\处取得极值.

⑴当〃=1时,求兀0的单调区间;

(2)若兀0在(0,e］上的最大值为1,求。的值.

解⑴因为於)=1h+/+法，所以危)的定义域为(0,+8),/(外二+2办

✓V

+4

因为函数」(1)=1111+4/+区在X=1处取得极值，

所以/(1)=1+2〃+人=(),

又a=l,所以6=—3,则/(犬)="~~

令/a)=o,得l1=；,x2=\.

f(x)，,/U)随式的变化情况如下表:

(o,D

X1

20)(1，+°°)

+0—0+

fix)极大值极小值

所以/U)的单调递增区间为(()，9,(1，+8)；

单调递减区间为生1).

,,lax1—(2〃+l)x+l(2ax—1)(x-1)

(2)由(1)知f(x)=-----------------=-----------------Cv>0),

令/a)=o,得为=1,必=五，

因为於:)在X=1处取得极值，所以X2=±WX|=1'

若永)时，.”)在(0,1)上单调递增，在(1,e］上单调递减，

所以儿0在区间(0,e］上的最大值为/(I),令1Al)=1,解得。=一2,

当a>0时，X2==>0,

若/<1时，加)在(0,/U，c］上单调递增，在昌，1)上单调递减，所以最大

2

值可能在工=*或x=e处取得，而/⑷=ln扛。田一(2〃+1卷=ln/一+

-K0,

所以/(e)=Ine+r/e2—(2rz+1)e=1,解得3，

若l<=<e时，/U)在区间(()，1),土,e上单调递增，在1,切上单调递减，

所以最大值可能在x=l或x=e处取得，

而/(l)=ln1+。一(2〃+1)<0,

所以/e)=lne+oe2—(2a+l)e=1,

解得。=~与l<X2=:<e矛盾，

e—2La

当X2==2e时，./U)在区间(0，1)上单调递增，在(1,e］上单调递减，

所以最大值可能在x=l处取得，而y(1)=ln1+〃一(2a+1)<0,矛J6,

综上所述，a=---^或a=-2.

e—2

规律方法1.求函数凡V)在团，句上的最大值和最小值的步骤：

第一步，求函数在(4,方)内的极值：

第二步，求函数在区间端点处的函数值式〃)，他);

第三步，将函数共幻的各极值与犬〃)，五份比较，其中最大的一个为最大值，最小

的一个为最小值.

2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其

单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得

到函数的最值.

【训练2】(2017•北京卷)已知函数«v)=e'cosx-x.

⑴求曲线厂危)在点(0,次0))处的切线方程；

⑵求函数人x)在区间0,v上的最大值和最小值.

解(1)=ev•cosx—x,=1,

fU)=eA(cosx—sinx)~1,*.f(0)=0,

・•・>=/3)在(。，/(。))处的切线方程为y-i=o(x-o),

即y=l.

(2)f(x)=ev(cosx-sinx)—\,令f(x)=g(x),

则g'(x)=-2sinx•e'WO在0,-y上恒成立，

且仅在x=0处等号成立，

・・.g(x)在0,；上单调递减，

.•・ga)Wg(0)=0,・•・，(x)W0且仅在x=0处等号成立,

.7/U)在0,-y上单调递减，

・・・Av)max=<。)=1，Xximin=f\^=-^

考点三函数极值与最值的综合问题

【例3】(2018•河南百校联盟模拟)已知函数次幻=,一"，a>0.

(1)记7U)的极小值为g(a),求g(a)的最大值；

(2)若对任意实数x,恒有九丫)20,求人编的最值范围.

解(1)函数/U)的定义域是(-8,+8),f(x)=e-a.

令[(；0=0,得x=him

易知当x£(ln〃，+8)时，f(x)>0,当x£(—8,in。)时，f(x)<0,

所以函数兀T)在x=ln。处取极小值,g(〃)=/(x)极小值=y(lna)=€-na-a\na=a-a\na.

g'(a)=1—(1+ln6f)=—Ina,

当Ova<l时,记3)>0,g⑷在(0,1)上单调递增;

当公>1时，g'伍)<0,g(〃)在(1,+8)上单调递减.

所以4=1是函数g(〃)在(0,+8)上的极大值点，也是最大值点，所以g(4)max=

g(D=L

(2)显然,当xWO时,e'—or20(a>0)恒成立.

当时，由./(x)20,即e'—得a^~.

A>0--V

-v

令〃(x)=e7，x£(0,+8),

eAx-eveA(x-1)

则Itl"(x)=-六一=7,

当oavi时，/a)vo,当第>i时，hr(x)>o,

故〃(x)的最小值为/?(l)=e,所以

故实数。的取值范围是(()，e].

/(a)=e"-/，a£(0,e],f(a)=e(,~2a,

易知e"-2〃20对〃£(0,e]恒成立，

故人a)在(0,e]上单调递增，所以7(0)=l<yS)W/(e)=ee-e2,即火a)的取值范围是

(1,ee-e2].

规律方法1.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.

(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结

论.

2.本题分离参数，构造函数，把问题转化为求函数的最值问题，优化了解题过程.

【训练3】(2018-安徽江南十校联考)已知函数/(.v)=xlnx(.r>0).

(1)求7U)的单调区间和极值；

—丫2+mv-3

(2)若对任意x£((),+°°),«工)2-:—丁---恒成立，求实数加的最大值.

解(1)由次x)=Wnx(Q。)，得/(x)=l+lnx,

令/a)>o,得此；令/a)<o,得。<.忌

Cv

.,・«r)的单调增区间是(占+8),单调减区间是(0,

故人x)在处有极小值/(：)=一%无极大值.

⑵由加启吟曰及©=xlnx,得收辿孚土’成立，

问题转化为〃疙产n'F+3)

\A7min

人2xlnx+f+3.21+/一3

令：贝M

g(x)=--------.,V-------(1->0),ijg'(x)=—人—,

由g，a)>o=x>1,由g，a)vo=o<i<1.

所以g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，所以g(x)min=g(l)=4,

因此mW4,所以加的最大值是4.

课时作业分层训练，提力能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2016・四川卷)已知。为函数7U)=d-i2x的极小值点，则。=()

A.-4B.-2C.4D.2

解析了(1)=3/-12,・・・x<—2时，/(幻>0,-24<2时，/(x)v0,x>2时，

fCr)>0,，x=2是7U)的极小值点.

答案D

2.函数火x)=；f—lnx的最小值为()

A.1B.lC.OD.不存在

._1/一1(x—1)(*+1)__.，口

解析f(x)=x--=—,因为x>0,所以令/(x)>0,何■X>1.

令/(x)v0,得故/U)在(0,1)上单调递瀛，在(1,+8)上单调递增，故

人工)的最小值为/U)=£.

答案A

3.(2018・石家庄模拟)函数y=/U)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是

A.(-b3)为函数y=Ax)的递增区间

B.(3,5)为函数y=/U)的递减区间

C.函数y=/U)在x=0处取得极大值

D.函数)，=段)在x=5处取得极小值

解析由函数y=/(x)导函数的图象可知，兀v)的单调递减区间是(一8,-1),(3,

5),单调递增区间为(一1,3),(5,+8),所以犬的在工=-1,5取得极小值，

在x=3取得极大值，改选项C错误.

答案C

4.设若函数)=e”+ax有大于零的极值点，则()

A..a<—1B.a>—1

「1cl

C.a>—~eD.a<—~e

解析•.,y=e'+o¥,「.y'=e'+〃.

*/函数有大于零的极值点，

则方程了=，+。=()有大于零的解，

*.*%>0时，-ev<—1,*»a=-eA<—1.

答案A

5.已知)，=%)是奇函数，当x£(0,2)时，,4x)=ln，L当x£(—2,0)时,

/U)的最小值为1,则〃的值等于()

A.；B.gC.；D.1

解析由题意知，当上£(0,2)时，火幻的最大值为-1.

令/。)=：-4=。，得工=)

人Cl

当时，/(x)>0；当时，f(x)<0.

•W).nax=/^=-lna-1=-1,解得a=L

答案D

二、填空题

6.(2017・新乡模拟)设xp是函数人幻=1-的两个极值点，若M<242,

则实数a的取值范围是.

解析由题意得f(x)=3x2—***74ax+a1的两个零点而，工2满足X\<1<X2.

所以八2)=12-8〃+/<(),解得2<〃<6.

答案(2,6)

(Q0)，

7.(2018•郴州模拟)已知奇函数於尸\x则函数〃(幻的最大值为

h(x)(x<0),

e'(x—1)

解析当x>o时，/a)=—不—，・・・x£(o,1)时，/a)<o,函数单调递减，

x£(],+8)时，f(x)>(),函数单调递增，.\x=l时，函数取得极小值即最小

值，为e—1,•二由已知条件得〃(丫)的最大值为I—e.

答案l-e

8.(2018・武汉模拟)若函数/U)=2/—Inx在其定义域的一个子区间(攵-1,A+1)

内存在最小值，则实数人的取值范围是_______.

解析因为危)的定义域为(()，+8),又因为/(%)=4L：,所以由/(x)=()解得

I3

x=5，由题意得，2解得

答案1,D

三、解答题

nV

9.(2015・安徽卷)已知函数/&)=(x+72(。>(),r>0).

(1)求人大)的定义域，并讨论儿E)的单调性；

(2)若：=400,求/U)在(0,+8)内的极值.

解(1)由题意可知xW一—，所求的定义域为(一8,—r)U(—r,4-oo).

〃、"_________"

/w-a+/)2一产+2汽+产

7a(W+2疗+M)~ax(2x+2r)a(r—x)(x+r)

iw=(f+2次+J)2=(7+7P-*

所以当XV—r或x>厂时，f(x)<0；

当一yvr时，fU)>0.

因此，ZU)的单调递减区间为(一8,—r),(r,+8)：

儿0的单调递增区间为(一小一).

(2)由(1)的解答可知/⑺=0,於)在(0,r)上单调递增,在⑺+8)上单调递减.

因此，x=r是火工)的极大值点，

所以/U)在(0,+8)内的极大值为#)=-^尸=言=竿=100,信)在(0,+8)

内无极小值；

综上，次x)在(0,+8)内极大值为100,无极小值.

10.设函数y(x)=Hnx—左(1>0),若函数於)在尸1处与直线y=—/相切.

(1)求实数公力的值;

(2)求函数段)在已，e］上的最大值.

解(l)f(x)=~2bx

人f

•.,函数段)在X=1处与直线尸一；相切，

f(1)=a—2b=0,(a=1,

，1解得，1

/(1)=—b=—7：b=q.

C2f12

(2)由⑴知,/(x)=lnx—^x2,

.11-x2

f

当!WxWe时，令/(工)〉0,得:Wx<l,

令/(x)v0，得14<e,

・•①)在»上单调递增；在(1，e］上单调递减，

・\Ax)max=/U)=一；.

能力提升题组

(建议用时：20分钟)

11.(2018・合肥模拟)已知函数«r)=.Hnx—*(e为自然对数的底数)有两个极值

点，则实数。的取值范围是()

B.(0,e)

D.(—8,e)

解析Ax)=x,nx—6/el(A>0),(x)=lnx+1—</ev(x>0),由已知函数/(x)有两

个极值点可得和g(x)=@y在(()，+8)上有两个交点,

--Inx—11

,x.1

g(X)=7?(x>0)，令力3=；-Inx—1,

V人

则"(1)=一$一：<0,

在(0,+8)上单调递减且力(1)=0,

当x£(o,1]时，/z(x)20,即g<x),o,g(x)在(0,1]上单调递增，g(x)Wg(l)=1,

C

当x£(l,+8)时,人。)<0,即gG)<0,g(x)在(1,+8)上单调递减，

故g(X)max=g(O=；，

V

而Xf。时，g(x)——8,1f+8时，g(x)f()；

若y=〃和g(x)在(0,+8)上有两个交点，只需

C

答案A

12.(2018•忻州模拟)已知函数危)=*一〃一2〃，且2］,设函数应。在区

间［0,hi2］上的最小值为加，则m的取值范围是.

解析gm)=/(.0=〃(，-2)-2x是关于a的一次函数，・・"£[0,In2],.-.ev-2<0,

即y=g(。)是减函数，

•・・问1,2],

••・g(〃)min=2(e'—2)—2v,设A/(x)=2(ex—2)—2x,

则Afa)=2e'—2,Vxe[0,In2],：.Mf(x)>0,则M(x)在[0,In2J上为增函

数，・・・加(彳)而n=M(0)=一2,M(x)ma