高考数学一轮复习 第一章 第2节 常用逻辑用语-含解析

第2节常用逻辑用语

9课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条

件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

一L««««主干梳理基础落实_:-----------------C

识理

I.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若P=q,则p是q的■充分条件,q是P的团必要条件

〃是g的国充分不必一条件P=q且q冷p

〃是g的同必要不充夕条件〃汽夕且q=p

〃是q的国O条件p=q

〃是4的瓜!既不充分也不必要条件〃弁g且q汽P

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“团工”表示.

(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号”回了表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

对M中任意一个x,〃(x)存在M中的元素x,pG)成

结构

成立立

简记回八回3A£-V)

否定BxGM,「ptr)口Z.yg,W,-pCr)

I常用结论与易错提醒〉

1.两个常用结论

(l)p是9的充分不必要条件，等价于是「P的充分不必要条件.

(2)命题〃和「〃的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.一个易混关系

“4的充分不必要条件是8”是指8能推出A,且A不能推出&而“A是B的充分不必要条件”则是指4

能推出8,但B不能推出人要注意区别上述两种说法的不同.

断自测

1.思考辨析(正确的打“，”，错误的打“X”)

(Dp是乡的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(M)

⑵“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.(，)

(3)已知集合A,B,则4UB=ACB的充要条件是A=I3.(7)

(4)命题“八七R,sin?：+cos?：=[”是真命题.(X)

2.(人A必修一P30例4(1)改编)命题“VKWRQ'X2”的否定形式是(C)

A.VxER,n<jrB.Vx£R,/Wx2

C.3x€R,n<JCD.mxUR,

解析因为原命题是“VX^RQ'X2"，所以其否定形式应该把全称量词V改为存在量词土把改为

所以命题“VxWR,“2%2”的否定形式是“mxWR/Vv2”.

3.(人A必修一P22习题1.4T2改编)“他=0”是aa2+b2=0>f的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析a2+b2=0,则。=0,b=0,有〃。=0,即a2+b2=0^ab=0,而ab=0,取a=0,b=1,。斗力』wo,则而二0不能推出

/+6=0,所以“曲=0”是“片+从力”的必要不充分条件.

4.若命题“Vx£R,f+l>/'是真命题,则实数加的取值范围是(-8,1).

一工竺考点突破能力提升»»»>»-----------------C

考点一充分、必要条件的判断

【例1】(1)(2026•浙江台州月考)已知集合A=3P+2X<3},B={x|2'+x<3),贝1JA”是8”的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由f+2r<3,可得，所以A=U|-3<x<l},因为f(x)=2'+x在R上单调递增，又/⑴=3,所以由

2、+x<3,可得xvl,所以8={巾<1}，所以AEB,所以“x£A"是的充分不必要条件.故选A.

(2)(2025・浙江金华一模)若a,beR,则同=依是2"=2b的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析考虑条件同二|例，这意味着。和〃要么相等，要么互为相反数.考虑等式2“=2〃，由于产2、是单调递增的,

若2"=2〃,则a=b,那么同=也必然成立.但是，如果⑷二|知那么。和b可以互为相反数，此时2"=2”不一定成立.

因此,同二以是2“二2〃的必要不充分条件.故选B.

I思维升华〉

判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

1.定义法：直接判断“若p,则q”以及“若必则〃”的真假.适用于定义、定理判断性问题.

2.集合法：利用集合的包含关系判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

3.传递法：充分条件和必要条件具窄传递性，即由可得充要条件也有传递性.

【跟踪训练1】⑴(2025•天津卷)设x£R,则“m0”是“sin2.E)”的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由A=0=>sin2x=sin0=0,则"x=0”是asin2x=0”的充分条件；又当x=n时，sin2x=sin2兀=0,可知sin

2尸。分尸0,故“40”不是“sin2_x=0”的必要条件.综上可知，“尸0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故

选A.

⑵(2026-山东青岛质检)设U为全集,A,8是集合，则“存在集合C使得是"08二0”的

(C)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由胆L/C,得Bnc=0,而AGC,则4nB=0,故“存在集合C使得是“An8=0”的充分

条件;4n8二。,存在一个集合OA,使得AGClHuC,如图，所以“存在集合。使得AGClHuC”是

“AC®-。”的必要条件.故选C.

飞0^

00

考点二充分、必要条件的探求与应用

【例2】(1)命题<<v%e[i,3],r-^0w为真命题的一个充分不必要条件是(C)

A.心9B.aW9

C.a210DoWlO

解析命题“VxW[l,3],FaW0”="Vx£[l,3],fWa”=“。析9”，则“。210”是命题“Vx七

：l,3］,』-aW0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.

⑵已知P={如2MxIOWO},非空集合S=1+〃?}.若是x£S的必要条件，则实数m的取值范

围为丛3.

解析由P8X-20W0,得・2WxW10,所以P={M-2W』W1O}.因为了£尸是x£S的必要条件，则SGP,又SW。，

(1—tn>-2,

所以卜+mW10,解得0W/〃W3,故实数，〃的取值范围为［0,3］.

\1-m<1+m,

【变式探究】1.(变条件)本例⑵中条件“若是XES的必要条件”变为“"是「S的必要不充分条

件”，其他条件不变不I实数〃，的取值范围为［9,+8).

解析由例题(2)知P=3-2<xW10}.因为是「S的必要不充分条件，所以尸是S的

\—rti<-2,缶]、j

P=S且S、所以［-2J。温［1i］，所以{，优消或m

1一4-m>、1“0,所以"7

2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数〃?,使P是x£S的充要条件?并说明理由.

解不存在〃I,理由如下：

由例题⑵知P={424W10).

若是x£S的充要条件，则P=S,

所以(1-7n=一2,所以(瓶=3,这样的不存在

丁-tl+m=10,所以=9产评打什在.

I思维升华〉

根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点

I.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等

式(或不等式组)求解.

2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等

号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【跟踪训练2］(1)若x£R,则下列选项中，使“W<1”成立的一个必要不充分条件为(A)

A.-2<r<lB.-l<x<i

C.0<A<2D.-1<v<0

解析不等式片<1等价于-1W1,使"f<l"成立的一个必要不充分条件对应的集合为4,则(-1,I)是A的

直孑隼由出对昭幺麻可知只有A而舛合题有故魂A

(2)已知"(»〃?)2>3(方加”是“f+3.44v()"的必要不充分条件,则实数〃?的取值范围为(-8,_要u［1,+8：.

22

解析由(x-m)>3(x-in)得x<m或x>3+m,设p：x〈m或x>3+m；由x+3%-4<0得-4<x〈l,设］：-4<r<1.因为〃是

乡的必要不充分条件，所以1或"z+3W-4,可得I或mW-?.

考点三全称量词命题与存在量词命题

角度1含量词命题的否定

【例3】已知命题〃:八20,111(1“)2片9，则命题〃的否定为(B)

A.Vx^O,ln(l+x)<x-y

B3x^O,ln(l+x)<x-y

C.Vx<0,In(1+x)<x-y

D.3x<0Jn(l+x)<x-y

解析根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：m0,ln(1+.x)2x-9的否定为mx，O,ln(1+x)4-[.故选

B.

【变式探究】(变条件)若将本例中的“V"改为,请写出命题〃的否定.

解/;：3x>0,In(1+x)三心]的否定为rp：Vx^O,In(1+x)

角度2含量词命题的真假判断

【例4】(多选)下列命题中的真命题是(ACD)

A.VxGR,3x-1>0

B.VAGN\(X-1)2>0

C.3x^R,1gx<\

D.3xER,tanx=2

解析当x£N"时,x-l£N,可得(41)220,当且仅当41时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选

ACD.

角度3含量词命题的应用

【例5]已知命题p:Vx£R,f-a20;命题R,.F+2ax+2-a=0.若命题/?,q都是真命题，则实数a的取

值范围是—.

解析由命题〃为真，得aWO.由命题q为真，得/=44-4(2-々)20,即aW-2或.综上，实数。的取值范围

是(-。)，-2].

I思维升华〉

含量词命题的解题策咯

1.判断全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判断存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一

个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假.

2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围.

【跟踪训练3】(1)(多选)下列命题是真命题的是(ABC)

A.VxER,-x2-1<0

B.V"£Z,Bm^Z,nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D.存在实数为使得日下=：

解析VxWR-fwo,所以-Pl<0,故A项是真命题；当m=0时，〃/〃刁〃恒成立，故B项是真命题；任何一个

的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为F2t+3=(x-l)2+222,所以下—工工〈三,故口

X2-2X+324

是假命题.故选ABC.

⑵已知命题(0,+8),使得f九+«0成立.若p为假命题,则实数A的取值范围是(A)

A.(-8,2]

B.[2,+8)

C.[-2;2]

D.(-8,_2]U[2,+8)

解析因为〃为假命题，所以为真命题，故(0,+8)九+120,即(0,+°°)又当人仁

(0,+8)时,产1工2「工二2,当且仅当ml时等号成立，所以实数2的取值范围是(-8,2].故选A.

X7X

课时作业

[基础巩固]

一、单项选择题

1.(2026•山东济南月考)命题'勺x>0,f・2叶2025Vo”的否定是(C)

A.mx>0,Y-2|斗202520

B3xW0,W-2叶202520

C.Vx)0,C-2卧2025>0

D.VxWO,F2叶202520

解析由存在量词命题的否定为全称量词命题知“触>0,/-2叶2025<0”的否定为“Vx>0,P2叶2

02520”.故选C.

2.设贝1“132”是“反2|<1"的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由卜-2|<1可得解得l〈r<3,所以由1<丫<2能推出仇-2|<1,故充分性成立；由|片2|<1推不出

1<r<2,故必要性不成立，所以“1O<2”是"上2|<1"的充分不必要条件.故选A.

3."a>b”的一个充分条件是(A)

A.eM>2B.In^>0

b

C.a（t>bb

D.-a<7b

解析由e"">2,可知eah>\,a-b>0,a>h,故eab>2是a>b的一个充分条件，故A正确；由In》。,可得少>1,不

bb

妨取<?=-2,b=-1,推不出a>b,故B错误；由dl>bb,比如取a=-2,b=-1,满足cf,=->bb=-1，推不出a>b,故C错误；

4

由工V比如取a=-2,b=\,满足工V上推不出a>b,故D错误.

abab

4.已知命题：方程V+M+a=0有解”是真命题，则实数。的取值范围是（B）

A.«<4B.“<4

C.a>4D.a24

解析由题意得/=16-4a20,解得〃W4.故选B.

5.（2025•江西新余模拟）已知直线交圆C:.r2+y2-2V3.r-2y=0于M,N两点，则“△MCN为正三角形”

是'是=0"的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由圆Cf+v'Z百x-2v=0可得其圆心为C（g,1）,半径/-2,圆心到直线x-ay=0的距离</」产若

△MGV为正三角形，则有d=—r,即崛粤=V5,即/+V5a=0,解得a=0或e-V5,故“kMCN为正三角形”

是“40”的必要不充分条件.故选B.

6.（2025•河南九师联盟模拟）如果是实数，那么“孙〈0”是“lr-y|=5l+bT的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析当xy<0时，不妨设x<0,y>0,x-y<0,则|六），|二-3,，）=-.什卢卜|+|.扎而当|心止国+忖时，可能）=0,此时岳0|二国,

而xy=O.综上所述，小产0”是“仅引=国+帆”的充分不必要条件.

二、多项选择题

7.（2026•沏南常德质检）下列命题中为真命题的是（BD）

A.%电=0”的充要条件b是"

是—V；”的既不充分也不必要条件

ab

C.命题“玉£巳热2'<0”的否定是~服足2=0”

D."Q2,b>2”是“H»4”的充分不必要条件

解析对于A,由？=1=>上力=0,但〃*=0弁*=1,所以娱=1”是“小力=0”的充分不必要条件，故A错误.对于

Dbb

B,取a=2,b=-\,满足a>b,但2>：,所以a>b/>-<7;同理取a=-\,b=2,满足上<，但a<h,所以三V；#a>b、

abababab

所以"a>b"是的既不充分也不必要条件，故B正确.对于C,命题“弘£乩/-2工<0”的否定是“Vx

£氏/・2=0"，故C错误.对于D,因为〃>2,方>2=时>4,但而>4#心2,6>2,所以“a>2,b>2”是“曲>4”

的充分不必要条件，故D正确.故选BD.

8.若G/»0,则使“a>b”成立的一个充分条件可以是(AD)

A.y

ab

B.|«-2|>|/?-2|

C.a2b^-b>a+ab2

D.ln(a2+l)>ln(/;2+l)

解析对于A,因为a,/»0,所以工<-<=>«>/?,故A正确;对于B,取a-\<2=b满足|a-2|>|b-2|,故B错误；对于

ab

C,a2b+h>a+ab2^(ab-\)(a-Z>)>0,当ab<1时，a<b，故C错误;对于D,In(a2+l)>ln0+1)<=>a2>Z>2<=>(a+b)(a-

份>0,因为〃，历>0,所以故D正确.故选AD.

三、填空题

9.若“九目TA],sinx<〃?”是假命题，则实数〃?的最大值为工

解析因为“玄£卜K],sinx<m"是假命题，所以“Vxw[—，〃忘sinx”是真命题，即zn&inx对于Vx

恒成立，所以〃?W(sinx)min,因为尸sinx在[—；,；]上单调递增，所以x=-；时，尸sinx最小，其最小值

为y=sin(--)=—sin-=—渔,所以mW包,所以实数〃?的最大值为

J13,3222

10.写出一个使命题“勤£(2,3),他己〃优-3>0”成立的充分不必要条件〃=1(答案不唯•)(用,，〃的值或范围

作答).

解析当工£(2,3)时，易知-0-(2,6).又孔£(2,3),/zu2-/??.r-3>0<=>3xe(2,3),=

m>(—7—),x£(2,3)=心士显然m=1^m>^-，/"心声椁1,故"m=1”是命题"八£(2,3),”

-x/min222

成立的充分不必要条件.

四、解答题

11.已知p:|x-l|>2,q:A2-2X+1-a20(«>0),若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

解由题可得p：x>3或x<-\,q：x2-2.r+1-a20<=>[x-(1-a)]-[A-(1+«)]20,因为a>0,所以解得

14-a<3,

或xWl-a.因为q是p的必要不充分条件，所以1—aN-1,解得0<aW2,所以实数a的取值范围是

a>0,

(0,2].

12.设命题p:对任意工£[1,4],不等式f-4x+2e/3〃?恒成立;命题夕:存在xw[0，],使得不笔式Fx+,〃-

三20成立.

4

(1)若〃为真命题,求实数〃?的取值范围；

⑵若命题p,q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

解⑴对任意x£［1,4：,不等式P4x+2恒成立，即(P4x+2)min2届-3/〃.

又f<x+2=(x-2)2-2,当x=2时,

£-4%+2取到最小值-2,

所以-22〃/-3相，所以lWmW2,

所以p为真命题时，实数〃z的取值范围是［1,2］.

⑵命题g：存在天引。,］

使得不等式f-x+〃/20成立，