2026年四川省人教版高一数学必修一第五章测试卷

2026年四川省人教版高一数学必修一第五章测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。故选B。2.若一个等差数列的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列的第3项a_3等于（）A.11B.13C.15D.17解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，将S_n=2n^2+3n代入，得2n^2+3n=n/2[2a_1+(n-1)d]。令n=1，得a_1=5；令n=2，得a_1+a_2=11，即a_2=6；令n=3，得a_1+a_2+a_3=21，即a_3=15。故选C。3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.35C.39D.43解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。则a_n+1=2^n，a_n=2^n-1。前5项和S_5=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5-5=63-5=58。故选B。4.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6，b_4=54，得6=b_1q，54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=3（q=-3时b_1为负，不符合题意）。故选A。5.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的第4项c_4等于（）A.18B.24C.30D.36解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），代入S_n=3^n-1，得c_n=3^n-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)。当n=4时，c_4=2×3^3=54。故选D。6.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第6项d_6等于（）A.21B.27C.33D.39解析：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n(n+1)/2，得d_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。当n=6时，d_6=6。故选A。7.在等差数列{e_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5(2a_1+9d)。又a_1+a_{10}=2a_5=18，即2a_1+9d=18，则S_10=5×18=90。故选A。8.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=3f_n（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于（）A.26B.28C.30D.32解析：由递推关系f_n+1=3f_n，{f_n}是首项为2，公比为3的等比数列。前4项和S_4=2+6+18+54=80。故选D。9.在等比数列{g_n}中，若g_1=1，g_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.65D.66解析：由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=1，g_3=8，得8=1×q^2，解得q=2。前6项和S_6=1×(2^6-1)/(2-1)=63。故选A。10.若数列{h_n}的前n项和U_n=n^2+n，则该数列的第3项h_3等于（）A.7B.8C.9D.10解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），代入U_n=n^2+n，得h_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=3时，h_3=6。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，则该数列的公差d=______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=11，得11=5+3d，解得d=2。2.若数列{b_n}的前n项和V_n=4n^2-3n，则该数列的第5项b_5=______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），代入V_n=4n^2-3n，得b_n=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。当n=5时，b_5=33。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=12，c_4=48，则该数列的公比q=______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_2=12，c_4=48，得12=c_1q，48=c_1q^3，两式相除得q^2=4，解得q=2。4.若数列{d_n}的前n项和W_n=2^n-1，则该数列的第4项d_4=______。解：由数列前n项和与通项关系d_n=W_n-W_{n-1}（n≥2），代入W_n=2^n-1，得d_n=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)。当n=4时，d_4=8。5.在等差数列{e_n}中，若a_3+a_8=20，则该数列的公差d=______。解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5=20，得a_5=10。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5(2a_1+9d)。又a_1+a_{10}=2a_5=20，即2a_1+9d=20，则S_10=100。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=5f_n（n∈N），则该数列的前3项和S_3=______。解：由递推关系f_n+1=5f_n，{f_n}是首项为3，公比为5的等比数列。前3项和S_3=3+15+75=93。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=16，则该数列的前5项和S_5=______。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=2，g_3=16，得16=2q^2，解得q=2。前5项和S_5=2×(2^5-1)/(2-1)=62。8.若数列{h_n}的前n项和X_n=n(n+2)，则该数列的第6项h_6=______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=X_n-X_{n-1}（n≥2），代入X_n=n(n+2)，得h_n=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1。当n=6时，h_6=13。9.在等差数列{i_n}中，若a_1=7，a_6=1，则该数列的公差d=______。解：由等差数列通项公式i_n=i_1+(n-1)d，代入i_1=7，i_6=1，得1=7+5d，解得d=-6/5。10.若数列{j_n}的前n项和Y_n=3n^2+n，则该数列的第4项j_4=______。解：由数列前n项和与通项关系j_n=Y_n-Y_{n-1}（n≥2），代入Y_n=3n^2+n，得j_n=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。当n=4时，j_4=22。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（√）解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，将S_n=2n^2+3n代入，得2n^2+3n=n/2[2a_1+(n-1)d]。令n=1，得a_1=5；令n=2，得a_1+a_2=11，即a_2=6；令n=3，得a_1+a_2+a_3=21，即a_3=10。则a_2-a_1=1，a_3-a_2=4，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=3。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6，b_4=54，得6=b_1q，54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=3。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项c_4=8。（×）解：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n(n+1)/2，得c_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。当n=4时，c_4=4。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=3。（√）解：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_1=3，d_5=9，得9=3+4d，解得d=3/2。5.若数列{e_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（×）解：由数列前n项和与通项关系e_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），代入U_n=2^n-1，得e_n=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)。当n=1时，e_1=1≠2^0=1，故该数列不是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的公比q=2。（√）解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^(n-1)，代入f_1=1，f_3=8，得8=1×q^2，解得q=2。7.若数列{g_n}的前n项和V_n=n^2+n，则该数列的第3项g_3=8。（×）解：由数列前n项和与通项关系g_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），代入V_n=n^2+n，得g_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。当n=3时，g_3=6。8.在等差数列{h_n}中，若a_4+a_7=18，则该数列的前10项和S_10=90。（√）解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5=18，得a_5=9。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5(2a_1+9d)。又a_1+a_{10}=2a_5=18，即2a_1+9d=18，则S_10=5×18=90。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=3i_n（n∈N），则该数列的前5项和S_5=62。（√）解：由递推关系i_n+1=3i_n，{i_n}是首项为2，公比为3的等比数列。前5项和S_5=2×(3^5-1)/(3-1)=62。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，则该数列的前4项和S_4=39。（×）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^(n-1)，代入j_1=3，j_3=27，得27=3q^2，解得q=3。前4项和S_4=3×(3^4-1)/(3-1)=120。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=5；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。故a_n=4n+1。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=4，a_5=16，求该数列的通项公式b_n。解：由等差数列通项公式b_n=b_1+(n-1)d，代入b_1=4，b_5=16，得16=4+4d，解得d=3。故b_n=4+3(n-1)=3n+1。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_2=6，c_4=54，得6=c_1q，54=c_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=3。则c_1=2。故c_n=2×3^(n-1)。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+2)，求该数列的通项公式d_n。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n(n+2)，得d_n=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1。当n=1时，d_1=T_1=3。故d_n=2n+1。5.在等差数列{e_n}中，若a_3+a_8=20，求该数列的通项公式e_n。解：由等差数列性质e_3+e_8=2e_5=20，得e_5=10。前10项和S_10=10/2[2e_1+9d]=5(2e_1+9d)。又e_1+e_{10}=2e_5=20，即2e_1+9d=20，则S_10=100。故e_n=2n-5。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=5f_n（n∈N），求该数列的通项公式f_n。解：由递推关系f_n+1=5f_n，{f_n}是首项为3，公比为5的等比数列。故f_n=3×5^(n-1)。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=16，求该数列的通项公式g_n。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)，代入g_1=2，g_3=16，得16=2q^2，解得q=2。故g_n=2×2^(n-1)=2^n。8.若数列{h_n}的前n项和X_n=3n^2+n，求该数列的通项公式h_n。解：由数列前n项和与通项关系h_n=X_n-X_{n-1}（n≥2），代入X_n=3n^2+n，得h_n=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。当n=1时，h_1=X_1=4。故h_n=6n-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求该工厂第5年的产量。解：由等差数列{a_n}，a_1=50，d=10。第5年产量a_5=a_1+4d=50+40=90台。2.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.05。2025年人口b_5=b_1q^4=100×1.05^4≈127.63万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资20万元，求该企业前4年的总投资。解：由等差数列{c_n}，c_1=100，d=20。前4年总投资S_4=4/2[2c_1+3d]=2[200+60]=560万元。4.某种细菌每小时繁殖1倍，已知初始时刻有1个细菌，求第6小时时的细菌数量。解：由等比数列{d_n}，d_1=1，q=2。第6小时细菌数量d_6=d_1q^5=1×2^5=32个。5.某学生计划每天比前一天多背5个单词，已知第一天背20个单词，求该学生第7天的背诵量。解：由等差数列{e_n}，e_1=20，d=5。第7天背诵量e_7=e_1+6d=20+30=50个。6.某工厂设备价值每年折旧10%，已知购入时价值为100万元，求该设备第3年的剩余价值。解：由等比数列{f_n}，f_1=100，q=0.9。第3年剩余价值f_3=f_1q^2=100×0.9^2=81万元。7.某城市道路建设每年新增2条主干道，已知2020年有10条主干道，求2025年的主干道数量。解：由等差数列{g_n}，g_1=10，d=2。2025年主干道数量g_5=g_1+4d=10+8=18条。8.某产品成本每年降低5%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：由等比数列{h_n}，h_1=100，q=0.95。2024年成本h_4=h_1q^3=100×0.95^3≈85.74元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.C6.B7.A8.D9.A10.B二、填空题1.22.333.24.85.26.937.628.139.-6/510.22三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.×四、简答题1.a_n=4n+1解：当n=1时，a_1=S_1=5；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。故a_n=4n+1。2.b_n=3n+1解：由等差数列通项公式b_n=b_1+(n-1)d，代入b_1=4，b_5=16，得16=4+4d，解得d=3。故b_n=4+3(n-1)=3n+1。3.c_n=2×3^(n-1)解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_2=6，c_4=54，得6=c_1q，54=c_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=3。则c_1=2。故c_n=2×3^(n-1)。4.d_n=2n+1解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n(n+2)，得d_n=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1。当n=1时，d_1=T_1=3。故d_n=2n+1。5.e_n=2n-5解：由等差数列性质e_3+e_8=2e_5=20，得e_5=10。前10项和S_10=10/2[2e_1+9d]=5(2e_1+9d)。又e_1+e_{10}=2e_5=20，即2e_1+9d=20，则S_10=100。故e_n=2n-5。6.f_n=3×5^(n-1)解：由递推关系f_n+1=5f_n，{f_n}是首项为3，公比为5的等比