2026年天津市北师大版高一数学必修第十册第3单元专项训练题

2026年天津市北师大版高一数学必修第十册第3单元专项训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高一数学必修第十册第3单元中，函数f(x)=ln(x+1)在区间(-1,0)上的导数f′(x)的符号为（）A.恒正B.恒负C.先正后负D.先负后正解析：函数f(x)=ln(x+1)在区间(-1,0)上单调递增，其导数f′(x)=1/(x+1)在(-1,0)上恒正，故选A。2.根据第3单元内容，若函数g(x)=ex-2x在x=0处的切线方程为y=kx+b，则k+b的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：g′(x)=ex-2，g′(0)=e-2，g(0)=1，切线方程为y=(e-2)x+1，k+b=(e-2)+1=e-1，故选B。3.第3单元中，函数h(x)=x3-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：h′(x)=3x2-3，令h′(x)=0得x=±1，h′(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为正，在(-1,1)上为负，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点，共2个极值点，故选C。4.在第3单元的例题中，若函数m(x)=xlnx在x=1处的二阶导数m′′(1)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：m′(x)=lnx+1，m′′(x)=1/x，m′′(1)=1，故选B。5.根据第3单元定理，若函数n(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，n(a)=n(b)，则方程n′(x)=0在(a,b)内至少有（）个实根A.0B.1C.2D.无数解析：根据罗尔定理，至少有1个实根，故选B。6.第3单元中，函数p(x)=x3-3x2+2x在区间[0,3]上的最大值为（）A.2B.3C.4D.5解析：p′(x)=3x2-6x+2，令p′(x)=0得x=1±√3/3，p(0)=0，p(1)=0，p(3)=3，最大值为3，故选B。7.根据第3单元内容，若函数q(x)=x2e-x在x=1处的导数值为q′(1)，则q′(1)的值为（）A.1/eB.2/eC.3/eD.4/e解析：q′(x)=2xe-x-x2e-x，q′(1)=2/e-1/e=1/e，故选A。8.第3单元中，函数r(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最小值为（）A.0B.1C.√2D.2√2解析：r′(x)=cosx-sinx，令r′(x)=0得x=π/4，r(0)=1，r(π/4)=√2，r(π/2)=1，最小值为√2，故选C。9.根据第3单元例题，若函数s(x)=ln(1+x)-x在x=0附近的泰勒展开式中x3项的系数为（）A.-1/6B.1/6C.-1/3D.1/3解析：s(x)的泰勒展开式为x-x2/2+x3/3-...，x3项系数为1/3，故选D。10.第3单元中，函数t(x)=x/(1+x)在x→+∞时的渐近线方程为（）A.y=xB.y=x+1C.y=x-1D.y=1解析：t(x)=1-1/(1+x)，当x→+∞时，t(x)→1，故渐近线为y=1，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数u(x)=x3-ax+1在x=1处的切线平行于直线y=3x-2，则a的值为_________解析：u′(x)=3x2-a，u′(1)=3-a=3，解得a=0。2.函数v(x)=e2x在x=0处的二阶导数v′′(0)的值为_________解析：v′(x)=2e2x，v′′(x)=4e2x，v′′(0)=4。3.函数w(x)=xlnx在x=1处的三阶导数w′′′(1)的值为_________解析：w′(x)=lnx+1，w′′(x)=1/x，w′′′(x)=-1/x2，w′′′(1)=-1。4.根据第3单元内容，函数x(x)=sinx-cosx在区间[0,2π]上的极小值点为_________解析：x′(x)=cosx+sinx，令x′(x)=0得x=3π/4,7π/4，x(3π/4)=√2，x(7π/4)=-√2，极小值点为7π/4。5.函数y(x)=ln(1+x)在x=0处的三阶导数y′′′(0)的值为_________解析：y′(x)=1/(1+x)，y′′(x)=-1/(1+x)2，y′′′(x)=2/(1+x)3，y′′′(0)=2。6.根据第3单元定理，若函数z(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，z(a)=z(b)，则方程z′(x)=0在(a,b)内至少有_________个实根解析：根据罗尔定理，至少有1个实根。7.函数p(x)=x3-3x2+2x在区间[0,3]上的最大值为_________解析：p′(x)=3x2-6x+2，令p′(x)=0得x=1±√3/3，p(0)=0，p(1)=0，p(3)=3，最大值为3。8.函数q(x)=x2e-x在x=1处的导数值q′(1)的值为_________解析：q′(x)=2xe-x-x2e-x，q′(1)=2/e-1/e=1/e。9.函数r(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最小值为_________解析：r′(x)=cosx-sinx，令r′(x)=0得x=π/4，r(0)=1，r(π/4)=√2，r(π/2)=1，最小值为√2。10.函数t(x)=x/(1+x)在x→+∞时的渐近线方程为_________解析：t(x)=1-1/(1+x)，当x→+∞时，t(x)→1，故渐近线为y=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x3在区间[-1,1]上的最大值与最小值之差为8。（×）解析：f(-1)=-1，f(1)=1，最大值与最小值之差为2，故错误。2.若函数g(x)在x=c处取得极值，则g′(c)必为0。（√）解析：根据极值存在的必要条件，可导函数在极值点的导数为0，故正确。3.函数h(x)=lnx在x=1处的切线方程为y=x-1。（√）解析：h′(x)=1/x，h′(1)=1，h(1)=0，切线方程为y=x-1，故正确。4.函数m(x)=ex在任意区间上都是凹函数。（√）解析：m′(x)=ex，m′′(x)=ex，m′′(x)在任意区间上恒正，故为凹函数，故正确。5.函数n(x)=sinx在区间[0,π]上的最大值与最小值之差为2。（√）解析：n(π/2)=1，n(0)=0，n(π)=-1，最大值与最小值之差为2，故正确。6.函数p(x)=x3-3x在x=0处取得极值。（×）解析：p′(x)=3x2-3，令p′(x)=0得x=±1，x=0不是驻点，故不取极值，故错误。7.函数q(x)=ln(1+x)在x=0附近的泰勒展开式中x2项的系数为1/2。（√）解析：q(x)的泰勒展开式为x-x2/2+x3/3-...，x2项系数为-1/2，故错误，应为-1/2。8.函数r(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值与最小值之差为2√2。（√）解析：r(π/4)=√2，r(5π/4)=-√2，最大值与最小值之差为2√2，故正确。9.函数s(x)=e-x在任意区间上都是凸函数。（√）解析：s′(x)=-e-x，s′′(x)=e-x，s′′(x)在任意区间上恒正，故为凸函数，故正确。10.函数t(x)=x/(1+x)在x→-∞时的渐近线方程为y=1。（×）解析：t(x)=1-1/(1+x)，当x→-∞时，t(x)→1，故渐近线为y=1，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述第3单元中罗尔定理的适用条件及其几何意义。答：罗尔定理的适用条件为：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。几何意义为：若函数在区间两端点的函数值相等，则在区间内部至少存在一点，切线平行于x轴。2.解释函数的极值与最值有何区别？答：极值是局部性质，指函数在某个邻域内的最大或最小值；最值是全局性质，指函数在定义域内的最大或最小值。极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点。3.第3单元中，如何判断函数的单调性？答：通过求导数，若f′(x)>0，则函数单调递增；若f′(x)<0，则函数单调递减。4.函数的凹凸性如何定义？如何判断？答：凹函数是指函数图像上任意两点连线总在曲线上方，凸函数则相反。通过二阶导数判断，若f′′(x)>0，则凹函数；若f′′(x)<0，则凸函数。5.第3单元中，泰勒展开式有何应用？答：泰勒展开式可用于近似计算函数值、研究函数性质、求解微分方程等。6.函数的渐近线有哪些类型？如何求水平渐近线？答：渐近线分为水平、垂直、斜渐近线。水平渐近线通过求极限x→+∞或x→-∞时函数值的极限得到。7.第3单元中，如何求函数的极值点？答：通过求导数，令f′(x)=0得到驻点，再通过二阶导数或导数符号变化判断是否为极值点。8.函数的驻点与极值点有何关系？答：极值点一定是驻点或导数不存在的点，但驻点不一定是极值点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x2+10x+100（x为产量），求产量为10时的边际成本。解：边际成本为成本函数的导数，C′(x)=2x+10，C′(10)=30，故产量为10时的边际成本为30。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x（p为价格，x为需求量），求需求量为1000时的弹性需求。解：需求弹性为Ep=-dp/dx•x/p=-(-0.01)•1000/100=0.1，故需求量为1000时的弹性需求为0.1。3.某函数f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2，且f′(x)=2x+3，求f(0)。解：f′(0)=3，f(0)=2，故f(0)=2。4.某函数g(x)在x=1处的二阶导数为g′′(1)=5，且g′(1)=2，g(1)=3，求g(x)的泰勒展开式中x2项的系数。解：g(x)的泰勒展开式为g(1)+g′(1)(x-1)+g′′(1)(x-1)2/2+...，x2项系数为5/2。5.某函数h(x)在区间[0,2]上连续且在(0,2)内可导，h(0)=h(2)，且h′(x)在(0,2)内存在，求证在(0,2)内至少存在一点ξ，使h′(ξ)=0。证：根据罗尔定理，存在ξ∈(0,2)，使h′(ξ)=0。6.某函数m(x)=x3-3x+1，求其在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：m′(x)=3x2-3，令m′(x)=0得x=±1，m(-2)=-1，m(-1)=2，m(1)=-1，m(2)=0，最大值为2，最小值为-1。7.某函数n(x)=sinx+cosx，求其在区间[0,π/2]上的最大值与最小值。解：n′(x)=cosx-sinx，令n′(x)=0得x=π/4，n(0)=1，n(π/4)=√2，n(π/2)=1，最大值为√2，最小值为1。8.某函数p(x)=x/(1+x)，求其在x→+∞时的渐近线方程。解：p(x)=1-1/(1+x)，当x→+∞时，p(x)→1，故渐近线为y=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.C9.D10.D解析：2.f(x)=ln(x+1)在(-1,0)上单调递增，导数恒正。3.g(x)=ex-2x在x=0处切线斜率k=g′(0)=e-2，截距b=g(0)=1，k+b=e-1。4.h(x)=x3-3x+1的导数为h′(x)=3x2-3，驻点为x=±1，h′(x)符号变化表明x=-1为极大值点，x=1为极小值点。5.m(x)=xlnx在x=1处二阶导数m′′(1)=1。6.根据罗尔定理，至少有1个实根。7.p(x)=x3-3x2+2x的导数为p′(x)=3x2-6x+2，驻点为x=1±√3/3，p(3)=3为最大值。8.q(x)=x2e-x在x=1处导数q′(1)=1/e。9.r(x)=sinx+cosx在x=π/4处取得极小值√2。10.s(x)=ln(1+x)-x的泰勒展开式中x3项系数为1/3。11.t(x)=x/(1+x)在x→+∞时极限为1，渐近线为y=1。二、填空题1.012.413.-114.7π/415.216.117.318.1/e19.√220.y=1解析：2.u′(1)=3-a=3，a=0。3.v′′(x)=4e2x，v′′(0)=4。4.w′′′(x)=-1/x2，w′′′(1)=-1。5.x′(x)=cosx+sinx，驻点为x=3π/4,7π/4，x(7π/4)=-√2为极小值。6.y′′′(x)=2/(1+x)3，y′′′(0)=2。7.根据罗尔定理，至少有1个实根。8.p′(x)=3x2-6x+2，驻点为x=1±√3/3，p(3)=3为最大值。9.q′(x)=2xe-x-x2e-x，q′(1)=2/e-1/e=1/e。10.r′(x)=cosx-sinx，驻点为x=π/4，r(π/4)=√2为极小值。11.t(x)=1-1/(1+x)，当x→+∞时，t(x)→1，渐近线为y=1。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.×27.×28.√29.√30.×解析：2.f(-1)=-1，f(1)=1，最大值与最小值之差为2。3.极值存在的必要条件，可导函数在极值点的导数为0。4.h′(1)=1，h(1)=1，切线方程为y=x-1。5.m′′(x)=ex恒正，故为凹函数。6.n(π/2)=1，n(0)=0，n(π)=-1，最大值与最小值之差为2。7.p′(x)=3x2-3，驻点为x=±1，x=0不是驻点。8.q(x)的泰勒展开式为x-x2/2+x3/3-...，x2项系数为-1/2。9.r(π/4)=√2，r(5π/4)=-√2，最大值与最小值之差为2√2。10.s′(x)=-e-x，s′′(x)=e-x恒正，故为凸函数。11.t(x)=1-1/(1+x)，当x→-∞时，t(x)→1，渐近线为y=1。四、简答题1.罗尔定理的适用条件为：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。几何意义为：若函数在区间两端点的函数值相等，则在区间内部至少存在一点，切线平行于x轴。2.极值是局