2026年研究生数学实变函数习题集

2026年研究生数学实变函数习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设X为实数集R上的一个非空集合，若对任意x1,x2∈X，总有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称f在X上满足Lipschitz条件。下列函数中，在区间(0,1)上满足Lipschitz条件的是（）A.f(x)=√xB.f(x)=ln(1+x)C.f(x)=x^2D.f(x)=sin(x^2)解析：Lipschitz条件要求函数的导数有界。对于f(x)=√x，其导数f'(x)=1/(2√x)在(0,1)上无界；f(x)=ln(1+x)的导数f'(x)=1/(1+x)在(0,1)上为(1/2,1)区间内的有界函数；f(x)=x^2的导数f'(x)=2x在(0,1)上为(0,2)区间内的有界函数；f(x)=sin(x^2)的导数f'(x)=2x•cos(x^2)在(0,1)上无界。因此只有ln(1+x)满足Lipschitz条件。2.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。下列集合中，相对于闭集[0,1]在R中不可数分离的是（）A.(0,1)B.Q∩[0,1]C.[0,1]D.{0,1}解析：可数分离要求存在开集覆盖使得每个点都至少属于一个开集与E不交。对于(0,1)，可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交；对于Q∩[0,1]，可取每个有理数对应的邻域与[0,1]不交；对于{0,1}，可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交；而[0,1]本身无法相对于[0,1]可数分离，因为任何开集覆盖都必须包含[0,1]中的点。3.设f:[0,1]→R为连续函数，且满足f(0)=f(1)，则根据Brouwer不动点定理，下列结论正确的是（）A.f在(0,1)上存在唯一零点B.f在[0,1]上存在唯一不动点C.f在(0,1)上至少存在一个不动点D.f在[0,1]上至少存在两个不动点解析：Brouwer不动点定理指出连续映射在紧凸集上有不动点。对于f(0)=f(1)的连续函数，可构造g(x)=f(x)-x，则g(0)=f(0)-0=f(0)>0，g(1)=f(1)-1=f(0)-1<0，由连续性知存在c∈(0,1)使g(c)=0即f(c)=c，这表明存在至少一个不动点。4.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。下列集合中，在R中不是[0,1]完全子集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}∪[0,1]D.Q∩[0,1]解析：完全子集要求每个Cauchy序列都有极限在集合中。对于[0,1]，显然是自身完全；对于(0,1)，开区间中的Cauchy序列可能收敛到0或1而不在(0,1)中；对于{1/n|n∈N}∪[0,1]，1/n序列收敛到0在集合中；而Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中。5.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。下列函数中，在[0,1]上不一致连续的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0）C.f(x)=e^xD.f(x)=|x|解析：一致连续要求存在与x无关的δ。对于sin(1/x)，当x→0时，1/x→∞导致sin(1/x)震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ，因此不一致连续。其他函数均为一致连续，因为它们在[0,1]上连续且区间有界。6.设E为度量空间(X,d)中的紧集，A为E的子集，若对任意x∈E，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，则称A是E中的稠密集。下列集合中，在[0,1]中不是[0,1]稠密集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}D.Q∩[0,1]解析：稠密集要求每个点都是极限点或属于集合。对于[0,1]，显然稠密；对于(0,1)，不包含0和1，不稠密；对于{1/n}，不包含0，不稠密；对于Q∩[0,1]，不包含无理数，不稠密。7.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，则称f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为1。下列函数中，在[0,1]上不满足Hölder条件的是（）A.f(x)=xB.f(x)=x^2C.f(x)=ln(1+x)D.f(x)=sin(x)解析：Hölder条件要求Lipschitz条件的指数大于0。对于x^2，其导数|2x|在[0,1]上最大为2，不满足|x^2-x2|≤C|x1-x2|，因为当x1≠x2时|2x|可能大于1；其他函数均满足，因为它们的导数在[0,1]上有界。8.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。下列集合中，在R中不是[0,1]完全子集的是（）A.[0,1]B.(0,1)C.{1/n|n∈N}∪[0,1]D.Q∩[0,1]解析：完全子集要求每个Cauchy序列都有极限在集合中。对于[0,1]，显然是自身完全；对于(0,1)，开区间中的Cauchy序列可能收敛到0或1而不在(0,1)中；对于{1/n}∪[0,1]，1/n序列收敛到0在集合中；而Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中。9.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。下列函数中，在[0,1]上不一致连续的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0）C.f(x)=e^xD.f(x)=|x|解析：一致连续要求存在与x无关的δ。对于sin(1/x)，当x→0时，1/x→∞导致sin(1/x)震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ，因此不一致连续。其他函数均为一致连续，因为它们在[0,1]上连续且区间有界。10.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。下列集合中，相对于闭集[0,1]在R中不可数分离的是（）A.(0,1)B.Q∩[0,1]C.[0,1]D.{0,1}解析：可数分离要求存在开集覆盖使得每个点都至少属于一个开集与E不交。对于(0,1)，可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交；对于Q∩[0,1]，可取每个有理数对应的邻域与[0,1]不交；对于{0,1}，可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交；而[0,1]本身无法相对于[0,1]可数分离，因为任何开集覆盖都必须包含[0,1]中的点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=x^2，则f在[0,1]上满足一致连续的δ=______。参考答案：√ε解析：对于f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此δ=√ε/2。2.设E为度量空间(X,d)中的紧集，A为E的子集，若对任意x∈E，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，则称A是E中的稠密集。若A=Q∩[0,1]，则A在[0,1]中______稠密集。参考答案：不解析：因为[0,1]中的无理数点没有有理数邻域包含在A中，所以A不是[0,1]的稠密集。3.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，则称f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为α。若f(x)=x^3，则f在[0,1]上满足Hölder条件的α=______。参考答案：3/2解析：f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大为3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，满足Hölder条件，α=3/2。4.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。若A={1/n|n∈N}∪[0,1]，则A在[0,1]中______完全子集。参考答案：是解析：因为1/n序列收敛到0在集合中，且[0,1]本身是完备集，所以A是[0,1]完全子集。5.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0），则f在[0,1]上______一致连续。参考答案：不解析：当x→0时，1/x→∞导致sin(1/x)震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。6.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。若A=(0,1)，则A相对于[0,1]在R中______可数分离。参考答案：是解析：可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交。7.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，则称f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为α。若f(x)=ln(1+x)，则f在[0,1]上满足Hölder条件的α=______。参考答案：1解析：f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大为1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，满足Hölder条件，α=1。8.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。若A=Q∩[0,1]，则A在[0,1]中______完全子集。参考答案：不解析：因为Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中。9.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=e^x，则f在[0,1]上______一致连续。参考答案：是解析：f'(x)=e^x，在[0,1]上最大为e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，满足一致连续。10.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。若A={0,1}，则A相对于[0,1]在R中______可数分离。参考答案：是解析：可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=x^2，则f在[0,1]上一致连续。（）参考答案：正确解析：对于f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此f在[0,1]上一致连续。2.设E为度量空间(X,d)中的紧集，A为E的子集，若对任意x∈E，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，则称A是E中的稠密集。若A=Q∩[0,1]，则A在[0,1]中稠密集。（）参考答案：错误解析：因为[0,1]中的无理数点没有有理数邻域包含在A中，所以A不是[0,1]的稠密集。3.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，则称f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为α。若f(x)=x^3，则f在[0,1]上满足Hölder条件的α=3/2。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大为3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，满足Hölder条件，α=3/2。4.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。若A={1/n|n∈N}∪[0,1]，则A在[0,1]中完全子集。（）参考答案：正确解析：因为1/n序列收敛到0在集合中，且[0,1]本身是完备集，所以A是[0,1]完全子集。5.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=sin(1/x)（x≠0，f(0)=0），则f在[0,1]上一致连续。（）参考答案：错误解析：当x→0时，1/x→∞导致sin(1/x)震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。6.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。若A=(0,1)，则A相对于[0,1]在R中可数分离。（）参考答案：正确解析：可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交。7.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，则称f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为α。若f(x)=ln(1+x)，则f在[0,1]上满足Hölder条件的α=1。（）参考答案：正确解析：f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大为1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，满足Hölder条件，α=1。8.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，若对任意x1,x2∈A，总有d(x1,x2)→0当{xn}⊆A且xn→x1,xm→x2时，则称A是E中的完全子集。若A=Q∩[0,1]，则A在[0,1]中完全子集。（）参考答案：错误解析：因为Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中。9.设f:[0,1]→R为连续函数，若对任意ε>0，存在δ>0使得当x1-x2<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f在[0,1]上一致连续。若f(x)=e^x，则f在[0,1]上一致连续。（）参考答案：正确解析：f'(x)=e^x，在[0,1]上最大为e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，满足一致连续。10.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，若对任意x∈A，存在x的邻域U使得U∩E=∅，则称A相对于E是可数分离的。若A={0,1}，则A相对于[0,1]在R中可数分离。（）参考答案：正确解析：可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请解释什么是度量空间中的紧集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的紧集是指既完备又连通的子集。例如，闭区间[0,1]在R中是紧集，因为它是完备的（所有Cauchy序列收敛）且连通的（无法分解为两个非空开集的并）。2.请解释什么是度量空间中的稠密集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的稠密集是指其闭包等于整个空间X的子集。例如，有理数集Q在R中是稠密的，因为每个实数点都是Q中点的极限点。3.请解释什么是度量空间中的完全子集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的完全子集是指其所有Cauchy序列的极限仍在集合中的子集。例如，闭区间[0,1]在R中是完全子集，因为所有Cauchy序列都收敛到[0,1]中的点。4.请解释什么是度量空间中的可数分离集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的可数分离集是指存在可数开集覆盖，每个点都至少属于一个开集与给定闭集不交的子集。例如，开区间(0,1)相对于闭集[0,1]在R中是可数分离的。5.请解释什么是度量空间中的Hölder连续，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的Hölder连续是指存在常数C和α(0<α≤1)使得|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α对所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=x^2在[0,1]上满足Hölder连续，α=1/2。6.请解释什么是度量空间中的Lipschitz连续，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的Lipschitz连续是指存在常数L使得|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|对所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=2x在R上满足Lipschitz连续，L=2。7.请解释什么是度量空间中的完备集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的完备集是指其所有Cauchy序列的极限仍在集合中的子集。例如，实数集R在R中是完备的，因为所有Cauchy序列都收敛到R中的点。8.请解释什么是度量空间中的连通集，并举例说明。解析：度量空间(X,d)中的连通集是指无法分解为两个非空开集的并的子集。例如，闭区间[0,1]在R中是连通的，因为无法将其分解为两个非空开集的并。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.设f:[0,1]→R为连续函数，且满足f(0)=f(1)，证明f在[0,1]上存在不动点。证明：构造g(x)=f(x)-x，则g(0)=f(0)-0=f(0)>0，g(1)=f(1)-1=f(0)-1<0，由连续性知存在c∈(0,1)使g(c)=0即f(c)=c，这表明f在[0,1]上存在不动点。2.设E为度量空间(X,d)中的紧集，A为E的子集，证明若A是E中的稠密集，则A也是E中的完全子集。证明：因为E是紧集，所以E是完备的。对于A中的任意Cauchy序列{an}，由于A是稠密的，{an}的极限点也在E中，而E是完备的，所以{an}的极限也在E中，因此A是完备的。3.设f:[0,1]→R为连续函数，证明若f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为α(0<α≤1)，则f在[0,1]上一致连续。证明：由Hölder条件知|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|d(x1,x2)|<ε^(1/α)/C，因此f在[0,1]上一致连续。4.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，证明若A相对于E是可数分离的，则A也是E中的稠密集。证明：对于E中任意点x，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，因此A是E中的稠密集。5.设f:[0,1]→R为连续函数，证明若f在[0,1]上满足Lipschitz条件，则f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为1。证明：由Lipschitz条件知|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|d(x1,x2)|<ε/L，因此f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为1。6.设E为度量空间(X,d)中的完备集，A为E的子集，证明若A是E中的完全子集，则A也是E中的稠密集。证明：对于E中任意点x，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，因此A是E中的稠密集。7.设f:[0,1]→R为连续函数，证明若f在[0,1]上满足一致连续，则f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为1。证明：由一致连续知存在δ>0使得当|d(x1,x2)|<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，要使|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|，只需|x1-x2|<δ，因此f在[0,1]上满足Hölder条件，指数为1。8.设E为度量空间(X,d)中的闭集，A为X中的任一子集，证明若A相对于E是可数分离的，则A也是E中的稠密集。证明：对于E中任意点x，存在x的邻域U使得U∩A≠∅，因此A是E中的稠密集。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.B5.B6.B7.B8.B9.B10.B解析：2.f(x)=√x在(0,1)上导数无界，不满足Lipschitz条件；ln(1+x)在(0,1)上导数有界；x^2在(0,1)上导数有界；sin(x^2)在(0,1)上导数无界。3.Q∩[0,1]相对于[0,1]不可数分离，因为无理数点没有有理数邻域包含在Q中。4.f(x)=x^2在(0,1)上导数最大为2，不满足Hölder条件；其他函数均满足。5.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中，因此不是完全子集。6.sin(1/x)在x→0时震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。7.(0,1)不包含0和1，不稠密。8.x^2在x1≠x2时|2x|可能大于1，不满足Hölder条件。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中，因此不是完全子集。10.sin(1/x)在x→0时震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。11.[0,1]本身无法相对于[0,1]可数分离，因为任何开集覆盖都必须包含[0,1]中的点。二、填空题1.√ε12.不13.3/214.是15.不16.是17.118.不19.是20.是解析：2.f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此δ=√ε/2。3.Q∩[0,1]不稠密，因为无理数点没有有理数邻域包含在Q中。4.f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大为3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，满足Hölder条件，α=3/2。5.1/n序列收敛到0在集合中，且[0,1]本身是完备集，所以A是[0,1]完全子集。6.sin(1/x)在x→0时震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。7.可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交。8.f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大为1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，满足Hölder条件，α=1。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中，因此不是完全子集。10.f'(x)=e^x，在[0,1]上最大为e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，满足一致连续。11.可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交。三、判断题1.正确22.错误23.正确24.正确25.错误26.正确27.正确28.错误29.正确30.正确解析：2.f(x)=x^2，|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2|≤2|x1-x2|，要使|f(x1)-f(x2)|<ε，只需|x1-x2|<ε/2，因此f在[0,1]上一致连续。3.Q∩[0,1]不稠密，因为无理数点没有有理数邻域包含在Q中。4.f'(x)=3x^2，在[0,1]上最大为3，因此|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1^2+x1x2+x2^2|≤3|x1-x2|，满足Hölder条件，α=3/2。5.1/n序列收敛到0在集合中，且[0,1]本身是完备集，所以A是[0,1]完全子集。6.sin(1/x)在x→0时震荡加剧，无法找到对任意ε>0都适用的δ。7.可取开集(0,1/2)∪(1/2,1)与[0,1]不交。8.f'(x)=1/(1+x)，在[0,1]上最大为1，因此|f(x1)-f(x2)|=|ln(1+x1)-ln(1+x2)|≤|x1-x2|，满足Hölder条件，α=1。9.Q∩[0,1]中的Cauchy序列可能收敛到无理数而不在Q中，因此不是完全子集。10.f'(x)=e^x，在[0,1]上最大为e，因此|f(x1)-f(x2)|=|e^x1-e^x2|=|e^x2(e^x1-x2)|≤e|x1-x2|，满足一致连续。11.可取开集(-1,0)∪(1,2)与[0,1]不交。四、简答题1.度量空间(X,d)中的紧集是指既完备又连通的子集。例如，闭区间[0,1]在R中是紧集，因为它是完备的（所有Cauchy序列收敛）且连通的（无法分解为两个非空开集的并）。2.度量空间(X,d)中的稠密集是指其闭包等于整个空间X的子集。例如，有理数集Q在R中是稠密的，因为每个实数点都是Q中点的极限点。3.度量空间(X,d)中的完全子集是指其所有Cauchy序列的极限仍在集合中的子集。例如，闭区间[0,1]在R中是完全子集，因为所有Cauchy序列都收敛到[0,1]中的点。4.度量空间(X,d)中的可数分离集是指存在可数开集覆盖，每个点都至少属于一个开集与给定闭集不交的子集。例如，开区间(0,1)相对于闭集[0,1]在R中是可数分离的。5.度量空间(X,d)中的Hölder连续是指存在常数C和α(0<α≤1)使得|f(x1)-f(x2)|≤C|d(x1,x2)|^α对所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=x^2在[0,1]上满足Hölder连续，α=1/2。6.度量空间(X,d)中的Lipschitz连续是指存在常数L使得|f(x1)-f(x2)|≤L|d(x1,x2)|对所有x1,x2∈X成立。例如，f(x)=2x在R上满足Lipschitz