第四章 第8节　解三角形的综合问题

第8节解三角形的综合问题[课程标准要求]能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.夯实·必备知识知识梳理测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:(2)南偏西α:基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)仰角与俯角都是视线与铅垂线所成的角.(

)(2)方位角的范围是(0,π).(

)(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.(

)(4)在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.(

)××××2.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B(

)A.北偏东10°方向

B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向

D.南偏西80°方向D【解析】

由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.故选D.3.(人教A版必修第二册P49例10改编)如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10

m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于(

)D4.(人教A版必修第二册P49例9改编)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1

km,且C=120°,则A,B两点间的距离为

km.

提升·关键能力解三角形的实际应用考点1角度1测量距离问题[例1]

(2026·四川成都模拟)如图,某学习小组为了测量湖中两小岛C,D间的距离,在岸边选取了相距2

km的A,B两点,满足A,B,C,D在同一平面内,测得∠CAD=60°,∠CAB=45°,∠DBA=30°,∠DBC=60°,则CD=

km.解题策略·距离问题的解法选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.[针对训练]

(2026·河南南阳模拟)如图,某观察站B在A处的南偏西20°的方向,由A处出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B处31

km的C处有一人正沿公路向A处走去,走了20

km之后到达D处,此时B,D间的距离为21

km,则要达到A处,这个人还要走(

)A角度2测量高度问题[例2]

(2026·江西南昌模拟)如图,某人准备测量一电视塔的高度,在地面上选择了一座高为t

m的大楼CD,在大楼顶部D处测得该电视塔顶部B的仰角为α,底部A的俯角为β,则该电视塔的高度为(

)D解题策略·(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平视线的夹角.(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.(3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.[针对训练]

欲测量某学校附近河岸的一座塔的高度AB,如图所示,可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20

m,在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(

)C角度3测量角度问题A.北偏东60° B.北偏东45°C.北偏东30° D.南偏西60°A(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.解题策略·[针对训练]

已知大屏幕AB的下端B离地面3.5

m,大屏幕高3

m,若某位观众眼睛C离地面1.5

m,则这位观众距离大屏幕所在的墙面

m时,可以获得观看的最佳视野(最佳视野是指观看屏幕的张角取得最大值),且此时tan∠ACB=

.

三角形中的角平分线、高线考点2[例4]

(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.解题策略·解题策略·2解三角形中的最值与范围问题考点3对于利用正弦、余弦定理解三角形中的最值与范围问题,主要有两种解决方法:一是利用基本不等式,求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围,确定所求式的范围.解题策略·(1)求B;(2)若AC=2,求△ABC面积的取值范围.教考衔接8中线长公式[教材母题]

(人教A版必修第二册P53习题6.4

T15)△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明三角形的中线把原