第15节：幂函数（含答案）

第15讲幕函数

【知识梳理】

知识点一幕函数的概念：一般地，函数y=K叫做幕函数，其中l是自变量，。是常数.

知识点二五个幕函数的图象与性质

1.在同一平面直角坐标系内函数(l))，=x；(2))，=户;;(4))，=灯|;(5)y=r的图象如图.

2.五个幕函数的性质

1

7]

y二x产厂产/y=x2y=x'

定义域RRR[0,+8){正/)}

值域R[0,+8)R10,+8){儿厚0}

非奇非

奇偶性奇偶奇奇

偶

在［0,+8)上在(0,+8)上

单调性增增，增增减，

在(-00,0］上减在(-8,0)上减

知识点三一般幕函数的图象特征

1.所有的幕函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

2.当。＞0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+功上是增函数.

特别地，当«＞1时，幕函数的固象下凸；当0＜。＜1时，寡函数的图象上凸.

3.当。＜0时，幕函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.

4.幕者数互为倒数的幕函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.

5.在第一象限作直线x=a（〃>l）,它同各幕函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指数按从小到

大的顺序排列.

【例题详解】

题型一、幕函数的概念

1.（25-26高一上♦上海）下列函数是幕函数的是（）

A.y=2xB.y=2x-l

C.y=（x+i）2D.y=V?

【答案】D

【分析】根据幕函数的定义即可得解.

【详解】根据幕函数的定义，A、B、C均不是幕函数，只有D选项）,=疗=j,形如y=（。为常

数），是幕函数，所以D正确

故选：D.

2.（23-24高一上♦全国♦课后作业）下列函数是幕函数的是（）

A.y=PB.y=2x

C.y=x^D.y=3x+2

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义逐个分析判断

【详解】对于A,y=/中指数上有变量、，所以此函数不是幕函数，所以A错误，

对于B,），=2'是指数函数，不是幕函数，所以B错误，

对于C,yn/5是黑函数，所以C正确，

对于D,），=3x+2是一次函数，不是黑函数，所以D错误，

故选：C

3.（25-26高一上•湖北・期末）下列函数是幕函数且是奇函数的是（）

A.y=2xB.y=x2

C.y=x^D.y=/

【答案】C

【分析】由黑函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可；

【详解】对于A,易知不是幕函数，错误；

对于B,易知其为偶函数，错误；

对于C,由解析式可知为鬲函数；/（力=/=2,定义域为（f0）（0次），

x/（-x）=^==-^=-/W,奇函数，正确；

对于D,易知其为偶函数，错误；

故选：C

题型二：求事函数的解析式或值

4.（25-26高一上•重庆・期末）已知幕函数），=/（"的图象过点（9,3）,则f（4）=（）

A.2B.8C.V2D.16

【答案】A

【分析】由点求得函数解析式即可求解；

【详解】设y=/（x）=d,

则3=9",解得：〃,

所以*4）=43=2,

故选：A

5.（25-26高一上•浙江衢州•期末）已知幕函数人力的图象过点（2,&）,则〃9）=（

A.-3B.6C.2D.3

【答案】D

【分析】根据幕函数的图象过点R上）,求出函数解析式，代入可得答案.

【详解】设/（.r）=x"，因为幕函数/⑴的图象过点（2,&）,所以2“=&,

解得”;,所以*9）=®=3.

故选：D.

6.（25-26高一上•新疆喀什・期末）已知函数/（力=上+1）产t是幕函数.则〃2）=（）

A.1B.2C.yD.1

【答案】C

【分析】根据函数是幕函数求参数，再求函数值即可.

【详解】因为函数/（X）=（A+1）/T是幕函数，所以〃+1=1,所以女=0,

所以，所以"2）=2"=g.

故选：C.

题型三：根据幕函数的定义求参数问题

7.（25-26高一上•全国•课后作业）若函数/（"=（/-〃是黑函数，则实数加的值是（）

A.1或-2B.-1C.2D.一1或2

【答案】D

【详解】由幕函数的定义知/-m-1=1,解得机=2或6=-1.

8（25-26高一上•广东潮州•期末）已知幕函数〃6=（3〉-7m-5*1在自+⑹上是减函数，则〃?=（）

22

A.J或3B.-jC.1D.3

【答案】B

【分析】根据函数/（力=（3，〃2-7〃-5卜"“是幕函数，由3加一7/〃-5=1求得〃7,再根据单调性求解.

【详解】解：由函数/（力=（3川-7吁5）一是幕函数，

2

得3ni2-1m-5=1,解得〃z=3或in=--,

当〃?=3时，=/在（0,+8）上是增函数,不符合题意,

当，〃=彳时，/3=/=去在（0，e）上是减函数，符合题意，

2

所以朋=-1,

故选：B.

9（25-26高一上•河北沧州•期末）已知幕函数/a）=（〃2+〃_|），-2“-3（〃「心的图象在（0,+8）上单调递减，

则。的取值是（）

A.1B,-2C.1或-2D.0

【答案】A

【分析】利用幕函数的定义和单调性列式计算即得.

【详解】由幕函数/（x）=（〃+aT）/-2“T（awR）的图象在（0,3）上单调递减，

力22/八,所以a=l.

a-20a-3<0

故选：A.

题型四：幕函数的性质问题

1（）.（25-26高一上•山东烟台期末）已知累函数/（"的图象经过点2戛,J1I］（）

A./（%）的定义域为RB.〃工）的值域为R

C.为偶函数D是其定义域上的减函数

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可.

【详解】设=£,则2“=；,解得。=-2,故/（力=尸=4,

则/（M的定义域为｛幻彳工0｝,故A错误；

的值域为3"。｝,故B错误；

/（封=:=/（*）,则/⑺为偶函数，故C正确；

A

“X）在（―,0）和（0,+。）上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.

故选：C.

11（25-26高一上•安徽马鞍山•期中）已知幕函数y=/“）的图象过点,下列说法中正确的是（）

A.7（x）是奇函数B.的定义域是［。,包）

C./（十）的值域是［0,y）D./（“在定义域上单调递减

【答案】D

【分析】由条件求出幕函数的解析式，根据幕函数的性质判断即可.

【详解】•,・幕函数），=〃力的图象过点（4,），设/（力=/，

••・¥=；,即22a=2」，得2a=，

・•./（"=■,其定义域为（0,+8）,故B错误；

•••定义域关于原点不对称，・•・/（x）为非奇非偶函数，故A错误；

•・•定义域为（。，+8）,/（"=9>0，，/（x）的值域是（。,+8）,故C错误；

va=~<0,.・・/3在定义域（0,+功上单调递减，故D正确.

故选：D.

12.（23-24高一上♦云南昆明•期末）已知函数〃司=丁，则（）

A.。=-2时，/（"是偶函数B.时，/（X）的值域为（。,+“）

C.”力的图象恒过定点（00和（Ll）D.0<&<1时,/（力是减函数

【答案】A

【分析】根据幕函数的性质一一判断即可.

【详解】对于A,当。=-2时定义域为{上工0},

且言T=/。），所以/"）=.为偶函数，故A正确；

对于B,当2=g时，=）,则"6的值域为9也），故B错误；

对于C,当口--2时，〃%）=婷=«定义域为{刘30},函数不过点（0,0），故C错误；

对于D,当0<。<1时，"x）=d在（0,田）上单调递增，故D错误；

故选：A

题型五、幕函数的图象及应用

13（25-26高一上•全国•课后作业）如图所示的曲线是基函数），=%”在第一象限的图象，已知〃取±2,

四个值，则相对应的曲线G，G，G，a的〃值依次为（）

C•W，2D,-2,-^，2

【答案】A

【详解】可在直线x=l的右侧作一条垂直于x轴的直线，如x=2.观察直线x=2与各图象的交点，交

点越高，其鬲函数的〃值越大.

14.（25-26高一上•全国•课后作业）幕函数＞及直线,'印，x=l将平面直角坐标系的第一

象限分成八个“卦限、‘：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）.那么幕函数的图象

经过的“卦限”是（）

A.④⑦B.④⑥C.③⑧D.①⑤

【答案】D

£

【详解】取得kg）=出=等｛；/），故在第⑤卦限；再取工=2得），=2；&葭2）,故在第①

卦限.

15.（25-26高一上・辽宁・期末）如图，①②③④对应四个黑函数的图象，则①对应的幕函数可以是

【答案】C

【分析】结合图象及幕函数的性质判断即可.

【详解】由图可知，①对应的幕函数：函数的定义域为［。，+8）,在第一象限内单调递增，

且图象呈现上凸趋势，则指数。的值满足,排除选项AD;

又=）=4了的定义域为R,）,=/=匠的定义域为［。,+⑹,

故）,=：符合题意.

故选：C

题型六：幕函数的单调性解不等式问题

16.（25-26高一上•广东汕头・期中）已知幕函数/（力的图象过点（2,8），若八2〃+3）＞/（3），则。的取值

范围为（）

A.（2,田）B.（I，田）C.（T田）D.（0,+力）

【答案】D

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，利用函数单调性即可解不等式.

【详解】人”为幕函数，可设解力=心，

由于函数的图象过点（2,8）,故2a=8,所以。=3,即/（力=/，

所以函数/（可在R上单调递增，

由/（2+3）＞/⑶可得2〃+3＞3,解得八0,即。的取值范围为（0,+8）.

故选：D.

17.（25-26高一上•湖北阶段练习）已知幕函数/3=（3〃/-〃-1）/1是定义域上的奇函数，则满足

〃。+2）＜/（4-勿）的实数"的取值范围为（）

A.（j+s）B.（3,-2）5-2,2）

C.（-oo,-2）略,2）D.（f2）

【答案】c

【分析】根据幕函数的定义求出用的值，再代入解析式中检验，即可得到/W，从而得到函数的单调

性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】因为/（力=（3］_,”1）/1为事函数，所以3＞一〃_1=1,解得m=］或〃?=_：,

当〃7=1时，/（X）=f,此时/（X）为偶函数，不符合题意；

当，〃=4时，〃耳=/，此时/卜）为奇函数，符合题意；

所以/（］）=/,则〃力的定义域为{小工0},且函数在（0,y）上单调递减,

则“X）在（-R，。）上单调递减，

所以不等式/（。+2）＜/（4-2〃），

［a+2＜0

即a+2＞4-%＞0或0＞々+2＞4-2〃或J,八八，

4-2«＞0

2

解得］＜。＜2或无解或。＜-2,

所以实数。的取值范围为（--2）噌,2；

故选：C

18.（21-22高一•全国・单元测试）已知幕函数），=/-2，"-3（〃^^）的图象关于），轴对称，且在（0,内）上

单调递减，则满足（〃+1）V＜（3-2〃）卷的。的取值范围为（）

A.（0,a）D.fjo）

c.佗）D.（-8,T）U（|g）

【答案】D

【分析】由条件知m2-2m-3＜（.）,机wN',可得m=1.再利用函数）,=1；的单调性，分类讨论可解不

等式.

【详解】幕函数,，=--24(〃蚱刈在(0,+8)上单调递减，故加一2,〃-3<0,解得-1<，*3.又meN.,

故〃2=1或2.

当m二1时，)，=6的图象关于y轴对称，满足题意；

当机=2时，y=的图象不关于y轴对称，舍去，故m=1.

不等式化为(a+l)T<(3-2a)T,

函数尸一在(—0)和(0.+8)上单调递减，

,23

故。+1>3-2。>0或0>。+1>3-2。或。+1<0<3-2。，解得"T或可〈。〈不.

故应选：D.

题型七：幕函数的奇偶性问题

19.(25-26高一上•全国)若幕函数/")是R上的偶函数，且在区间(―⑼上单调递减，若

«=/(-1.5),Z?=/(-1.4),c=/(0.6),则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【分析】运用幕函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可.

【详解】/W为偶函数，所以c=/(O.6)=/(-O.6),又因为幕函数〃犬)在(y,0)上单调涕减，

所以/(-1.5)>/(-1.4)>/(-0.6)=/(0.6),即.

故选：B.

20.(21-22高一上•安徽•期中)黑函数/。)=(〃『_〃-)/+2心在区间3+8)上单调递增，且K〃>(),

则/3)+/(份的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

【答案】A

【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可.

【详解】由函数/(X)=(〃>〃I)/+2，T是幕函数，可得保-吁1=1,解得用=2或5=T.

当加=2时,/(x)=x3;当初=-1时,W.

因为函数/*）在（。，”）上是单调递增函数，故〃幻=V.

又。+力>0,所以,所以/（。）>/（-力=一/（勿，则/3）+f（》）>0.

故选：A.

W-」

21.（21-22高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知/（力=（>—2〃.7卜丁是罂函数，且在（0，e>）上单调

递增，则满足的实数。的范围为（）

A.（Y,0）B.（2+8）C.（0,2）D.（F,0）U（2,4^））

【答案】D

【分析】由幕函数的定义求得〃?的可能取值，再由单调性确定机的值，得函数解析式，结合奇偶性求

解.

【详解】由题意/_2〃2-7=1,掣得m=4或相=一2,

又/（力在（0,a）上单调递增，所以等>0,m>2,

所以m=4,〃%）=£,易知/*）是偶函数，

所以由得|〃一1|>1,解得〃<。或。>2.

故选：D.

题型八：幕函数的比较大小问题

22.（25-26高一上•安徽安庆•阶段练习）已知。=2。2,〃=0.4。2,=0.15。」，贝lja,3c的大小关系是

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【分析】根据幕函数单调性分析判断即可.

【详解】因为y=户在R上单调递增,所以2。2>0.产，即心〃，

又因为0.4*（042）。」=0.16。」，又且丁=工。」在［0,+8）上单调递增，

所以0.16°」>0.15°>，,所以。>6>c.

故选：A.

22

23.（25-26高一上•甘肃白银阶段练习加产，>-2=9,为=125”,则（）

A.y2>y3>y,B.y3>y1>y2

C.y,>%>MD.外>H>%

【答案】C

【分析】将M,乃，为换算成幕函数.丫=”的形式，然后根据函数的单调性求解.

3，1u222，J

【详解】由题意可知,y.=7^=（7）=343,y2=9=（9）=81",

因为y=”在（0,y）上是增函数,且343>125>81,

所以.%>%>%.

故选：C.

/0、0.3z।、0.3/।\-0.3

24.（25-26高一上•天津•期中）已知力=：,c=i，则〃，屋c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<h<c

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】利用幕函数/（x）=/3的单调性比较大小即可.

【详解】。=&「=4叱幕函数/次）=户在（0,位）上单调递增，因为;<]<4,所以/['</•《）</

即《『<产,所以〃<a<c,故选：D.

题型九：帚函数性质的综合问题

25.（25-26高一上•北京•期中）已知幕函数f（x）=（3"12〃7）/（,"R）在定义域上不单调.

（1）求函数/0）的解析式；

⑵函数/*）是否具有奇偶性？请说明理由；

⑶若〃。+1）+/（2，-3）<。，求实数。的取值范围.

【答案】（i）/a）=^；

⑵奇函数，理由见解析；

【分析】（1）由幕函数的定义可得，〃=-：或〃?=i,结合函数/*）的单调性验证得解.

（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.

【详解】（1）由幕函数/（幻43〃/-2加）/",得3〃?2-26=1,解得m=1或机=一：，

若〃E,则/（x）=x在定义域R内单调递增，不合题意；

若m=J,则/⑴=X3=正在定义域（f0）,（0,内）内单调递减，

但/⑶在定义域（—0儿（0，y）内不单调，符合题意；

所以函数的解析式为

（2）函数/"）为奇函数，理由如下：

函数/“）的定义域（9,0）（。，2）关于原点对称，

且/（r）=W=—《=一/（”），所以函数/（“）为奇函数・

（3）由33+1）+，（2。-3）＜0及/（劝为奇函数,

得/（。+1）＜-〃2。-3）=/（3-2。）,

即伍+1-＜（3-2工,

而/W在（f，。）上递减且恒负，在（。，位）上递减且恒正，

＜7+1＞067+1<0

。+1<0,23

所以＜3-2"＞0或,3—2a<0或,解得或铲4＜耳，

3-2〃>0

。+1＞3-2。。+1>3—2。

?3

所以实数。的取值范围（-8,-1）5反弓）.

26.（25-26高一上•河南许昌•期末）已知函数/*）=（3〃/-8〃?-2）廿（/〃wR）为幕函数,且F（x）在（0,内）上

单调递增.

⑴求/（X）的解析式；

⑵若/（〃+4）+/（-/+”1）＜。，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/U)=x3

⑵(f-l)53,xo)

【分析】(1)根据幕函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，"=3,即得函数解析式；

(2)利用函数=/的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得.

【详解】(1)因函数“幻=(3/-8〃7-2)/(,〃€对为幕函数，且/(x)在(0,+8)上单调递增，

„.3nr-8/w-2=1,.„,

则、n解得m=3,故，")=•?;

(2)因为函数/(©=/为奇函数且在R上单调递增，

所以不等式/(。+4)+/(-/+a_i)〈o可化为+

所以〃+4<a2—a+1,gpa~—2«—3>0

解得a<T或〃>3,

故实数。的取值范围为(YO,T)53,E).

27.(25-26高一上•云南昆明・期末)已知函数/*)=(〃-5〃?+5)广为幕函数，且/(M满足/(—)=-/⑴.

(1)求实数加的值；

⑵若函数,式幻'-/(幻，其定义域为©”).

x

①证明：g(X)任3+8)上为减函数；

②求使不等式,式3—1)>8⑺成立的实数，的取值范围.

【答案】(l)m=l

⑵①证明见解析；②I｝；］

【分析】(1)根据黑函数的定义和性质得解；

(2)①利用单调性的定义证明；

②利用单调性解不等式.

【详解】(1)因为/&)=(>-5/〃+5)/为基函数，

所以加一5m+5=1,解得机=1或5=4,

又因为〃r)=—/(x),所以/“)为奇函数，故加=1

（2）①证明：由（1）知/⑴=5♦，则,

.1X

设x,>升>0,

AJ__1_

则g(-l)-S(^2)=--Xi-—+X+(x2-xl)=(x2-xl)

Xl”22苒X，)

1

因为x>>Xj>0,所以(勺-K)+1>0,所以g(h)-g(毛)>0,故g&)>g(芍).

所以g㈤在（。，+8）上为减函数.

②因为g（x）在（0,讨）上为减函数，其定义域为（。，~）,

3-1>0、

所以g⑶-i）>g⑺等价于；/>0,解得;</<：,

所以实数，的取值范围为（g，£j.

【专项训练】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课后作业）下列函数中，属于幕函数的是（）

A.y=（2x）2B.y=«C.y=--D.y=2'

x

【答案】B

【分析】由幕函数的定义即可求解.

【详解】形如y=K（G为常数且坯R）为幕函数，要求底数为变量且系数为1,

对比选项仅有B：y=4=/符合要求.

故选：B.

2.（25-26高一上・江苏苏州•期末）设幕函数〃x）=x"，则"。<0”是“/（"在定义域内单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】利用黑函数的性质即可作出判断.

【详解】若幕函数"x）=x"在定义域内单调读减，则必有。<0;

但如o=T<0,/（x）=k="!"不在定义域内单调递减.

X

故选：B.

3.（25-26高一上•上海长宁•期末）如图是4个幕函数在第一象限内的图像，则（）

A.a<b<c<dB.b<a<c<d

C.a<h<d<cD.b<a<d<c

【答案】A

【分析】根已知黑函数图象在x〉l或0<x<l时图象上下关系，结合构造函数/（，）=",利用指数函数

的单调性做出判断.

【详解】由已知图象可知当x>l时，/vdvx，<一,

当0。<1时，xa>^>^>xd,

而函数/0）=/在底数x>1时为/的单调增函数，

在底数x满足0<%<1时为，的单调减函数，

a<b<c<d.

故选：A

4.（25-26高一上•河北承德•期末）若黑函数/（"的图象过点（2,点），则是（）

A.奇函数B.偶函数

C.乩芹）上的增函数D.R上的增函数

I答案1C

【分析】利用幕函数定义和待定系数法来求解幕函数，再结合幕函数的性质来进行判断即可.

【详解】设幕函数,则f（x）=2〃=血，解得a=g,

所以/（x）=X，=yfx＞

由于该函数定义域为［。，也），故既不是奇函数也不是偶函数，

且/（x）是［0，+的上的增函数，所以A、B、D都是错误的，

故选：C.

5.（25・26高一上广东•期末）若幕函数/（"=（/-2〃-2）/在（0,+8）上是单调递增的，则（）

A./（-1）=1B./（!）=-!

C.7（x）在（f0）上是单调递增函数D」（x）是偶函数

【答案】C

【分析】先根据幕函数性质得到。=3,/（刈=/，代入计算得到AB错误；根据/（同=M的单调性和

奇偶性得到C正确，D错误.

【详解】由题意得/一2。-2=1且。＞0,解得。=3或（舍去），

故/（力=/,

A选项，〃T）=-1,A错误；

B选项，"1）=1,B错误；

C选项，/（力=/在R上单调递增，故“力在（田,0）上是单调递增函数，C正确；

D选项m=T（x）,故“力不是偶函数，D错误.

故选：C

6.（25-26高一上•广东广州•期末）已知幕函数）=/"）的图象过点（2,4）,则不等式/（次-1）＞/（2、）的

解集为（）

A.（fl）B.

\Jz

C.（1,-KO）D.-oo,l^U（L+oo）

【答案】D

【分析】根据幕函数解析式结合题意可得,代入解一元二次不等式即可.

【详解】设幕函数/(x)=y\awR,

因为辜函数〉'=/(月的图象过点(2,4),

则2。=4,解得。=2,gp/(x)=x:,

因为〃3xT)>〃2x),即(3x—l/>(24，

整理可得5_?_6工+1>0,解得无>1或,

所以不等式/(3.-1)>/(2”的解集为［F,£|5L+8)

故选：D.

7.(25-26高一上•湖南衡阳.期末)幕函数)，=/")过点(与，夕(fx),Q(±M是其图象上任意两

点(N5).则下列结论惜误的是()

/二+/］</（百）+/伍）

C“(詈”叫/⑸I2）2

【答案】D

【分析】设/("=/,根据基函数所过的点求出/(x)的解析式，进而逐项判断即可；

【详解】因为/(月是幕函数，可设“6=/,

因为基函数/(X)的图象经过点崎

所以*3,即2恐2%，解得：""J，

所以〃幻=&，定义域为py),

对于A,设B)=#*)=%4，定义域为［o,+8),因为齐。,

所以g(x)在(0，+。)上单调递增，

若,则有g(Z)<g*2),即xJ(xJvw/&),故A正确；

对于B,设力*)=回=也=；=;3,定义域为(0,田),因为-；<。，

xXJx2

所以何X）在3”）上单调递减，

若。＜玉＜々，则有〃（卬＞〃（々），即上，故B正确；

对于CD/（芭+*2]_Jx+Wj（3）+:（■）_

2（耳+占）_$+£f/（r）+/（w）丫_:+w+27^

jI2J"2\2J"4

而二三上二!*.＞用+%+2^^,（“一修）等号不成立，

244

(%+与］f

所以尸I2H＞2J

又心刊＞0,/竺/㈤＞0,

所以JW1〉嘉;森,C对，D错，

故选：D

二、多选题

8.（25-26高一上•广东揭阳•阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

A.v=xB.）7

C.y=--D.y=x4

x

【答案】AB

【分析】根据幕函数和反比例函数的图象与性质依次判断可.

【详解】对于A,y=x为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确；

对于B,y=v为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确；

对于C,y=」为奇函数，但只在（—0）和（0,+8）上分别为增函数，

不是整个定义域上的增函数，故C错误；

对于D,），=/为偶函数，故D错误.

故选：AB.

9.（25-26高一上•全国•课后作业）下列关于幕函数，，=/的性质，描述正确的有（）

A.当。=-1日寸，函数在其定义域上为减函数B.当〃=0时，函数尸亡不是幕函数

C.当。=2时，函数是偶函数D.当。=3时，函数与x轴有且只有一个交点

【答案】CD

【详解】幕函数），=：在（YO,0）和@内）上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当。=0时，

函数”/是黑函数，故8错误；y=V是偶函数，故。正确；当〃=3时，函数为），=/,当，=。时，只

有唯一解工=0,故。正确.

10.（25-26高一上•广东汕头•期末）已知幕函数/⑺的图像经过点（2,@，则下列命题手磅的是（）

A.7"）为非奇非偶函数

B./"）的值域是（。,+8）

c.若。＜%气，贝。）；〃,"）＜/（宥:

D.g（M=/（x+1）-/（x）在（0,+8）上单调递减

【答案】ACD

【分析】根据幕函数的定义，运用代入法，结合幕函数的性质逐一判断即可.

【详解】由函数/（X）是幕函数，设〃X）=x",又/"）的图像经过点⑵&）,

所以〃2）=2。=&=2；,**a=2，即"1）=卢=。­

对于A,函数的定义域为0+8），不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A正确；

对于B,因为xNO,所以y?0，故B错误；

对于c,因为，所以（9_尸（空卜一（医1）

菁+&+2反再+/一百一/+2国,所以，故C正确;

42442k2；

对于D,g（x）=f（x+\）-f（x）=4^i-^=-j==-^=,

由函数单调性的性质可知，函数g（x）=/*+l）-/G）是（0.E）上的减函数，故D正确，

故选：ACD

11（25-26高一上•新疆巴音郭楞.期末）已知幕函数/（x）的图象经过点（24）则下列判断正确的有（

A./（x）在区间（0,+e）上为减函数B.f（x）的值域为R

C.方程可可=27的实数根为工=±3D.|〃力|为偶函数

【答案】AD

【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可出选项，根据幕函数的性质判断；

C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断.

【详解】由题意可设黑函数〃=f,/（x）的图象经过点（2$）,

则2。=：,解得a=-3,故〃x）=x-3,/（x）在（0,内）上为减函数，故A正确；

O

/（"的值域为（~，。）=（0，也），故B错误；

/（附=27,则|短=27,解得尸土;，故C错误；

|〃T）|=，（x）|=k「，定义域为（田，0）5。，+8）,故"X）为偶函数，故D正确.

故选：AD.

12.（25-26高一上•浙江嘉兴•期末）已知黑函数/（x）=LS为常数），则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）的图象都经过点（I』）

B.若。=3,则/⑶=27

C.若a=T,则函数/"）为偶函数

D.若函数的图象经过点（42）,则函数“X）在其定义域上单调递减

【答案】AB

【分析】利用幕函数图象性质判断A;求出函数解析式判断BCD.

【详解】对于A,/⑴=产=1,A正确；

对于B,当a=3时,/（x）=Y,则”3）=27,B正确；

对于C,当a=-1时，/（力=!，为奇函数，C错误；

对于D,若函数/（力的图象经过点（42）,则=6,函数”可在其定义域上单调递增，D错误.

故选：AB

三、填空题

13.（25-26高一上•湖南永州•阶段练习）已知黑函数），=”/〃蚱N"）的图象关于），轴对称，且在（0,+⑹

上是减函数勿的值为

【答案】1

【分析】根据幕函数定义和函数单调性列出关于参数机的不等式和方程即可求解.

【详解】因为幕函数广/…在（。2）上是减函数，

所以3m-9<0,所以〃?<3,因为，所以m=1或2,

又因为函数图象关于），轴对称，所以3加-9是偶数，所以〃?=1.

故答案为：1

14.（25-26高一上•江苏宿迁•期末）已知幕函数图象经过点，则函数/（K）的增区间

为.

【答案】（f0）

【分析】直接代入即可求出。=-2,则得到其增区间.

【详解】由题意得;=2。，贝1］。=-2,M/（x）=x-2,

则其增区间为（—，（））.

故答案为：（f0）.

15（25-26高一上•山东聊城・期末）已知点。（。⑼,A（T-1）若。，人这两点中有且只有一点在幕函数〃力

的图象上，则/（”的解析式可以为.（写出一个满足条件的〃力的解析式即可）

【答案】:（答案不唯一）

【分析】根据题意，由常见黑函数的图象与性质即可求解.

【详解】由点0（0,0）,4（-1,-1）,且。,A这两点中有且只有一点在幕函数的图象上，

可取基函数/（力=一，

验证如下：点。（0。）不在函数1图象上,点A（T-l）在函数/（%）=■?■图象上,且函数=L为

幕函数，满足题意.

故答案为：1（答案不唯一）

X

16.（25-26高一上•江苏无锡・期末）已知幕函数/"）=尸?（）的图象关于原点对称，且在（O.+°°）上

单调递减，若1>（「24）?，则实数。的取值范围是.

【答案】［o,£

【分析】先根据幕函数的性质求出胆的值，再根据幕函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为幕函数/*）=/"（阳wN）的图象关于原点对称，且在（0,+8）上单调递减，

所以"2<0且吁2为奇数，

又加eN,所以m=1,

则a号>（1—2。）号，即为/>（1—,

因为函数）,=/：的定义域为（。，+8）且为减函数，

（7>0

所以心>0,解得0<T,

a<l-2a

所以实数〃的取值范围是］of；

故答案为：

四、解答题

17.（25-26高一上•陕西安康・期末）已知幕函数”x）=,+“+；卜+八1的定义域为［。,也）.

（1）求a+Z?的值；

⑵判断/（x）在［0,3）上的单调性，并用定义法进行证明.

【答案】（1）-

（2）/（“在［0,*）上单调递增，证明见解析

2111

【分析】（1）由已知可得〃=,求解结合定义域可得"==5,可求；

/?-1=0［b=l

（2）在py）上单调递增，利用单调性的定义证明即可.

21,

【详解】（1）因为/«=（/+〃+；a~+a+-=]

犬+1是鬲函数，所以4

力-1=0

3

a=——

解得"=5或2,

b=\b=\

当〕”2,幕函数〃同=消的定义域为口+⑹，符合题意；

b=1

3

（i=—

当2幕函数/（工人涓的定义域为（0，也），不符合题意；

b=\

I

4=-3

所以2,所以〃3.

b=\2

（2）“X）在［。,田）上单调递增，理由如下：

由（1）可得/1（力=12=«,

小七e［0,+co）且不＜是,

所以小）-/（6斤G（嘉一沙夕何=声+,

因为也小式。，—），6之0,