新课标二试题及答案

新课标二试题及答案选择题（每题4分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|x²-4x+3<0}，则A∩B=（）A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<2或2<x<3}2.在等差数列{an}中，a3=7，a7=13，则a11=（）A.19B.20C.21D.223.函数f(x)=sin(2x+π/4)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.3π/2D.2π4.已知向量a=(2,3)，b=(1,-2)，则a·b=（）A.-4B.-2C.4D.85.在△ABC中，A=60°，b=2，c=3，则a=（）A.√7B.√10C.√13D.√19填空题（每题4分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f'(1)=____。2.已知复数z=(1+i)/(1-i)，则|z|=____。3.已知双曲线x²/4-y²/9=1，则其渐近线方程为____。4.已知随机变量X~N(0,1)，则P(X<1)=____。（保留两位小数）5.已知直线l的参数方程为x=1+t，y=2-t（t为参数），则直线l的普通方程为____。解答题（每题10分，共30分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)+ax，其中a为常数。（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos²(A/2)-cosA=3/2，且a=2，b=√7，求c的值。3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1=2Sn+1（n≥1），a1=1。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/n}的前n项和Tn。应用题（15分）某公司生产一种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品需要增加成本0.5万元。根据市场调研，当产量为x（百件）时，产品的售价为p（万元/百件），且p与x的关系为p=10-0.1x（0≤x≤50）。（1）求利润函数L(x)；（2）求使利润最大的产量x及最大利润；（3）若政府每生产一件产品补贴0.2万元，求此时的最优产量及最大利润。综合探究题（15分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，且过点(√3,1/2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求m与k满足的关系式；（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值。标准答案及解析选择题1.答案：A解析：首先求解不等式x²-3x+2<0，因式分解得(x-1)(x-2)<0，所以1<x<2，即A=(1,2)。再求解不等式x²-4x+3<0，因式分解得(x-1)(x-3)<0，所以1<x<3，即B=(1,3)。因此，A∩B=(1,2)，故选A。2.答案：A解析：等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d。由a3=7，a7=13，可得：a3=a1+2d=7a7=a1+6d=13解得d=3/2，a1=4。所以a11=a1+10d=4+10×(3/2)=4+15=19，故选A。3.答案：A解析：函数f(x)=sin(2x+π/4)的周期可通过公式T=2π/|ω|计算，其中ω=2。所以T=2π/2=π/2，故选A。4.答案：A解析：向量a=(2,3)，b=(1,-2)，则a·b=2×1+3×(-2)=2-6=-4，故选A。5.答案：C解析：在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc·cosA=2²+3²-2×2×3×cos60°=4+9-12×(1/2)=13-6=7所以a=√13，故选C。填空题1.答案：1解析：函数f(x)=x³-3x²+2x+1的导数为f'(x)=3x²-6x+2。所以f'(1)=3×1²-6×1+2=3-6+2=1。2.答案：1解析：复数z=(1+i)/(1-i)，分子分母同乘以(1+i)得：z=(1+i)²/[(1-i)(1+i)]=(1+2i+i²)/(1-i²)=(1+2i-1)/(1-(-1))=2i/2=i所以|z|=|i|=1。3.答案：y=±(3/2)x解析：双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程为y=±(b/a)x=±(3/2)x。4.答案：0.84解析：随机变量X~N(0,1)，则P(X<1)可以通过标准正态分布表查得约为0.8413，保留两位小数为0.84。5.答案：x+y-3=0解析：由直线l的参数方程x=1+t，y=2-t，消去参数t得：t=x-1，代入y=2-t得y=2-(x-1)=3-x所以直线l的普通方程为x+y-3=0。解答题1.解：（1）当a=1时，f(x)=ln(x+1)+x。求导得f'(x)=1/(x+1)+1=(1+x+1)/(x+1)=(x+2)/(x+1)。当x>-1时，f'(x)的符号取决于x+2的符号。当x<-2时，f'(x)<0，函数单调递减；当-2<x<-1时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>-1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)的单调递减区间为(-∞,-2)，单调递增区间为(-2,+∞)。（2）f(x)=ln(x+1)+ax，求导得f'(x)=1/(x+1)+a。①当a≥0时，f'(x)=1/(x+1)+a>0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)=ln1+a×0=0，满足条件。②当a<0时，f'(x)=1/(x+1)+a，令f'(x)=0，得x=(1/a)-1。由于a<0，所以x=(1/a)-1<0，因此在区间[0,1]上f'(x)>0，函数f(x)单调递增，最小值为f(0)=0，满足条件。综上所述，a的取值范围为[0,+∞)。2.解：由2cos²(A/2)-cosA=3/2，利用二倍角公式cosA=2cos²(A/2)-1，得：2cos²(A/2)-(2cos²(A/2)-1)=3/21=3/2这显然不成立，说明题目可能有误。我们重新审视题目。可能的题目为：2cos²(A/2)+cosA=3/2。代入cosA=2cos²(A/2)-1，得：2cos²(A/2)+(2cos²(A/2)-1)=3/24cos²(A/2)-1=3/24cos²(A/2)=5/2cos²(A/2)=5/8cosA=2cos²(A/2)-1=2×(5/8)-1=10/8-8/8=2/8=1/4所以cosA=1/4。由余弦定理，a²=b²+c²-2bc·cosA，代入a=2，b=√7，得：4=7+c²-2×√7×c×(1/4)c²-(√7/2)c+3=0解这个二次方程：c=[(√7/2)±√((7/4)-12)]/2=[(√7/2)±√(-41/4)]/2由于判别式为负，无实数解，说明题目可能有误。我们重新假设题目为：2cos²(A/2)+cosA=1/2。代入cosA=2cos²(A/2)-1，得：2cos²(A/2)+(2cos²(A/2)-1)=1/24cos²(A/2)-1=1/24cos²(A/2)=3/2cos²(A/2)=3/8cosA=2cos²(A/2)-1=2×(3/8)-1=6/8-8/8=-2/8=-1/4所以cosA=-1/4。由余弦定理，a²=b²+c²-2bc·cosA，代入a=2，b=√7，得：4=7+c²-2×√7×c×(-1/4)c²+(√7/2)c-3=0解这个二次方程：c=[-(√7/2)±√((7/4)+12)]/2=[-(√7/2)±√(63/4)]/2=[-(√7/2)±(3√7/2)]/2所以c=(√7)/2或c=-2√7由于c>0，所以c=√7/2。3.解：（1）由an+1=2Sn+1，可得Sn+1=Sn+an+1=Sn+2Sn+1=3Sn+1。又因为Sn+1-Sn=an+1=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1。这是一个递推关系，我们可以通过构造辅助数列求解。设Tn=Sn+k，代入Sn+1=3Sn+1，得：Tn+1-k=3(Tn-k)+1Tn+1=3Tn-3k+1+k=3Tn-2k+1令-2k+1=0，得k=1/2。所以Tn=Sn+1/2，则Tn+1=3Tn。这是一个等比数列，首项T1=S1+1/2=a1+1/2=1+1/2=3/2。所以Tn=(3/2)×3n-1=(3^n)/2。因此，Sn=Tn-1/2=(3^n)/2-1/2=(3^n-1)/2。所以an=Sn-Sn-1=(3^n-1)/2-(3n-1-1)/2=(3^n-3n-1)/2=3n-1-1。即an=3n-1-1。（2）数列{an/n}的前n项和Tn=∑(k=1到n)(3k-1-1)/k=∑(k=1到n)(3k-1/k-1/k)。所以Tn=∑(k=1到n)3k-1/k-∑(k=1到n)1/k。其中，∑(k=1到n)1/k是调和级数，没有简单的闭式表达式，但可以表示为Hn（第n个调和数）。而∑(k=1到n)3k-1/k可以通过展开求和：∑(k=1到n)3k-1/k=∑(k=1到n)3k×(1/k)-∑(k=1到n)1/k=∑(k=1到n)3-∑(k=1到n)1/k=3n-Hn。所以Tn=3n-Hn-Hn=3n-2Hn。其中Hn=1+1/2+1/3+...+1/n。应用题解：（1）总成本C(x)=固定成本+可变成本=10+0.5x（万元）。总收入R(x)=单价×产量=p×x=(10-0.1x)x=10x-0.1x²（万元）。利润函数L(x)=R(x)-C(x)=(10x-0.1x²)-(10+0.5x)=-0.1x²+9.5x-10（万元）。（2）求利润函数L(x)=-0.1x²+9.5x-10的最大值。这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为x=-b/(2a)=-9.5/(2×(-0.1))=9.5/0.2=47.5。由于x必须是整数，且0≤x≤50，所以取x=47或x=48。计算L(47)=-0.1×47²+9.5×47-10=-0.1×2209+446.5-10=-220.9+446.5-10=215.6（万元）。计算L(48)=-0.1×48²+9.5×48-10=-0.1×2304+456-10=-230.4+456-10=215.6（万元）。所以当产量为47百件或48百件时，利润最大，最大利润为215.6万元。（3）若政府每生产一件产品补贴0.2万元，则新的利润函数为：L'(x)=L(x)+0.2x=-0.1x²+9.5x-10+0.2x=-0.1x²+9.7x-10。这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为x=-b/(2a)=-9.7/(2×(-0.1))=9.7/0.2=48.5。由于x必须是整数，且0≤x≤50，所以取x=48或x=49。计算L'(48)=-0.1×48²+9.7×48-10=-0.1×2304+465.6-10=-230.4+465.6-10=225.2（万元）。计算L'(49)=-0.1×49²+9.7×49-10=-0.1×2401+475.3-10=-240.1+475.3-10=225.2（万元）。所以当产量为48百件或49百件时，利润最大，最大利润为225.2万元。综合探究题解：（1）椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为e=√(1-b²/a²)=√3/2。所以1-b²/a²=3/4，即b²/a²=1/4，所以a=2b。椭圆过点(√3,1/2)，代入得：(√3)²/a²+(1/2)²/b²=13/a²+1/(4b²)=1代入a=2b，得：3/(4b²)+1/(4b²)=14/(4b²)=11/b²=1所以b²=1，b=1，a=2。因此，椭圆C的标准方程为x²/4+y²/1=1，即x²/4+y²=1。（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点。将y=kx+m代入椭圆方程x²/4+y²=1，得：x²/4+(kx+m)²=1x²/4+k²x²+2kmx+m²=1(1/4+k²)x²+2kmx+m²-1=0设这个方程的两个根为x1、x2，则：x1+x2=-2km/(1/4+k²)x1x2=(m²-1)/(1/4+k²)因为OA⊥OB，所以向量OA·OB=0，即x1x2+y1y2=0。而y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以：x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=(1+k²)x1x2+km(x1+x2)+m²=0代入x1+x2和x1x2的表达式，得：(1+k²)(m²-1)/(1/4+k²)+km(-2km)/(1/4+k²)+m²=0整理得：[(1+k²)(m²-1)-2k²m²]/(1/4+k²)+m²=0[(1+k²)(m²-1)-2k²m²]+m²(1/4+k²)=0(m²-1+k²m²-k²-2k²m²)+(m²/4+k²m²)=0(-1-k²+m²-k²m²)+(m²/4+k²m²)=0-1-k²+m²-k²m²+m²/4+k²m²=0-1-k²+(5/4)m²=0(5/4)m²=1+k²m²=(4/5)(1+k²)所以m与k满足的关系式为m²=(4/5)(1+k²)。（3）在（2）的条件下，△OAB的面积S=(1/2)|OA×OB|=(1/2)|x1y2-x2y1|。因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以：x1y2-x2y1=x1(kx2+m)-x2(kx1+m)=kx1x2+mx1-kx1x2-mx2=m(x1-x2)所以S=(1/2)|m(x1-x2)|=(1/2)|m||x1-x2|。由（2）知，m²=(4/5)(1+k²)，所以|m|=2√(1+k²)/√5。又因为x1、x2是方程(1/4+k²)x²+2kmx+m²-1=0的两个根，所以：(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=[-2km/(1/4+k²)]²-4(m²-1)/(1/4+k²)=4k²m²/(1/4+k²)²-4(m²-1)/(1/4+k²)=[4k²m²-4(m²-1)(1/4+k²)]/(1/4+k²)²=[4k²m²-(m²-1)(1+4k²)]/(1/4+k²)²=[4k²m²-m²-4k²m²+1+4k²]/(1/4+k²)²=(-m²+1+4k²)/(1/4+k²)²代入m²=(4/5)(1+k²)，得：(x1-x2)²=[-(4/5)(1+k²)+1+4k²]/(1/4+k²)²=[-4/5-4k²/5+1+4k²]/(1/4+k²)²=[1/5+(16/5)k²]/(1/4+k²)²=(1+16k²)/[5(1/4+k²)²]所以|x1-x2|=√[(1+16k²)/[5(1/4+k²)²]]=√(1+16k²)/[√5(1/4+k²)]。因此，S=(1/2)|m||x1-x2|=(1/2)×[2√(1+k²)/√5]×[√(1+16k²)/[√5(1/4+k²)]]=√(1+k²)×√(1+16k²)/[5(1/4+k²)]令t=k²≥0，则S=√(1+t)×√(1+16t)/[5(1/4+t)]。为了求S的最大值，我们可以求S²的最大值：S²=(1+t)(1+16t)/[2