考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷11

考研数学三（概率论与数理统计）模拟

试卷11

一、选择题（本题共8题，每题分，共8分。）

1、设随机变量X”…，Xn，…相互独立，记Yn=X2n-X2n-1（=1），根据大数定

律，当n―8时几占依概率收敛到零，只要｛Xn：色1｝（）

A、数学期望存在.

B、有相同的数学期望与方差.

C、服从同一离散型分布.

D、服从同一连续型分布.

标准答案：B

知识点解析：因为Xn相互独立，所以Yn相互独立.选项A缺少“同分布”条件；

选项C、D缺少”数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选

择B.事实上，若E（Xn尸RD（Xn）=J存在，则

£（;£匕）=:£出心）-£（£）］=0,

“（，工匕）=1£［。（工）+。（>3）］=讨=宜这2。2,

I”占'n片/n根据切比雪夫大

数定理：对任意£>0有

Hl.匕-E（袅yjIW十㈣p｛|我y,|W+I,

即,£匕依概率收敛到零.

2、设随机变量序列X|,X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律,

依概率收敛于其数学期望,只要率n：*1｝（）

A、有相同的期望.

B、有相同的方差.

C、有相同的分布.

D、服从同参数p的。一1分布.

标准答案：D

知识点解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量XI，X2,…，Xn，…相互独立

的条件之外，还要求X],X2,…，Xn，…同分布与期望存在.只有选项D同时满

足后面的两个条件，应选D.

3、设X],Xi，Xn，…相互独立且都服从参数为九（入>0）的泊松分布，则当

n—>oo时，以（p（x）为极限的是（）

ryX.-aA

(A)附23(B)P函

Wxn这X

Wx

,JnA

A、

B、

C>

D、

标准答案：C

知识点解析：由于Xi，X2,…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在,

且E（Xi尸入，D（Xi）=X,根据方差与期望的运算法则，有

£（£X）=办，D（£%）;办辰7

因此当n-8时,以（p（x）为极

限，故应选C.

4、设随机变量X],X2,…，Xn相互独.立同分布，其密度函数为偶函数，且

DXi=l,i=l,2,…，n,则对任意£>。,根据切比雪夫不等式直接可得（）

（A"{|；£x-"|<6卜1-5（B）P{

（C）P{小（D）P{A£X.|J卜」％

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由题意知E(Xi)=O,i=l,2,n.记

又=:则以亍)=0,0(反)=:.

根据切比雪夫不等式，有

P{<e}=P］反-£(7)I<£|21-晔=1一

Ws.£故选C.

5、设随机变量X”X2，…，Xn相互独立，Sn=X]+X2+…+Xn，则根据列维一林德

伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要Xi，X2,…，

Xn()

A、有相同的数学期望.

B、有相同的方差.

C、服从同一指数分布.

D、服从同一离散型分布.

标准答案：C

知识点解析：本题考查中心极限定理的应用条件，列维一林德伯格中心极限定理成

立的条件是随机变量X”X2,…，Xn独立同分布，且具有有限的数学期望和非零

方差.而选项A、B不能保证随机变量X1，X2，…，Xn同分布，故均不入选：选

项D不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不入选，因此选C.

6、设总体X服从正态分布N3，/)，其中|4已知，。未知，Xi，X2，…，Xn为

取自总体X的简单随机样本，则不能作出统计量()

(B)maxk.

(D)袅(X,3\

A,

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：因为『未知，故选c.

7、假设总体X的方差D(X)存在，Xi，X2，…，X。是取自总体X的简单随机样

本，其均”和方差分别为冗外则E(X5的矩估计量是()_

(A)S2+P.(B)(a-1)S2+¥.

(C)nS2+X2.(D)iL2-^S2+P.

n

A、

B、

c、

D、

标准答案：D

知识点解析：根据矩估计量的定义确定选项因为E(X2)=D(X)+E2(X),而D(X)与

E(X)矩估计量分别为

-X)2=与"与亍=:£儿,所以£(即)的矩估计量为一9♦讯先

择D.

8、设X是从总体X中取出的简单随机样本X1，X2,…，Xn的样本均值，则股是

H的矩估计，如果()

A、X〜N(R,o2).

B、X服从参数为pi的指数分布.

C、P{X=m}=g(l-^)ml,m=l,2,....

D、X服从［0,诃上均匀分布.

标准答案：A

知识点解析：若X〜N(p,/)，则E(X)寸，N的矩估计为乙三亍应选A.若X服从

E(X)=—,M=亍为■，”的矩估计从=VJ

参数为p的指数分布，则〃E(X)”对于选项C,

X服从参数为bi的几何分布，E(X)=

=忐•…的矩估计&=/;对于选项D.£(X)=泉从=2E(X),〃的矩估计A=2X

二、填空题(本题共73题，每题1.0分，共13分。)

9、假设随机变量Xi，X2，…，X2n独立同分布，且E(Xi)=D(XD=l(l$iW2n),如果

vVx*-X”

"R’则当常数c=时，根据独立同分布中心极限定理，当

n充分大时，Yn近似服从标准正态分布.

立

标准答案：2

知识点解析：记Zi=X2i—X2i.i,则Zi(lSign)独立同分布，且E(Zi)=O,D(Zi)=2.由

独立同分市中心极限定理可得，当n充分大时，

-E(£ZJ

i*I.・I_i*I

代7'衣

近似服从标准正态分布，所以C=V-

10、设随机变量X1，X2，…，Xn...相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则

(结果用标准正态分布函数(p(x)表示).

标准答案：例")

知识点解析：由于Xn相互独立且都在(一1,1)上服从均匀分布，所以E(Xn)=0,

221

-I■

D(X„)-12-3'根据独立同分布中心极限定理，对任意x£R有

沁仪江)声”

limP---------Wx=limP/，・i<=◎(4)•

J。(卒)1

Jftx=S则

11、设随机试验成功的概率p=o.20,现在将试验独立地重复进行100次，则试验

成功的次数介于16与32之间的概率a=.((p(3)=0.9987,(p(l)=0.8413)

标准答案：0.84

知识点解析：令*="在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n,

p)的二项分布,其中n=100,p=0.20,且

£(])="=20,=/叩(।-P)=4.根据棣莫弗一拉普拉斯中心极

..>-£(—)X-20

un=―/=-1—.

限定理，可知随机变量”(X)4近似服从标准正态分布

N(0,1).因此试验成功的次数介于16和32之间的概率

a=P{16WXW32|

=^2032^20|

I444J

=0(3)-0(-1)=0(3)-[1-0(1)]

=0.9987-(1-0.8413)=0.84.

12、设随机变量乂与丫相互独立，且X〜B(5,0.8),Y〜N(l,1),则P{0<

X+Y<10}>.

标准答案：0.928

知识点解析:因为E(X)=4,D(X)=0.8,E(Y)=1,DY=1,所以

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1.8.根据切比雪夫不等式，可得

1.8

1.5，

P{0<X+Y<10}=P{|X+Y-5|<5}>,即尸{0VX+YV10}X).928.

13、D(X)=2,则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—E(X)巨2}W.

1

标准答案：2

知识点解析：根据切比雪夫不等式，有

P\IX-E(X)|这晔，

e

于是可得P\\X-E(X)|22|石爷^=y.

14、设随机变量X1，X2，…Xn，Yl，丫2，…Yn相互独立，且Xi服从参数为人的

1

泊松分布，Yi服从参数为人的指数分布，i=l,2,n,则当n充分大时，

£(小匕)

片近似服从_______分布，其分布参数为_________与_______O

正态;〃=£[y(X,+r.)]=2几人;of(X,+y,)=n(A+A2)

标准答案：勺•1•,

知识点解析:X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互独立同分布.因E(Xi)=D(Xi尸入，

E(Yi)=X,D(Yi)=X2,故E(Xi+Yi尸23D(Xi+Yi)=ZH2,则当n充分大时，

£(X+K)

-1近似服从正态分布，其分布参数

M=^[V(%+匕)]=2nA.(X+匕)=n(A+A2).

i,l

15、设总体X的概率分布为(始2伙1-8)(1-e)J2为未

知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中5个取1,3个取2,2个取

0.则0的矩估计值为,最大似然估计值为.

标准答案：20；20

知识点解析：根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结

尤其中彳=.£一,

果.事实上，设E(X)=,B,,E(X)=20(1—0)+2(1—0)2=2(1一

0)._

令2(1T)=元解得8矩估计量0=1I,由样本值,可得亍=七(5x1+3x2.2xO)

空，故6矩估计值为「＞出粉

又样本似然函数。⑻=玲P(苞⑼=[28(1-8)2]3["]2=25火1-8)“，则有

i■I

ln£=51n2+91n。+llln(l-8),

令曙=5-曰=0,解得”养，即6最大似然估计值为会

16、假设X],X2，...»X16是来自正态总体N(中J)的简单随机样本，X为样本均

值，S?为样本方差，如果PI?＞从+°S|=o.95,则

a=.(to.O5(15)=1.7531)

标准答案：一0.4383

知识点解析：根据_

P\X＞u+a5|=0.95求出。的值，必须知道二幺的分布,

s•D由于X

~所以亍~N3,聆.

那么丝~M0,l),警(15),则亍与6相互独立，所以

a

4(33)/。_4(3-“)

~«15).

S

因此由

0.95=P\X>fjc^aS\=应>4a|

S可知，4a是1(15)分布上a=0.95的分

位点为to.95(15),即4a=395(15),由于t分布密度函数是关于x=0对称的,故一

ta=ti-a»4a=to.95(15)=—to.o5(15)=—1.7531,解得a=-0.4383.

17、设X］,X2，…，Xn为来自区间［一a,a］上均匀分布的总体X的简单随机样

本，则参数a的矩估计量为.

标准答案:

知识点解析：因为E（X）=O,不能用一阶矩来估

£（片）=D（X）+£（彳）=笔^=今

样本二阶矩为:£元,

£（矛）=:£尤

Jn,•1jn

18、设X|,X2,…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度函数为

1.If.A

f（x）=2八一8VxV+co,则入的最大似然估计量1=.

袅氏।

标准答案："W

似然函数▲=1/（阳）=（/）7.+£'”，

两端取对数，可得

«"

1nL=-nln2-nlnA--|xJ,

入isl

令若“六建国”

解得入=，工Ei,所以1=工iix/.

知识点解析：71ftl”出

以，0<X<11

1-cOx,1Wx<2,

19、设总体X的概率密度函数为f（x；0）=0，其他，其中0V0V1是

位置参数，c是常数，Xi，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则

A

c=；0的矩估计量=.

标准答案：J3L；-42（./A2-Y\

知识点解析：根据题意可知。l=J.8+"f(x；e)dx=J()iexdx+Ji2=2(1—cOx)dx=

9+1-9(4-1)

22.因为0翔，

解得c=

2

又因为E(X)=j.xf(x}3)dx=(ftrdx+/(1_y^xjxdx

■-虾A"，

即"f[y-E(X)].

因此4的矩估计量6=J(1-X).

20、设总体X服从(a,b)上的均匀分布，Xi，X2，…,Xn是取自总体X的简单随

机样本，则未知参数a,b的矩估计量为盘=----------花=----------•

=

'"J建，=1&£戛,-对.

标准答案:

知识点解析：

RM=/(b+Q)a",。(X)二出芳^上，，解方程组

41Z

6-a=273(7

设&=•==:2-力方

则Q,6的矩估计量分别为

a=/I-8cr=X-J..(X-X)2，'=。+用。=X+-

21、设X],X1，…，Xn是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，则入的极大

似然估计量为.

标准答案:

知识点解析：因为"正P{X=xJ=去>厂。一，…），则极大似然估计为

L（入）=°P（阳认）=-nA

!

两端取对数,得

InL(A)=2"nA-工In阳！-nA

/•I

两端求微分并令峨■”得

Yx.

*4…。，

解得I=X为极大似然估计量.

三、解答题（本题共29题，每题1.0分，共29分。）

22、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机

地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920

小时的概率.

标准答案：根据独立同分布中心极限定理，假设X表示电器元件的寿命，则X的

/（«）=|iboe耙x>0,

I0,4W°，随机取出16只元件，其寿命分别用

概率密度为

X1，X2，…，X[6表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则16

16

y=Ex

只元件的寿命的总和近似服从正态分布.设寿命总和为台其中

E（Xj）=100,D（Xi）=1002,由此得

16

£(y)=苫£(乂)=16xloo=16OO,D(丫)==16xioo2,

e由独立

同分布中心极限定理可知，Y近似服从正态分布N(1600,16X10()2),于是

P\Y>1920|=1-Pirc1920|=1-p|-r~160(L隼)

/16X1002/16X1002

急1R1-<D(0.8)=1-0,7881=0.2119.

716x1002

知识点解析：暂无解析

23、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期

望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多

少？

标准答案：根据独立同分布中心极限定理，设Xi表示第i只零件的重量(i=l,

SOOO

、丫=EX

2,…，5000),且E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.I2.设总重量为含1,则有

E(Y)=5000x0.5=2500,D(Y)=5000x0.12=50,根据独立同分布中心极限定理可

y-2500

知Y近似服从正态分布N(2500,50),而胸近似服从标准正态分布N(0,1)

P|y>2510|=P|-2500>—电—―吗

75o同

Y2500

=P\>1.4142131-0(1.4142)

所求概率为=1-0.9207=0,0793.

知识点解析：暂无解析

(6+1)/,0<x<1,

/(«)=

0

24、设总体X的概率密度为^其它，其中0>—1是未

知参数，X],X2,…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用

矩估计法和极大似然估计法求0的估计量.

8+1

标准答案：总体X的数学期望是E(X)=LoExf(x)dx=d(0+l)x°+】dx=夕+2•令

6+1-3_2X-1

K='得到参数。的矩估计量为-1-%.设xi，X2，…，xn是相对于样本

X1,X2,…，Xn的一组观测值，所见似然函数为

a

[(0+l)(nx0<xf<l,(i=1,2,3,…，门)

L=

其他

0,当0VxiVl(i=l,2,

型二£1叫=0,

3,...»n)时，L>0且lnL=nln(0+l)+令明"1**'解得

e=-i.

6的极大似然估计为ISI

知识点解析：暂无解析

XX44-AU

25、设X的概率密度为([)求e的矩估计量/，Xi，X2，…，Xn是取自总

(H)求a的方差D⑶.

体X的简单随机样本.

(I)E(X)=^xf(x)dx==y,

记亍=,三%，令？=彳得®的矩估计量3=2X.

NJZIz

(n)因为

2

E(.)=Jwxf(x)dx=1%("x)dx=需,

D(X)=E(X2)-E"X)=黑-居了蜴,

所以a=2亍的方差为

0(e)=D(2I)=4D(X)=-D(X)=幺

标准答案：•,八，5"

知识点解析：暂无解析

r2e-2(-#),工>8,

26、设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x；。尸‘°，”★氏其中。,。

为未知参数.又设X”X2,…，xn是X的一组样本观测值，求参数。的最大似然

估计值.

标准答案：似然函数为

.

£(9)»L(xl,x2,•••,«,t9)-2e占"",七>0(i=1,2,…，n),

0,其他，当Xi>0(i=l,

2,n)时，L(G)>0,取对数，得

II

ln£(6)=nln2-2，(力-

因为业誓1=2n>0,所以L(6)单调增加

由于。必须满足Xi>

0(i=L2,…，n),因此当0取X],X2，…，xn中最小值时，L(9)取最大值，所以0

的最大似然估计值为

知识点解析：暂无解析

X0i23

Pr26(1-6)1・28

(0<^<―)

中0是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,

3.求0的矩估计和最大似然估计值.

、、]-[3-EX]

标准答案：E(X)=OV02+|X20(1-G)4-2xG2+3x(l—20)=3—40.G=49的矩

A1一

e=~(3-x)

估计量为4根据给定的样本观察值计算

X=:(3+I+3+O+3+1+2+3)=2.

O

因此夕的矩估计值6=-^-(3—x)=

44对于给定的样

本值似然函数为L(0)=496(I—0)2(1—20)4,lnL(0)=ln4+61ne+2ln(l―0)+4ln(l—

20),

dln£(0)=S_2__8______24--286+6

由一万一17.1-26=6(1--)(1-2町

令端”=。，得方程3-14^3=0,解得6="2_±^叵>2不合题意｝

于是e的最大似然估计值为o=—

知识点解析：暂无解析.

28、设总体X的概率密度为1°，”这%其中0>0是未知参

数.从总体X中抽取简单随机样本Xi，X2，…，Xn，记a二min(X],X2,...»

Xn).⑴求总体X的分布函数F(x)；(II)求统计量0的分布函数七(“)・.

e“(i),x>仇

(I)F(x)=£/(：)d:=

O',xW6.

(D)F;(x)=P\e^x\=P{min(从，"，…,X.)W#|

二1-P|min(Xj,M,…,Z)>«l

=1-PI%>xtX2>♦,・・・,，>x|

=1-[1-F(x)]*

_[I-x>e,

标准答案：1°'y

知识点解析：暂无解析

29、设总体X服从几何分布：p(x；p)=p(l-p)xJ(x=l,2,3,…)，如果取得样

本观测值为XI，X2,…，Xn，求参数P的矩估计值与最大似然估计值.

标准答案：已知总体X的概率函数的未知参数为P，且总体X的一阶原点矩为

v.(X)=E(X)=

'P用样本一阶原点矩的观测值”…作为V](X)的估计值，则

i1V-

一=_\阳=%,

可得参数P的估计值为pnE所以可得参数P的矩估计值为参

数P的似然函数为3)=n[P(i-P)^]=/(1-P)£"

两边同时取近

dln£(P)_&-

i1/(2一m°，

数，并对参数P求导，令导函数取值为0,dpPr(.|

n--=--1

p=1--------------X

解上述含参数P的方程，即得到P的最大似然估计值为|>|

知识点解析：暂无解析

[以…，0<X<1,

/(#;&)=[0,其他，

30、设总体X的概率密度为其中。＞0,如果取

得样本观测值为X|,X2,…,Xn，求参数。的矩估计值与最大似然估计值.

0

标准答案：考虑总体X的一阶原点矩vi(X)=E(X)=Joq.0x8Jdx=0j(?x，x=。+「用

[电

样本一阶原点矩的观测值”…作为vi(X)的估计值，则可得参数0的矩估计值为

言7=-X*.=«.3=产^,

।8+1n因此可得参数。的矩估计值为参数e的似然函

L（e）=n（见（%,）*'',

数为两边同时取对数，并对参数8求导，令导

吗®=-+XInx.=0,

函数取值为0,由8£解上述含参数。的方程，得到0的

*n

8=;------•

£Inx,

最大似然估计值为.

知识点解析：暂无解析

/（%冶）=记—•，-8<x<+oo

31、设总体X服从拉普拉斯分布：26其中参数

0>0,如果取得样本观测值为xi，X2,…，xn,求参数。的矩估计值与最大似然估

计值.

%（X）=fxf（x；e）dx=盘xe-^dx=0.

标准答案：样本的一阶原点矩为样

本的二阶原点矩为

22

匕（*）=E（X）=^xf（x；3）dx=二£e-*dx=

八&=加♦・

叽t2e-dt=^F(3)=2优

用样本二阶原点矩的观测值;£4作为匕（X）'的底计值,则可得参数6的矩估计值为2k=

;£片，因此可得参数6的矩估计值为

参数。的似然函数为

两边同时取对数，并对参数0求导，令结果为0,

dlnL(6)黄立T”解上述含参数，的方程，得到9的最大似然估

de=

计值为e=71台I1-

知识点解析：暂无解析

°・%小，x>0,

/(%;a，6)=

32、设总体X服从伽玛分布：10，"W0,其中参数（a

>0,p>0.如果取得样本观测值为X],X2，…，xn,⑴求参数a与0的矩估计

值；（口）已知a=ao,求参数0的最大似然估计值.

标准答案：⑴伽玛分布的一阶和二阶原点矩分别为

叫（>）=E（X）=称必（X）=E（X2）=必咪）.

P6

分别用祥本的一阶原点炬的观测值：£七和二阶原点矩的观测值十£算作为上述两个等式

的观测值，得

马=LX,=X

Bnf

a(a+1)1V?

伊

解上述方程组，并结合二阶中心矩的实际值

得到参数a与B的矩估计值

_x2

”1

口…)2

X

B:一

1

-十,（口）根据题意，当a=ao时，密度函数

x>0；

/（肛6）=

xC0,

其似然函数为

为〃⑻悬日产=[?&?（*）W两

业皿二吧-£-0,

边同时取对数，并对参数B求导，令结果为o，单B自解上

述含参数P的方程，得到p的最大似然估计值为

知识点解析：暂无解析

,X>\

=9

33、设总体X的分布函数为1°，、W1,其中未知参数p>],

X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：⑴0的矩估计量；(n)0的

最大似然估计量.

标准答案：X的概率密度为

0,xW1.

(I)因为

£(X)=[xf{xyft)Ax=JX•卦七=隹y

令丁J=冗解得0=,所以参数6的矩估计量为

夕一1A-1

”上，

PX-1

其中X是随机样本的数学期望.

(n)似然函数为

.一

1(*=1,2,•••,«),

以⑶=n/M)=("2…乙尸,

"0,其他.

当Xi

>l(i=l,2,…，n)时,L(p)>0,取对数可得

ln£(/3)=n\np-(0+1)£Inx,,

两边对6求导，即得

吗@=A-

令吗第1=0,可得。的最大似然估计量为启=1—・

1N1

知识点解析：暂无解析

e,o<x<i,

i-e.iw%<2,

I0,其他，其中9是未知参数(0

<0<1),X1，X2…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值XI，

X2…，Xn中小于1的个数，求。的最大似然估计.

标准答案:记似然函数为L(0),则

£(6)=6••8(J—6)・(］-8)…,(1-8)=8、(I~»

'一k’两边取对数得

lnL(9)=Nln9+(n—N)ln(l—G),

令笔"=4-尸］=0,解得3=3为6的最大似然估计.

知识点解析：暂无解析

1

0<X<^,

26'

/(牝。)=1

夕W%<1,

2(\-6Y

35、设总体X的概率密度为0,其他，其中参数o(ovo

VI)未知.X1，X2…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.求参数

9的矩估计量在.

标准答案：

E(X)=匚叭叫。他=［新+£^^&=9％1，6)

令£+十二尤其中心:解方程得。的矩估计且为：3=2亍弓.

知识点解析：暂无解析

xe-A,,x>0,

/(%)=

36、设总体X的概率密度为0,其他，其中参数入(大>0)未知,

X|,X2，…Xn是来自总体X的简单随机样本.⑴求参数1的矩估计量；(口)求参

数入的最大似然估计量.

标准答案:

(I)因为E(X)=元所以£(X)=£WA2x2e-A'(k=：=X=>A二"为总体的矩估计量.

（II）构造似然函数

乂加，…，力；入）=0/（%；入）=A2n•Fix,•e-4.?/4,

■a

取对数1"=2nlnA+£Inx.-人£乐，

MH

令需=。=华-9=。=*=*=亳，

isl<B|

故其最大似然估计量为工=春.

A

知识点解析：暂无解析

37、设XI，X2，…Xn为来自正态总体N（w，。2）的简单随机样本，其中/己知，O2

>0未知:和S2分别表示样本均值和样本方差.⑴求参数『的最大似然估计"；

（□）计算以於）和0（6）

标准答案：⑴似然函数

81"____n_[（苞-出了

彳二一**（"*12'

令臂=°，可得/的最大似然估计值/=t生产;，最大似然估计量

（n）根据随机变量数字特征的计算公式可得

£（/）=用£同;修）。=:£%儿・出产=双%-死尸=u（x）=心

°（/）=。[£（工；出=—%）'=

由于X-4~MO.T）,由正态分布的性质可知空生~可（0,1）.因此（士卫/~7（1）,由

*2的性质可知。（五二生/=2,因此0（%-4）2=2『，故。（/）=手.

知识点解析：暂无脑析

38、设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(wJ)与N(N，2O2),其

中。是未知参数且。>0,设2=*—Y,⑴求Z的概率密度f(x,11)设2|,

(T.

Z2,…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求『的最大似然估计量

标准答案：⑴因为X~N(N，J),Y-N(山2『)，目.X与Y相互独立，故Z二X

一Y~N(0,3o2).所以，Z的概率密度为

2

f(zyff)=--eM,(-8<Z<+oo).

(D)似然函数

L(a2)=fl/(z,,a2)=-------7~~—=(6p)油,tj,

e(6B)，(。2)于

ln£(a2)=-^-In(67r)-yln(Gr2)-^5£z：,

2OCT।s।

令人一d%lnL尸(cr')"万n+而1亍V牙2”n

解得最大似然估计值为浸二白才,最大似然估计量为于=今

知识点解析：暂无解析

39、设总体X的概率密度为°，其他，其中0为未知参数且大

于零，Xi，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.⑴求0的矩估计量；(II)

求0的最大似然估计量.

标准答案：

(I)E(X)=(xf(x)dx=[/(!(?)=-^^e-,d(£)=J.

令E(X)=元得到矩估计百=X.

(U)对于总体X的样本值XI，X2，…，Xn，其似然函数为

L(阳，近，…，4源)=/(航，。)/(七，夕)…/(4，")=♦(阳盯…4)-%-4%支

,,,

InL=2n\n8-31n(x,x2xR)-0(—+…+

'3XJ

a。eU,

得到最大似然估计最为百=咯」，

£于

ISI4i

知识点解析：暂无解析

40、已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0,1,2且P{X=2}:(1—0)2,

E(X)=2(1—0)(0为未知参数).⑴试求X的概率分布；(1)对X抽取容量为10的

样本，其中5个取1,3个取2,2个取0,求0的矩估计值、最大似然估计值；

(HI)求经验分布函数.

标准答案:(I)设X的概率分布为P{X=O}=p(),F{X=l)=pi，P{X=2)=p2,根据题设

知P2=(l—9)2，又E(X)=2(1—0)=0xpo+lxpj+2xp2=pi+2p2=2(1—8),解得pi=2(l

一8)一12(1—0)2=20(1—0),而po+pi+p2=l，所以po=l—pi—p2=o2，X的概率分

A012

p\x=k\炉20(।-e)(i-疗

布为(U)根据定义

e=i.庄

求矩估计值、最大似然怙计值.设产E(X尸2(1—6),解得2,于是。的

〜1-

6=1-k1,

矩估计量2.将样本值代入得9的矩估计值为

1-2-xio(5X1+3x2+2x0)=1-20=

210RR所以样本值的似然函数

L(孙，…，孙。冶)=UPIX=再⑼=[28(1-S)『(1-6)3=2%“1W

i■I

InL=5in2+91n8+Hln(l-G),

令曙=葛-丹=°，解得3的最大似然估计量1=卷

<1(/tf1-t7ZU