考研数学一（高等数学）模拟试卷182

考研数学一（高等数学）模拟试卷182

-、选择题（本题共3题，每题7.0分，共3分。）

sin2/

1、设f（x）=J（）x1dt,g（x）=Joxsin2（x—t）dt,则当x-0时，g（x）是f（x）的（）.

A、高阶无穷小

B、低阶无穷小

C、同阶但非等价的无穷小

D、等价无穷小

标准答案：A

知识点解析：

•2

'sin%sinz

由lim△千)=lim——--=---lim“务.=曰得N-0时,/(/)

IkIj/

又g(x)=「

sin2(x-t)dt=sin2w(—du)

J0

由=lim察^=--得当7fo时,g(2)

DJCST6

故g（”）是/Cr）的高阶无穷小，应选（A）.

2、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3-1在点（1,一1）处切线相同，则（）.

A、a=l,b=l

B、a=-1,b=-1

CNa=2,b=l

D、a=-2,b=-1.

标准答案：B

知识点解析：由y=x2+ax+b得y=2x+a,2y=xy37两边对x求导得

2y=y3+3xy2y',解得y=2一3初？，因为两曲线在点⑴一］）处切线相同，所以

=l+a+6

a=-1

2+LR，解得

h=-1、

，应选(B).

3、下列命题正确的是（j.

A、若If（x）I在x=a处连续，则f（x）在x=a处连续

B、若f(x)在x=a处连续，则If(x)I在x=a处连续

C、若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续

lim

D>若也*。[f(a+h)一f(a—h)]=0»则f(x)在x=a处连续

标准答案：B

知识点解析：

令/(X)=『£Q：显然।/(X)i=1处处连续•然而/(/处处间断.(A)不对；

I—1.2€RQ・

令/(x)=*0，显然/(力在％=o处连续，但在任意n=a力0处函数f(jr)

IjrCR/Q，

2:'JC"0'显然lim[/(O+ZD-/(O—/O]=0,但

11，1工0,A-

/(x)在z=0处不连续，(D)不对；若/(z)在Z=a处连续，则lim/(z)=/(a).又04

II/(x)-If(a)||<|/(x)-/(a)l・根据夹通定理Jimi/(外1=1/(a)I，选(B).

二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

l2

4、f-I|xln(x+=下)+仁2+1)/1一、]dx二.

5K

标准答案：8

知识点解析：

因为InCr+JITP')为奇函数，所以iln(z+jrT7)为奇函数.

「尸怙(工+/14^)+(/+D/T^ldr

=J(j-2+1)y1—x2dr=2](x24-1)Jl——dr

=2]'x2+/TrZdr,

而]x2Jl—zQx-=j'sinzrcoszrdr=|(sin2/—sin*r)dr—/z~~A=<^»

[5/1—x2dr=y，所以原式=2X*+2X^=票

z必Iy必

5、设z=ln(石+6),则dxdy=

1

标准答案：2

卫=]dz=1

,工2石(石+Q)石―26(石+6)

则z铁+»dz1

知识点解析：dx

6、设f(x)在x=a的邻域内一阶可导且「⑶却.贝lj

处-TCr)lf(a)]=

俨)

标准答案：行而

知识点解析：

i：mr____1_________]1=1../(x)-/(a)-(x-a)r(g)

?呼包一"(。)/(x)-/(a)J—7^)巴(x-a)L/(x)-/(a)]

]i-_______Cr-a)2________]1；fCc)一/(a)—Cr-a)/(a)

吧/Ge)—/(a)-7^)阳(x-a)2

x-a

=]

―2户Q)

/,.叉-9=y-2=z_HJ_x_=j/+7=z-2

7、两异面直线’,4—31〃._292之间的距

离为.

标准答案：7

知识点解析：si={4,-3,1},S2={-2,9,2},n={4,—3,1}x{—

2,9,2}={一15,一10,30},过直线L2且与L]平行的平面方程为兀：一

15x-10(y+7)+30(z—2)=0,即加：3x+2y—6z+26=0,d=

I3X9+2>(-2)-6X0+26i

-9+4+36=7.

8、设连续函数f(x),f(0)=0,F(t)=A[z2+f(x2+y2)]dxdydz,Q：x2+y2<t2,0<z<l,

lim华

则…N1

标准答案：

显然］=01=1为/(x)的间断点.

/(0—0)=lim/(x)=-£,:三号,/(0+0)=lim/(x)=-y・JJ,

1-Z14-eu+Z1十e

因为/(0-0)X/(O+0),所以z=0为/(x)的跳跃间断点.

/(I—0)=lim/(x)=-j->/(l+O)=lim/(x)=~lim-e-^—)=0,

因为/(i-o)六yu+o),所以i=i为/(力的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

11、设f(x),g(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导，且g(x)#O.证明:存在乐(a,

/⑷一/⑷=〃S)

b),使得g(s)-g⑹g⑹

标准答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x),则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b讷

可导，且F(a)=F(b户f(a)g(b),由罗尔定理,存在乐(a,b),使得F‘《)=0,而

=/(?)

F(x)=f(x)g(b)+f(a)g\x)-f'(x)g(x)—f(x)g'(x),所以屋①一g⑹g(©.

知识点解析：这是含端点和匕的项的问题，且端点与含自的项不可分离，具体构造

/⑹一/(幻二£(工)

辅助函数如下：把结论中的自换成X得g(幻一屋.g(6,整理得

f(x)g(b)+f(a)g(X)-f(xIg(x)~f(x)g(x)=0,还原得［f(x)g(b)+f(a)g(x)一

f(x)g(x)］=0,辅助函数为F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)—f(x)g(x).

、____________dr____________

12、求)(1+/)VZarctairrr3

fdr=I,d(arctan.r)

、(】+/)v/^arctaar+3~v/2arctan_r+3

=d(乎aor+3)=々arctanri3+C.

标准答案：*2/2arctarw-3

知识点解析：暂无解析

P［ln(jr+71+x2)+sin2x］.

13>求」一号cos2xdx.

因为ln(x4-/T+77)为奇函数，

所以‘Jln(z+J1+*)+sin2xjcos2xdr=j；sin2a:cos2j?cLr

=2I：sin2x(1—sin2j?)dz=2(A—L)

标准答案:

知识点解析•：暂无解析

设f(x)连续，且F(x)=J()x(x—2t)f(t)dl,证明：

14、若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；

标准答案：设f(一x)=f(x),因为F(-x)=fo-x(-x-2t)f(t)dt=fox(-x+2p)f(-

x

时(一和).=fo(x-2g)f(M)d^=F(x),所以F(x)为偶函数.

知识点解析：暂无解析

15、若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.

xxx，x

标准答案：F(x)=Jo(x-2t)f(t)dt=xJof(t)dr-2fotf(t)dt,F(x)=Jof(t)dt—xf(x)=x[f(5)

-f(x)],其中自介于0与x之间，当xVO时，x<a<0,因为f(x)单调不增，所以

F’(x)K)，当xK)时，0<^<x,因为f(x)单调不增，所以F’(x)K),从而F(x)单调不

减.

知识点解析：暂无解析

：x=a(t—sin/)

16、求摆线L：I》=〃(1一立)5。伯>0)的第一拱绕*轴旋转一周所得旋转体的

体积.

1-cosz

标准答案：V=JlJ()2"af2f(x)dx=7lj()2gy2dx=兀h?"71—COS。。=8兀Jc?%%2)3也

JLA(AxAxx-

37I633

=327taJosin\2/=327ial6=327iax6422=5712a3.

知识点解析：暂无解析

17、求函数f(x,y)=(x2+2x+y)ey的极值.

标准答案/：

=(21+2)？=0,

由<X=-1,

・

！得

y=0.

\=(/+21r+丁+1*=0,

=(2z+2)eS瑞=(/+2%+3+2)d,

A=，li=2,B=|

(-1.0)=0，C—I(-1.0)=1»

dxdxdy

由AC-母=2>0及A=2>0得Cr,y)=(—1,0)为/Cr,y)的极小点,

极小值为了(-1,0)=—1.

知识点解析：暂无解析

limlj

18、设f(x)在x=0处连续，求极限I0+«f(x2+y2+z2)dr,其中Q：

+y<z<〃—一丁

标准答案：一

x=rco姐sing

令<y=rsin^sin^(0464271,0<3<今，0〈厂《，]

z=rcos^p

则北汽”2+y+z2)dv=「叫[；d//(/)/sin浊=27r(1—豫)]/(，)/”,

a

22

.旧f/(r)rdr(t)__历、

Jill]Itm-j-||/(.r2-4-y2-kz2)=n(2—>/2)lim---R------=-----------f(0).

u+*唱…'°

知识点解析：暂无解析

19、计算》xdydz+ydzdx+zdxdy,其中Z是z=x2+4y2(0Sz$4)的上侧.

标准答案：补充曲面go：z=4(x2+4y2"),取该曲面的下侧，

「dydz+ydrdr+zdrdy=|JxdyAz+ydzdx+zdrdy-jprdydz4-ydzdx+zdrdy

由高斯公式得

『xdydz+ydzdx+zdrdy=-3Hdv=-31dzjj(drdy

%o°

xdydz+ydzdi+zdrdj=jjzdrdj=-4jjcLrdj=-4XKX2X1=-8TT

%JXJR

所以原式二一12兀+8兀=一4Tl.

知识点解析：暂无解析

04Z41

-八1<"<2,So=f2f(x)e-xdx,Si=f24f(x-2)e-xdx,

20、设f(x)=o

Sn42n2"2f(x-2n)eXdx,求”=°SN.

1

标准答案:So=fo2f(x)eMx^o'xeXdx+fi2(2—x)eXdx=(l-*7c)2,令t=x-2,则

Si=e2fo2f(t)eldt=e2So,令t=x—2n,则Sn=e2nJo2f(t)eldt=e2nso,S=

8OO

Xs”=&2厂”=s0rz=

H,Q1»=0'e*

知识点解析：暂无解析

111+T.1

21、将f(x)='1一"arctanx—x展开成x的幕级数.

标准答案：

八-=：(*+±)+^4^-1=山-]

GQ

=2>"(|工|<1),

*1

/(0)=0.

/(j)=/(x)-/(0)=£/(j)dr=j(S=£4^~1(11iVl)・

知识点解析：暂无解析

22、求满足初始条件y”+2x(y')2=0,y(0)=l,y'(0)=l的特解.

标准答案：令y'=P，则

?〃=乎,代人方程得变+2邛2=0,解得J=/+G，

""P由y(0)=1得

1

C)=l,于是y=l+z\y=arctanx+C2，再由y(0)=l得C2=l，所以y二arctanx+1.

知识点解析：暂无解析

、、nIm这，、、，­

23、设f(x)连续，(p(x)=jof(xt)dt,且x=A.求(p(x),并讨论(p(x)在x=0处

的连续性.

标准答案：

当zW0时可(X)=J/(&)df=[J/(jrf)d(jr)=yj/(w)dw,

“(7)=/[]/(1)—j/(u)dwI.

当z=0时〜(0)=£/(0)d/=0,

r-0X*7

J*H0,

则/(K)=-

x=0.

因为呵/(彳)=lim[/⑴__Jo

=A一等=9=g'(0),所以4(E)在.r=0处

乙乙

连续.

知识点解析：暂无解析

24、设aiVa2V…Van，且函数f(x)在⑶,a#上n阶可导，C6[ai，an]且

f(ai)=f(a2尸…=f(an)=0.证明：存在美⑶,an)，使得

(C―9)(<—。2)…(。一册)广)(包

/(C)=

〃！

标准答案：当c二两(i=l,2,…，n)时，对任意的T(那，an),结论成立：设c为异

于ai，a2，…，an的数，不妨设a]VcVa2V…Va.令k=

fic)

(c-ai)(c-a2)・・・(c—4),构造辅助函数@x)=f(x)—k(x・ai)(x—a2)...(x—

an),显然(p(x)在⑶，an]上n阶可导,且(p⑶尸＜p(c)=(p(a2)=...=(p(an)=O，由罗尔定

(1)

理，存在&⑴W(ai，c),々⑴W(c,a2)，…，^nG(an-i»an)»使得

(P(0⑴)=(p(&⑴尸…=(p《n⑴)=0，(p(x)在(a”an)内至少有n个不同零点，重复使用

罗尔定理，则(p(n-D(x)在⑶，an)内至少有两个不同零点，设为C],C2®a],an),

使得(p(n"(C]尸(p(C2)=0，再由罗尔定理，存在差(C],C2)U(a],an),使得

*)(9=0.而(p(n)(x)=f(n)(x)—n!k,所以阿化尸n!k,从而有f(c)二

(c-a\)(c-。2)…(c一呢)

n\叫自).

知识点解析：暂无解析

1

25、设f(x)连续，且Jo'tfQx-t)dt=arclanx2,f(l)=l,求JJf(x)dx.

标准答案：由"*2*川出=h'QxMf3(—du)=fx2x(2x一

_1

2x2x2x2x2

|i)f(|i)dp=2xfxf(j.i)dj.iHxMf(P)d|i得2xfxf(j.i)d|.i—fxgf(M)dj.i="arctanx,等式两

边对x求导得2jx2'f8)d|i+2x[2f(2x)—f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=1+”,整理得

rzx叱.

2f(u)du-xf(jc)=--1»

Jx1十X4

C21•,「2O

取z=l得2/(〃)d〃一/(I)=方，故/(x)dr=-r.

iZJi4

知识点解析：暂无解析

26、设S：x2+y2+z2=a2,计算s(x2+4y2+9z2)dS.

标准答案：

由对称性得以2ds=ds=|Jz2ds=-jjJ(x2+y2+z2)ds.

SSss

十y2+z2)dj=〃2(ds=4KG1,