考研数学-线性代数知识点及例题

2010考研基础班线性代数讲义

第一讲基本概念

线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等

一.线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为：

玉

I”+anx2-\—+=瓦,

a2]x}+a22x2H-------Fa2nxn=b2,

〃〃启]+仆2无2+…+4,

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n个数，，…，构成，它满足:当每个方程中的未知数都用替代时

都成为等式.

对线性方程组讨论的主要问题两个：

(D判断解的情况.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解•.

ax+by=c

dx+ey=f

如果两条直线是相交的则有一个解：如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线

平行且不重合则无解。

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组：4=4=•••=〃〃=°的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性

方程组的解,称为零解.

因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

二.矩阵和向量

1.基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

矩阵由数排列成的矩形表格，两边界以圆括号或方括号，m行n列的表格称为m(n矩阵.这

些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.

3-21

是一个2x3矩阵.

对于上面的线性方程组,称矩阵

aaaa

\nlln.t,\n4

b

%〃aa2

2l22.…。2n

(A0=•

••••••••••••••*

和•

aClr•iClb

amnm\m2mnni

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵

就体现其全部信息.

2009年的一个题中，一个方程组的系数矩阵为

X]-x-x=1,

1-1-1123

-Xj+x2+x3=-1,

-111，'常数列为-1，则方程组为

0-1-22-x2-2xn=2.

rhn个数构成的有序数组称为•个n维向量,称这些数为它的分量.

零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.

2.矩阵和向量的关系

书写中可用矩阵的形式来表示向最:写成一行或写成一列.

3

问题：（3,-2,1）和-2乙是不是一样？

1

作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵，它们不一样（左边是1（3矩阵,右边是3（1矩阵）.

习惯上把它们分别称为行向量和列向量.

一个mxn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量，称为

它的列向量.

3.n阶矩阵与几个特殊矩阵

nxn的矩阵叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行号与列号相等.）

下面列出几类常用的n阶矩阵：

对角矩阵：对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

数量矩阵：对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.

单位矩阵：对•角线上的的元素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.

上三角矩阵：对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵：对角线上的的元素都为。的n阶矩阵.

对称矩阵:满足二A矩阵.也就是对任何i,j,ii,j）位的元素和（j,i）位的元素总

是相等的n阶矩阵.

问题:下列矩阵都是什么矩阵？

100c002-1

000②°0°017

③

00200c000

01I000

120000

100000

对角矩阵：①、②、⑤

上三角矩阵：①、②、③、⑤

下三角矩阵：①、②、⑤

对称矩阵：①、②、④、⑤

三.线性运算和转置

1.线性运算

是矩阵和向量所共有的.

①加（减）法：两个rnxn的矩阵A和，可以相加（减），得到的和（差）仍是mxn矩阵，记作AB

（4-初，法则为对应元素相加（减）.

04-51-4310-2

十

11720-6二311

两个同维数的向量可以相加（减），规则为对应分量相加（减）.

②数乘：一个数C与一个mxn的矩阵4可以相乘,乘积仍为mxn的矩阵,记作cA,法财为A

的每个元素乘c.

一个数c与一个n维向量可以相乘，乘积仍为n维向量，记作.法则为的每个元素乘c.

c00

0c0=cE

00c

向量组的线性组合:设，…，是一组n维向量，，，…，是一组数，则称为，

…，的（以，，…，为系数的线性组合.例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1

的线性组合.

把一个mxn的矩阵N行和列互换,得到的nxm的矩阵称为A的转置,记作A.

1-3265

0024—63

000-394

00000

0-3265

0024-63

000-394

00000

1265

0004—64

000-394

00000

问题:对角矩阵,上三角矩阵,数显矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?

000000

0-100000

0020000

一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.

问题:如果彳是阶梯形矩阵.

(1)4去掉一行还是阶梯形矩阵吗？

(2)力去掉一列还是阶梯形矩阵吗？

3.简单阶梯形矩阵

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足：

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵

每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵

2-5613131-3265

1-32652-561313

—>

-25-4-15-1-25-4—15-1

-11-4-91-11-4—91

1-32651-3265

0121301213

—>f

002-212002-212

O-2-2-360O2-112

1-3265

01213

002-212

00010

1--32051-300-71000-34

012030100-90100-9

―>—>—>

002012()010600106

00010000100000

请注意：

①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时，台角不改变.

②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一肛但是其非零行数和台角位置是确

定的.

③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的

4.线性方程组的矩阵消元法

消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.

线性方程组的问解变换有三种：

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，再讨论解的情况和求

解.

例:

15111

03-2-1-2

山岭00314

000-24

00000

+工

xl+5X23+X4=1

3%9—2工3+%=—2

3X3+x4=4

—2%=4

矩阵消元法步骤如下：

（D写出方程组的增广矩阵（），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵（）.

⑵用（8/）判别解的情况:

如果最下面的非零行为（则无解,否则有解.有解时看非零行数r（r不会

大于未知数个数n）,r=n时唯一解；r〈n时无穷多解.

（3）有唯一解时求解的初等变换法：去掉（）的零行，得到一个nX（nil）矩阵（），并用初等

行变换把它化为简单阶梯形矩阵（），则（就是解.

济1**•••*

0••*

（即介）二22*•

・••••••・・••••••/()

000-••hnn

1<D。…0G

010­••0。2

­

•••••••••••••••

000-1c〃

g）就是解.

(。1,。2，••，

(川/7)f(B|x)f(国/o)-3"),礴是解.

15111

03-2——1-2

（与九）=—>

O0314

000-24

151031OOO1

03--20-4C)3000

—>

()()3O6C)()1O2

0001-20001-2

解为（1,0,2,-2）.

对齐次线性方程组：

（1）写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

（2）用8判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解（求解方法在第五章讲）.

推论：当方程的个数m<n时,有非零解.

第二讲行列式

1.形式和意义

形式:用r?个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

••••••••••••Z7

（简记为""）

（JICl、•**Cl

n\〃2nn

意义：是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的

值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！（不必形式一样,甚至阶数可不同.）

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作

行列式的的核心问题是值的计算.

一.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的计算公式:

।2

严2212%

a222

a221。22^^33++"13^^21^^32

。32

^Zj3^^22^^31ay]^"23^^32।d33

一般地,一个n阶行列式

a

ijZ(f2J”)aij[a2hanjn.

这里

1.是许多（n!个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或-1.）

2.每一项，都是n个元素的乘积，它们取自不同行，不同列.即列标构成

1,2,…,n的一个全排列（称为一个n元排列），共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,

因此共有n!个项.

Z表示对所有n元排列求和.

hjz…j〃

3.规定为全排列的逆序数.

称12-n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象，一对大小

的数构成一个逆序.

逆序数可如卜计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.

例如求436512的逆序数：

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不

为0时,才可能用它作行歹J式的计算.

例如下三角行列式

对角行列式，上（下）三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积

JC—3CL-14

5JV—8O-2

43

例求ObX+11的X和X的系数.

221JV

解析：的系数是1;的系数是70

二.化零降阶法

1.余子式和代数余子式

元素的余子式，是n把第i行和第j列划去后所得到的nT阶行列式，记作.

“"的代数余子式为4/=（—

2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘枳之和.

%="2141+%242+^23^3+“24

n=4,

-346

-201

例如求3阶行列式=(-3)AH+4AI2+6A13=(-3)Mu-4Mi2+6ni3

457

=(-3)x(-5)-4x(-18)+6x(-10)=27.

100••••••t

t10••••••0

例0t1••••••0

000•••t1

解析：原式=1Al1+tAin=1+

大(—1)”

3040

2222

例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.

53-22

解析：

所求为

A/41+A/42+A/43+A/44=—A41+A42—A43+A44

原式二5A41+3A42—2443+2A44

3040

2222

将原行列式换为0-700即他的值就是原题的余子式之和

-11-11

答案为-28（对第三行展开-742=7M台?）

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

08题.证明|A|=（n+l）a「.

分析：

证明：初等变换4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再

用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

三.其它性质

行列式还有以下性质：

3.把行列式转置值不变,即.

4.作第一类初等变换，行列式的值变号.

5.作笫二类初等变换，行列式的值乘c.

问题：

n

c|A|,cA,；cA

6.对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量，则原夕亍列式等于两个行列式之和，这两个

行列式分别是把原行列式的该行（列）向量换为或所得到的行列式.

例如|a，月+尾，7|=|。，4H+I©仅2,7

问题：

例如：

例设4阶矩阵解：

7.如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.

8.某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.

例己知行列式的代数余子式All=-9,A12=3,A13=-l,A14=3,求x,y,z.

解析：思路：利用性质8

拉普拉斯公式的一个特殊情形：

4*40।II

如果力与4都是方阵（不必同阶），则08=*8=网伊

范德蒙行列式：形如的行列式（或其转置）.它由所决定，它的值等于

因此范德蒙行列式不等于两两不同.对于元素有规律的行列式（包括n阶行列式），常常

可利用性质简化计算.

四.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩阵A为n阶矩阵）时.

方程组有唯一解.

此解为(〃/|42/|4・・・％/|邓丁，2是把IH的第i个列向量

换成常数列向量P所得到的行列式.

是方程组有唯•解的充分必要条件.

(A0)i(By)

B?

问题:*

小00忸|wO

于是只用说明目w°是方程组有唯一解的充分必要条件.

2.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵作初等行变换，使得A变为单位矩阵：：就

是解.

用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵才是方阵，则它只有零解的充分必要条件是

不。

+“2+三=。+5+。

x}

g'n■七七中㈤5ax.+bx^+cx^=a~+b~c~

例设有方程组।2J

bcx、+acx+abx=3abc

v.23

(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.

(2)在此情况求解.

分析：

证明：(1)

由克莱姆法则法则可知

W0—>S—ci)(c—a)(c—h)w0

故a,b,c两两不相等

111a+h+c

Ob—ac-ah2+c2—ah—ac—>

OO(c—d)(c—b)c(c—d)(c—b)

110a+h100

0b-a0b2—ab010b

(2)

001c00

解为x=(a,b,c)'

五.典型例题

例1

2aaaa

l+x111

a2aaa

11+x11

2aa

②111+x1③

a2a

1111+x

aa2

1+Q111

22+。22

333+a3

4444+Q

④对角线上的元素都为0,其它元素都为1的n阶行列式.

②分析：

解：

①分析：与②同理

④分析：类型一致

③分析：把下面三行分别加到第一行

12345

23451

34512

45123

51234

解:所以值=15X125=1875

1+Xj111

l+x21

例311+*3

11l+x4

解：

例4证明分析：

证明：归纳法：展开递推

再用归纳法证明之

也可以：

■1隹广：(ab=cd)

a+bdO00

ca+d00

a"】—b"'

•••••«•・•••<其值为

a-b

000a+bd

000ca+b

第三讲矩阵

二.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

1.两种基本矩阵方程

在等式AB=C中，如果已知C及A,B中的一个,求另一个.就提出下面两种基本形式的矩阵方

程：

(I)(II).

这里要求A是行列式不为。的n阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的.

先讨论⑴AX=B.

设是矩阵，则也是矩阵.

如果$=1,即5只有一列，则⑴就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此

接可以用初等变换法求出：(匈(国X)

如果，设

则4%,%「・*)=(4％♦・力)即

(AVHQG，…⑷Q=0,凡…mo{4X,=凡i=l,2,…s}

这是s个线性方程组.由克莱姆法则，它们都有唯一解，从而AX=3有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解：

阊3血…,外》即—‘）

即得（I）的解法：

将和并列作矩阵，对它作初等行变换，使得变为单位矩阵，此时变为解

'010、-T

A=-111B=20

-1

例I。-1;A勺.求人丫二5的解

，0101一1、(101-53

(A|B)=-11120-0101-1

-3JI。1

-10-152-33

\

01-53‘100-31

>0101-1>0101-1

002-44、001—22

\

，-31

X=1-1

【22

di）的解法：对两边转置化为（D的形式：A/X'=再用解⑴的方法求出X「，转

置得X：

（A「忸『）-（目X7）

10、(-210、

B-111211

0"1-20b

1-22一2、11o11o、

ii0110011011

12

、011011,0-21-3-J

1010、(\0001

01101—>010101

003-3$1°01

01-n01-n

BT101B=101

1oj1一110J

2.可逆矩阵

(1)定义

用乘等式两边.

”使得HA=E^AB=AC^B=C

如果有

“使得AH=E,BA=CAnB=C

如果有

定义设A是〃阶矩阵,如果存在〃阶矩阵H，使得AH=E,HA=E则称A为可逆

矩阵.

此时H是唯一的,称为4的逆矩阵,通常记作4

如果A可逆，则A在奏法中有消去律:

A3=0n3=0;48=ACn8=C（左消去律）；8A=0=3=0;

R4=C4nB=C佑消去律）

如果A可逆,则A在兵法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：

(I)的解.(II)的解.

这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(2)矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算

定理〃阶矩阵4可逆=|AwO[

证明"”对两边取行列式，得I,从而.(并且)

“＜二”定义中的H罡矩阵方程用乂=后和XA=E的公共解.

因为网"°,矩阵方程4¥=石和X4=E都有唯一解.设

分别是它们的解，即.于是:，从定义得到可逆.

H是唯一的，因为它是4X=石解.

计算A”的初等变换法：解矩阵方程AX=E,

（山石）-（耳空）

应用：对角矩阵可逆=对角线上元素都不为o.其逆矩阵也是对角矩阵，只用把每个对角

线元素变为倒数.

00

G00100、100G

00010f01000

00G0000I1

00

初等矩阵都是可逆矩阵,尹且

/00101000、0000010、

0100()10001000100

（右庐）=f

1000001000101000

(00010001,、00010001

’10021000、’160o00-2

010()010001000100

（乙心⑸——>

0010001000100010

o001000(00010001

ku

推论如果A和8都是〃阶矩阵,则AB=E^>BA=E

即只要AB-E（或84=E）中的一个式子成立，则A和8都可逆并且互为逆

矩阵

2008年的考题：A'=0,时E-A可逆.

例4个九阶矩阵4氏0和。满足43。。=£：,求4"和8".

ABCD=E=>A"=BCD,于是BCDA=E=B|=CDA

例31设A，B,C都是〃阶矩阵，满足3=E+AB,C=A+CA,则B-C为

.(B).(C).(D).(2005年数学四)

B=E+AB化为(E—A)B=E即B与(E—A)互为逆矩阵

C=A+C4化为C(E-A)=At用B右乘得C=A3

如果A和8是两个〃可逆阶矩,则分块矩阵

和都可逆，并且

70、%o(OA、O夕、

BAO,

。B,、070)

(3)可逆矩阵的性质：

①如果A可逆，则A二”(cwO)和A都可逆，并且

(A，］=(AT)，(c4)T=cEW,(A*)T=(4-)=(4了

已经规定的矩阵的右肩膀有3种:T,k,-i,它们两两可交换先后次序.

②对于两个〃阶矩A和8,

和都可逆可逆，尹且..

3.伴随矩阵

若A是〃阶矩阵，记4是图的("⑺位元素外的代数

余子式，规定A的伴随矩阵为

4A,

AA,,,••A

4=2n2=(4)

•••A,„>

V、A1fta〃

lr例如对2阶矩阵

(abX_(d哨b\

d)\cdj

基本公式:

0...0、

A。12…4A....A,>俨1

%42…a2n^22…A,0...0

A4'=n2

••••••••••••••••••••••••

an2…a-…A,10•••

、AAZ.Hnny。可

于是对于可逆矩阵A，有

因此可通过求A'来计算A'.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.

b、)(ad-be)

d.

A-=4/同”即4=网上

意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.

A可逆时还有(A)=制，

(A-,)*=|A-,|(A-,)=4/H=(AT,

伴随矩阵的其它性质：

①如果是可逆矩阵，则也可逆，并且.

②⑷时

③(A/=(A*)r

④(c4)*=c"

⑥⑷

A|=|A|"TA4*=AF

②I।।的证明：对一«两边求行列式，得

L|A*|=|4=>|A-|=|<'

⑥⑷=网”的证明：

(A)=„「=附"4阳=|罐7

*♦

例21设A是九阶可逆矩阵，交换A的"，J行得到B.

(1)证明8可逆.

⑴恸=刈工。

(2)求A5

B=E("A

B'=AABX=E(t,j)

例22设4是3阶矩阵将4的第2行加到第1行上得5,将3的第1列的-1倍加到第

2列上得C*.记

Q10、

P=010

<001,

(A)C=PlAP(B)C=PAP'(C)C=PTAP(D)=PAPT

rl10、

010A

"0b

q-io、

C=B010

、00b

q10]p-10、

c=o10A010=PAP1

<001八001；

例20设A是3阶可逆矩阵，交换A的1,2行得B,则

(A)交换的1,2行得到.(B)交换的1,2列得到.

(0交换A*的1,2行得到-5*.

(D)交换A*的1,2列得到-3*.

(2005年)

’010、

B=100A

J)01,

0I001OY'’010

B*=\B\B4=100AA"00二-4”100

00100L001

0

C—

例18设A和3都是n阶矩阵，koB，则c=

例&0［用3,0

⑷(B)

00

忸忸.）同47

I刎0伊|A*0、

(C)(Q)

0例4J〔。A夕7

A-1O、

不妨设都可逆

A，3OB'7

4O、

C=|C|C-'

、OB\

BAA1oB\Xo\

O间忸忸-JOIM

2009题

O4、

口.则I=0

设A和8都是2阶矩阵,A=2B0,

/o3B*、"o28、

⑷(B)

0,O)

'O3A・、/O2A1

(C)(。)O'

、2B*OJ、3B*

（2009年的考题）

解-c・CC-'

先求c"

□ooO1o)

oAoooBoOOo

(c|E)=

Booo1oOA1oo

()o()()()

Eo\oBC

oE\A-i°，

oA『OB(OBn

C*

BO)O)

oB/O网忸忸(O

=|A|忸

OBA：o>

例16设是n阶非零实矩阵,满足.证明:

⑴A>0

⑵如果〃＞2则网=1

解：条件，即

MA..=.

即gV9"

⑴网=4A+/42+…4A

222

aHa

=iX+q2H-------------in之。

又因为，即有非零元素，

则网=4；+…+…+。丁＞。

⑵A4'=AY=|HE|A|2=|4得|A「2=1因为。＞。

是正整数，得

例17设矩阵A=(%)3x3满足A=A『，《|，42,43为3个相等的正数，则它们为

(4)6/3(8)3(C)l/3(力)行(2005年数学三)

=a

设4in=43=。，

则4*=A=>|>4|=3a2>0

又〃=3>2.得|川二1

・O212_1_V3

..3。=1,。=—,ci=—.

33

例83维向量%%，%凡尸2，63满足

cc]+a、+2y?1——0

3。1—CLy+仪—-0

—ccy+cty—0、+—0

已知，求.

解：

3弓一%=一4+以

(«+%,3«—%,—%+%)=(—2片++以，夕2+以)

P2-/3X

口30、，-2-10、

3,%,%)o-1=(几⑸3)10

、00U、0—1-\)

130-2-10

|a,,a2,a3|O-1-1=1/7,,A，Al101

10101-1

-4〃=及氏阂

例9设是3阶矩阵，是3维列向量，使得可逆，并且.又3阶矩阵满足A=PBP-1.

⑴求8.(2)求|A+国(01一)

解：即

A(a,Aa,A2a)=(Aa,