2017-2026年高考数学十年真题分类汇编：专题02 平面向量（教师版）

专题02平面向量

（三大考点，83题）

考点01平面向量的线性运算

1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，

ADb，则EF等于（）

1111

A．abB．abC．baD．ab

2222

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】连结AC，则AC为ABC的中位线，

111

EFACab，

222

故选：A

2.（2020·海南·高考真题）在ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）

A．2CDCAB．CD2CAC．2CDCAD．CD2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CBCAABCA2ADCA2CDCA2CDCA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

3.（2018·全国I卷·高考真题）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

3113

A．ABACB．ABAC

4444

3113

C．ABACD．ABAC

4444

【答案】A

11

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BEBABD，之后应用向量

22

31

的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC，之后将其合并，得到BEBAAC，下一步应

44

31

用相反向量，求得EBABAC，从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

111111

BEBABDBABCBABAAC

222424

11131

BABAACBAAC，

24444

31

所以EBABAC，故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4.（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn<0”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若0，使mn，则两向量m,n反向，夹角是180，那么

mnmncos180mn0；若mn0，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定

存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若pq,qp，那么p是q的充分不必要条件，

同时q是p的必要不充分条件；若pq，那么p，q互为充要条件；若pq,qp，那么就是既不充分

也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:xA,

若AB，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若，那么p，q互

q:xB,AB

为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的

两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.

5.（2017·全国II卷·高考真题）设非零向量a，b满足abab，则

A．a⊥bB．a=b

C．a∥bD．ab

【答案】A

2222

【详解】由abab平方得a2abba2abb，即ab0，则ab，故选A.

【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.

考点02平面向量的基本定理及坐标表示

1.（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量a，b不共线，且2aybxa3b，则（）

A．x2，y=3B．x2，y3C．x2，y3D．x2，y=3

【答案】A

【分析】由平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量a,b不共线，且2aybxa3b，

x2

则.

y3

2.（2026·上海·高考真题）已知ax,3，b4,6，若a∥b，则x____________.

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为a∥b，所以x6430，即6x120，解得x2.

故答案为：2.

3.（2026·天津·高考真题）已知aab1，b1，记cab．当abc0时，__________，

当abc1时，的取值范围为__________．

【答案】21,3

【分析】第一空：利用cab和abc0得出和的值，即可得出结论；

第二空：解法一：将cab代入abc1得1a1b1，展开，令x1，y1，

sxy，代入并整理，得出s21(t21)y21，即可求出的取值范围.

解法二：设a1,0，b1,t，t0，根据abc1可设c2cos,tsin，进而可得2cos，

即可得取值范围.

解法三：不妨设aOA1,0，bOB1,t，t0，cOC，ODab2,t，可知点C在直线xm

上，且点C在以D2,t为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.

【详解】由题意，

aab1，b1，cab，

第一空：

当abc0时，cabab，

∴1，

∴2.

第二空：

解法一：将cab代入abc1得1a1b1，

2

两边平方，得：，

(1)a(1)b1

2222

展开：(1)|a|2(1)(1)ab(1)|b|1，

代入|a|1，ab1，记|b|t1，

(1)22(1)(1)t2(1)21，

令x1，y1，sxy，

则原式变为：x22xyt2y21，

配方得：x22xyt2y2(xy)2(t21)y2s2(t21)y21，

由于t21，(t21)y20，因此s21(t21)y21，

即|s|1，解得s[1,1]，

2s21,2(1)1,3，

因此，的取值范围为：[1,3].

解法二：因为aab1，b1，

不妨设a1,0，b1,t，t0，则ab2,t，cab,t，

若abc1，设c2cos,tsin，

则2cos1,3.

解法三：因为aab1，b1，

不妨设aOA1,0，bOB1,t，t0，即点B在直线x1上，

且cOC，ODab2,t，

因为cab,t，

若m，可知点C在直线xm上，（或直接由三点共线的结论可得出），

若abc1，即CD1，可知点C在以D2,t为圆心，半径为1的圆上，

则圆D在直线x1和x3之间，可得1m3，即1,3，

所以的取值范围为1,3.

4.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在

航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船

行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的

对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度

代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s)

2轻风1.6~3.3

3微风3.4~5.4

4和风5.5~7.9

5劲风8.0~10.7

A．轻风B．微风C．和风D．劲风

【答案】A

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：n0,23,33,1，

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为n1，船行风速对应的向量为n2，

∴，船行风速：，

nn1n2n23,32,01,3

∴n1nn23,11,32,2，

22，

n122222.828

∴由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

5.（2025·上海·高考真题）已知a(2,1),b(1,x)，若a∥b，则x__________．

1

【答案】/0.5

2

【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.

1

【详解】由a∥b得2x10，解得x.

2

1

故答案为：.

2

6.（2024·上海·高考真题）已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，则k的值为______．

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a//b，2k56，解得k15．

故答案为：15

7.（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE2EC,若BEBABC，其中,为实

数，则______；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AFDG的最小值为______．

45

【答案】

318

【分析】解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得，设BFkBE，求AF,DG，

结合数量积的运算律求AFDG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得，

1

设Fa,3a,a,0，求AF,DG，结合数量积的坐标运算求AFDG的最小值.

3

111

【详解】解法一：因为CEDE，即CEBA，则BEBCCEBABC，

233

14

可得,1，所以；

33

由题意可知：BCBA1,BABC0，

1

因为F为线段BE上的动点，设BFkBEkBAkBC,k0,1，

3

1

则AFABBFABkBEk1BAkBC，

3

1111

又因为G为AF中点，则DGDAAGBCAFk1BAk1BC，

2232

1111

可得AFDGk1BAkBCk1BAk1BC

3232

22

111563

k1kk1k，

2329510

5

又因为k0,1，可知：当k1时，AFDG取到最小值；

18

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

1

则A1,0,B0,0,C0,1,D1,1,E,1，

3

1

可得BA1,0,BC0,1,BE,1，

3

1

4

因为BEBABC,，则3，所以；

3

1

11

因为点F在线段BE:y3x,x,0上，设Fa,3a,a,0，

33

a13

且G为AF中点，则G,a，

22

a13

可得AFa1,3a,DG,a1，

22

22

a1323

则AFDG3aa15a，

22510

115

且a,0，所以当a时，AFDG取到最小值为；

3318

45

故答案为：；.

318

11

8.（2023·天津·高考真题）在ABC中，BC1，A60，ADAB,CECD，记ABa,ACb，

22

1

用a,b表示AE_________；若BFBC，则AEAF的最大值为_________．

3

1113

【答案】ab

4224

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空

答案，于是AEAF可由a,b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

AEEDAD

【详解】空1：因为E为CD的中点，则EDEC0，可得，

AEECAC

两式相加，可得到2AEADAC，

111

即2AEab，则AEab；

242

1AFFCAC

空2：因为BFBC，则2FBFC0，可得，

3AFFBAB

得到AFFC2AFFBAC2AB，

21

即3AF2ab，即AFab.

33

1121122

于是AEAFabab2a5ab2b.

423312

记ABx,ACy，

22

1122125xy2

则AEAF2a5ab2b2x5xycos602y2x2y，

1212122

在ABC中，根据余弦定理：BC2x2y22xycos60x2y2xy1，

15xy19xy

于是AEAF2xy22，

122122

由x2y2xy1和基本不等式，x2y2xy12xyxyxy，

故xy1，当且仅当xy1取得等号，

13

则xy1时，AEAF有最大值.

24

1113

故答案为：ab；.

4224

9.（2023·上海·高考真题）已知向量a(3,4),b(1,2)，则a2b_______________．

【答案】(1,0)

【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.

【详解】因为a(3,4),b(1,2)，所以a2b(3,4)2(1,2)(1,0)，

故答案为：(1,0)

10.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记CAm，CDn，则CB

（）

A．3m2nB．2m3nC．3m2nD．2m3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，BD2DA，所以BD2DA，即CDCB2CACD，

所以CB3CD2CA3n2m2m3n．

故选：B．

11.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量a2,5,b,4，若a//b，则_________．

8

【答案】

5

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，

8

解方程可得：.

5

8

故答案为：.

5

12.（2022·天津·高考真题）在ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB2BE.记CAa,CBb，用a,b

表示DE___________，若ABDE，则ACB的最大值为____________

31

【答案】ba

226

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由ABDE

22

可得3ba4ba，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由ABDE可得点A的轨迹为

以M(1,0)为圆心，以r2为半径的圆，方程为(x1)2y24，即可根据几何性质可知，当且仅当CA与M

相切时，C最大，即求出．

【详解】方法一：

31

DE=CECDba，

22

ABCBCAba,ABDE(3ba)(ba)0，

22

23ab

22ab3ba3

3ba4abcosACB，当且仅当a3b时取等号，而

ab4ab4ab2

0ACBπ，所以ACB(0,]．

6

31

故答案为：ba；．

226

方法二：如图所示，建立坐标系：

E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，

x3y

DE(,),AB(1x,y)，

22

x3y2

DEAB()(x1)0(x1)2y24，所以点A的轨迹是以M(1,0)为圆心，以r2为半径的

22

r21

圆，当且仅当CA与M相切时，C最大，此时sinC,C．

CM426

31

故答案为：ba；．

226

13.（2018·全国III卷·高考真题）已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,．若c2a+b，则________．

【答案】1

2

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得2ab4,2

c//2ab,c1,

1

4λ20,即λ

2

故答案为1

2

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

14.（2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a∥b,则____________.

【答案】-3

【详解】由ab可得1623.

【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：

(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则ab的

充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为

λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.

15.（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角

为，且tan7,OB与OC的夹角为45，若OCmOAnOBm,nR，则mn_________．

【答案】3

【详解】以OA为x轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，由OC的模为2与OA与OC的夹角为，且tan7

2721734

知，cos,sin，可得C,,Bcos45,sin45，B,，由OCmOAnOB

10105555

13

mn

17345557

可得,mn,n,m,n，mn3，故答案为3.

55557444

n

55

【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向

量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平

行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，

箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最

值问题时用起来更方便．

考点03平面向量的数量积

1.（2026·全国二卷·高考真题）已知ab1，ab3，则ab（）

1111

A．B．C．D．

2332

【答案】D

2

【详解】由ab1，得ab1，

2

22

所以ab1，即a+2abb1；

2

由ab3，得ab3，

2

22

所以ab3，即a2abb3.

两式相减，得4ab2，

1

所以ab.

2

uuuruuur

2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，|OA||OB|2，|AB|2.设C(3,4)，则|2CAAB|

的取值范围是（）

A．[6,14]B．[6,12]C．[8,14]D．[8,12]

【答案】D

【分析】先根据ABOBOA，求出OA,OB，进而可以用向量OA,OB表示出2CAAB，即可解出．

【详解】因为|OA||OB|2，|AB|2，

π

由ABOBOA平方可得，OAOB0，所以OA,OB．

2

2CAAB2OAOCOBOAOAOB2OC，OC32425，

2222

所以，2CAABOAOB4OC4OAOBOC

224254OAOBOC1044OAOBOC，

又OAOBOCOAOBOC52210，即10OAOBOC10，

2

所以2CAAB64,144，即2CAAB8,12，

故选：D.

3.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量a(0,1),b(2,x)，若b(b4a)，则x（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为bb4a，所以bb4a0，

22

所以b4ab0即4x4x0，故x2，

故选：D.

4.（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知abab0等价于ab，结合充分、必要条件分析判断.

2222

【详解】因为ababab0，可得ab，即ab，

可知abab0等价于ab，

若ab或ab，可得ab，即abab0，可知必要性成立；

若abab0，即ab，无法得出ab或ab，

例如a1,0,b0,1，满足ab，但ab且ab，可知充分性不成立；

综上所述，“abab0”是“ab或ab”的必要不充分条件.

故选：B.

5.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量ax1,x,bx,2，则（）

A．“x3”是“ab”的必要条件B．“x13”是“a//b”的必要条件

C．“x0”是“ab”的充分条件D．“x13”是“a//b”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A，当ab时，则ab0，

所以x(x1)2x0，解得x0或3，即必要性不成立，故A错误；

对C，当x0时，a1,0,b0,2，故ab0，

所以ab，即充分性成立，故C正确；

对B，当a//b时，则2(x1)x2，解得x13，即必要性不成立，故B错误；

对D，当x13时，不满足2(x1)x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

6.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量a,b满足a1,a2b2，且b2ab，则b（）

123

A．B．C．D．1

222

【答案】B

222

【分析】由b2ab得b2ab，结合a1,a2b2，得14ab4b16b4，由此即可得解.

2

【详解】因为b2ab，所以b2ab0，即b2ab，

又因为a1,a2b2，

22

所以14ab4b16b4，

2

从而b.

2

故选：B.

22

7.（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足ab(2,3),ab(2,1)，则|a||b|（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量a,b满足ab(2,3),ab(2,1)，

所以|a|2|b|2(ab)(ab)2(2)311.

故选：B

8.（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）

A．5B．3C．25D．5

【答案】B

【分析】方法一：以AB,AD为基底向量表示EC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以AB,AD为基底向量，可知ABAD2,ABAD0，

11

则ECEBBCABAD,EDEAADABAD，

22

11122

所以ECEDABADABADABAD143；

224

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E1,0,C2,2,D0,2，可得EC1,2,ED1,2，

所以ECED143；

方法三：由题意可得：EDEC5,CD2，

DE2CE2DC25543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC，

2DECE2555

3

所以ECEDECEDcosDEC553.

5

故选：B.

9.（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量a3,1,b2,2，则cosab,ab（）

117525

A．B．C．D．

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得ab,ab,abab，从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为a(3,1),b(2,2)，所以ab5,3,ab1,1，

则ab523234,ab112，abab51312，

abab217

所以cosab,ab.

abab34217

故选：B.

10.（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量a,b,c满足ab1,c2，且abc0，则cosac,bc

（）

4224

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

rrr

【详解】因为abc0,所以a+b=-c,

222

即ab2abc,即112ab2,所以ab0.

如图,设OAa,OBb,OCc,

由题知,OAOB1,OC2,OAB是等腰直角三角形,

22

AB边上的高OD,AD,

22

232

所以CDCOOD2,

22

AD13

tanACD,cosACD,

CD310

2

cosac,bccosACBcos2ACD2cosACD1

2

34

21.

105

故选:D.

11.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量a1,1,b1,1，若abab，则（）

A．1B．1

C．1D．1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为a1,1,b1,1，所以ab1,1，ab1,1，

由abab可得，abab0，

即11110，整理得：1．

故选：D．

12.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量a(3,4),b(1,0),catb，若a,cb,c，则t（）

A．6B．5C．5D．6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

93t163t

【详解】解：c3t,4,cosa,ccosb,c,即,解得t5,

5cc

故选：C

13.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量a(2,1)，b(2,4)，则ab（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

【分析】先求得ab，然后求得ab.

2

【详解】因为ab2,1