第二十五章 一元二次方程 测试卷（含答案） 2026-2027学年数学人教版九年级上册

第二十五章一元二次方程测试卷(总分:120分时间:120分钟)一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列方程为一元二次方程的是()A.ax2-2x=0 B.x2-2x-3C.xy+1=0 D.x2-4x-1=02.(2026齐齐哈尔期中)已知x=1是一元二次方程x2-2mx+m2=0的一个根,则m的值是()A.1 B.0C.0或1 D.0或-13.将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是()A.-4,21 B.-4,11C.4,21 D.4,114.(2025安徽中考)下列方程中,有两个不相等的实数根的是()A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=05.用直接开平方法解方程(3x+1)2=(2x-5)2,做法正确的是()A.3x+1=2x-5 B.3x+1=-(2x-5)C.3x+1=±(2x-5) D.3x+1=±2x-56.小影与小冬一起写作业,在解一个一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,则原来的方程是()A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=07.某小区利用一块长方形空地建一个停车场,其布局如图所示.已知停车场的长为52m,宽为34m,阴影部分设计为停车位,其余部分是等宽的通道,要使停车位占地面积为880m2,则通道宽应为多少米?设通道宽为xm,可列方程为()A.52×34-52x-34x=880B.(52-2x)(34-2x)+2x2=880C.(52-2x)(34-2x)=880D.52·2x+34x=52×34-8808.如图是某月的月历表,在此月历表上可以用一个方框圈出3×3个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为()A.32 B.126 C.135 D.1449.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两个根,则该等腰三角形的周长为()A.4 B.8 C.8或10 D.1010.定义符号max{a,b}的含义为当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b}=b.如:max{3,1}=3,max{-3,2}=2.则方程max{x,-x}=x2-6的解是()A.x=3或x=-3 B.x=3或x=1C.x=3或x=2 D.x=1或x=-311.若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式b−1a−1+aA.-20B.2C.2或-20D.2或2012.对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法如下:如图,将四个长为x+6、宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即4×72+62,据此易得x=18−62=6.小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24,其中3x-n>x,构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则n的值为()A.2B.4C.6D.8二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)13.若关于x的一元二次方程x2+3x+c-5=0的常数项为0,则c=.

14.某校九年级要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两个班之间赛一场),计划安排28场比赛,问该校九年级有多少个班?设该校九年级有x个班,请依据题意列出方程(化为一般形式):.

15.(2026青岛市南区月考)若关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=-1,x2=3(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m)2+b=0的解是.

16.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.若(3-x)(mx-n)=0是“倍根方程”,则2nm的值为三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(8分)用适当的方法解下列方程:(1)x2-4x+1=0. (2)2x(x-3)=5(x-3).18.(7分)嘉嘉同学解一元二次方程2x2-x-1=0的过程如下:解:∵a=2,b=1,c=1,第一步∴Δ=b2-4ac=22-4=0,第二步∴方程有两个相等的实数根,第三步∴x1=x2=-b2a=-14(1)嘉嘉解方程的方法是()A.直接开平方法 B.因式分解法C.配方法 D.公式法他的求解过程从第步开始出现错误.

(2)请你写出这个方程正确的解答过程,并求出方程的根.19.(8分)如图,点A,B在不完整的数轴上表示的整式分别为-2x2+x-3,3x2-2x-5,已知点A在点B的左侧,且x为整数.(1)求点A,B之间的距离(用含x的代数式表示).(2)若点B表示的数是3,求点A表示的数.20.(8分)如图是小高和小齐同学的对话.(1)根据小高给出的内容,求这个凸多边形的边数.(2)小齐说的多边形存在吗?如果存在,它是几边形?如果不存在,请说明理由.21.(9分)(2026十堰月考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围.(2)若方程的两个根为x1,x2,且满足(x1-1)(x2-1)=3,求m的值.22.(9分)阅读下列材料:解方程:3x4-16x2+5=0.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常如下:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变形为3y2-16y+5=0.解这个方程,得y1=13,y2=5当x2=13时,解得x=±3当x2=5时,解得x=±5.∴原方程有四个根:x1=33,x2=-33,x3=5,x4=-(1)在以上过程中,我们利用达到了的目的,体现了转化的数学思想.

(2)用换元法解方程:(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.(3)已知Rt△ABC的三边长分别是a,b,c,若两直角边长a,b满足(a+b)(a+b-7)+10=0,斜边长c=4,求Rt△ABC的周长.23.(11分)某服装厂生产一批服装,2024年该服装的出厂价是300元/件,2025年、2026年连续两年改进技术降低成本,2026年该服装的出厂价调整为243元/件.(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同,求平均下降率.(2)2026年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装,以300元/件销售时,平均每天可售出10件.为了尽快减少库存,商场决定降价销售.经调查发现,单价每降低1元,每天可多售出2件,如果该商场想每天盈利1920元,那么单价应降低多少元?24.(12分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,当其中一个点到达终点时,两个点同时停止运动.(1)经过多长时间,△PBQ的面积是5cm2?此时,PQ的长为多少厘米?(2)探究:是否存在某一时刻t,使S四边形APQC=512S△ABC?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由

【详解答案】1.D2.A3.A4.D5.C6.B解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由题意,得-ba=6+1=7,ca=-2×(-5)=10,∴b=-7a,c=10a.∴原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即x2-7x+10=0.故选7.C解析:利用平移的性质可得停车位可拼成一个长为(52-2x)m,宽为(34-2x)m的长方形,则可列方程为(52-2x)(34-2x)=880.故选C.8.D解析:根据题图可以得出,圈出的9个数中,最大数与最小数的差为16.设最小数为x,则最大数为x+16.根据题意,得x(x+16)=192.解得x1=8,x2=-24(不符合题意,舍去).∴最小数为8.∴圈出的9个数分别为8,9,10,15,16,17,22,23,24.∴这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故选D.9.D解析:方程x2-6x+8=0,左边分解因式,得(x-2)(x-4)=0,所以x-2=0或x-4=0,解得x1=2,x2=4,∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两个根,∴当腰长为2时,三边长分别为2,2,4,不能构成三角形,舍去;当腰长为4时,三边长分别为4,4,2,此时周长为4+4+2=10,则该等腰三角形的周长为10.故选D.10.A解析:当x≥-x时,max{x,-x}=x,∴x2-6=x.整理,得(x+2)(x-3)=0.∴x1=-2,x2=3.当x=-2时,-x=-(-2)=2,不符合题意;当x=3时,-x=-3,符合题意.当x<-x时,max{x,-x}=-x,∴x2-6=-x.整理,得(x-2)(x+3)=0.∴x1=2,x2=-3.当x=2时,-x=-2,不符合题意;当x=-3时,-x=-(-3)=3,符合题意.综上所述,该方程的解为x=3或x=-3.故选A.11.A解析:∵a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,且a≠b,∴a,b可看作方程x2-8x+5=0的两个根.∴a+b=8,ab=5.∴b−1a−1+a−1b−1=(b−1)212.C解析:由题意可知,将四个长为3x-n、宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是3x-n+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和.∵x(3x-n)=24,小正方形的面积为4,∴大正方形的面积为4×24+4=100,∴大正方形的边长为10,∴3x-n+x=4x-n=10,∴n=4x-10.∵小正方形的边长为3x-n-x=10-2x,∴(10-2x)2=4,∴10-2x=±2.∵10-2x>0,∴10-2x=2,∴x=4,∴n=4×4-10=6.故选C.13.514.x2-x-56=0解析:由题意,得12x(x-1)=28,整理,得x2-x-56=015.x=1或x=5解析:可把方程a(x+m)2+b=0看作关于x-2的一元二次方程,∵关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=-1,x2=3,∴关于x-2的方程a(x+m)2+b=0的解是x-2=-1或x-2=3,∴x=1或x=5.16.12或3解析:∵(3-x)(mx-n)=0,∴3-x=0或mx-n=0.解得x1=3,x2=nm.∵(3-x)(mx-n)=0是“倍根方程”,∴当nm是3的2倍,即nm=2×3=6时,则2nm=2×6=12;当3是nm的2倍,即3=2×nm时,则2nm=317.解:(1)x2-4x+1=0,移项,得x2-4x=-1,配方,得x2-4x+4=-1+4,(x-2)2=3,∴x-2=±3,∴x1=2+3,x2=2-3.(2)2x(x-3)=5(x-3),2x(x-3)-5(x-3)=0,(2x-5)(x-3)=0,∴2x-5=0或x-3=0,解得x1=52,x2=318.解:(1)D一(2)∵a=2,b=-1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9>0,∴方程有两个不相等的实数根,∴x=−b±b2−4∴x1=1,x2=-1219.解:(1)由题意,得(3x2-2x-5)-(-2x2+x-3)=3x2-2x-5+2x2-x+3=5x2-3x-2.∴点A,B之间的距离为5x2-3x-2.(2)∵点B表示的数是3,∴3x2-2x-5=3,即3x2-2x-8=0.解得x=2或x=-43∵x为整数,∴x=2.当x=2时,-2x2+x-3=-9.∴点A表示的数为-9.20.解:(1)设这个凸多边形的边数为n.∴n(n∴n2-3n-70=0,解得n1=10,n2=-7(不符合题意,舍去).∴这个凸多边形的边数为10.(2)不存在.理由如下:假设存在这个多边形,设这个多边形的边数为x.∴x(x∴x2-3x-32=0,解得x=3±137∵x必须是正整数,∴不存在一个多边形有16条对角线,∴这个多边形不存在.21.解:(1)根据题意,得Δ=(2m-1)2-4m2>0,解得m<14(2)根据题意,得x1x2=m2,x1+x2=1-2m.∵(x1-1)(x2-1)=3,∴x1x2-(x1+x2)+1=3,即m2-(1-2m)+1=3,解得m=-3或m=1.又∵m<14∴m=-3.22.解:(1)换元法降次(2)设y=x2-x,则原方程可变形为y2-4y-12=0.解得y1=-2,y2=6.当x2-x=6时,解得x=3或x=-2.当x2-x=-2时,方程无解.∴原方程有两个根:x1=3,x2=-2.(3)设x=a+b,则原方程可变形为x(x-7)+10=0,即x2-7x+10=0.解得x=2或x=5.∴a+b=2或a+b=