人教数学反证法

第二十一讲反证法判断一个命题是否正确，既可以直接证明，又可以间接证明．反证法就是一种间接证明的推理方法，它的推理思路是首先提出反设——在已知条件下，暂时否定待证结论，提出与结论相反的假设；其次，推出矛盾——从反设出发，结合已知条件，通过严密推证，导出与已知公理、定理、定义或题设相矛盾的结果；然后，肯定结论——出现矛盾，因为是“否定结论”的结果，所以“反设”不成立，从而肯定命题是正确的．一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法．实际上，反证法适用于证明任何问题，只不过有时简捷，有时复杂就是了．例1在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行．已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c．求证：a∥b．证(1)提出反设：假定ab．(2)推出矛盾：由于ab，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b∥c，那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾．(3)肯定结论：由(2)可知假设ab错误，所以a∥b．说明(1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．例2如图3－121．在△ABC中，∠A的外角平分线与BC的延长线交于E，求证：AB＞AC．分析AB＞AC的否定是AB≤AC，而AB≤AC只有两种情况：AB=AC和AB＜AC．以下就根据这两种情况推出矛盾．证(1)若AB=AC，则∠B=∠3．又∠1=∠2，所以所以AE∥BE，此与AE与BC交于E矛盾，所以AB≠AC．(2)若AB＜AC，则∠B＞∠3，所以2∠B＞∠B+∠3．又∠B+∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠B+∠3=2∠1，所以2∠B＞2∠1，所以∠B＞∠1．此与外角定理∠B＜∠1相矛盾，所以ABAC．由(1)，(2)得AB＞AC．说明本题结论的否定出现两种情况，即AB=AC和AB＜AC．利用反证法证明时，必须对原结论否定得彻底，即把原结论的所有可能方面一一否定后，分别推出矛盾，最后才能肯定待证结论的正确性．例3求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．分析这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0．证假设bc=0．(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．例4证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积．分析否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．证假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以x2-xy+y2+x+y=(ax+by)(cx+dy+e)=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．比较系数得由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为ad+be=bd+bd=2bd=-1，所以多项式x2-xy+y2+x-y不可能分解为两个一次式的乘积．为基础，推出矛盾即可．则为偶数．设b=2m(m是整数)，则b2=4m2，那么2a2=4m2，所以a2=2m2，所以a2是偶数，则a必是偶数，所以a=2n(n是整数)．这样，a，b有公例6已知点E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．说明在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断．例7已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则m≥n+p，n≥p+m．两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．所以命题成立．说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．没有完全平方数．分析与证明(1)我们先来观察这一串数有什么特征．11=2×5+1，111=2×55+1，1111=2×555+1，………………(2)我们再用反证法来证明这一命题．因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设a+1=2m，a-1=2n．这样练习二十一1．△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，求证：AB=AC．2．如图3－123．D点在△AB