上海市莘庄中学2025-2026学年高三下学期3月数学月考试题（含解析）

莘庄中学2025-2026学年第二学期高三年级数学月考2026.3一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知集合，，则______．2.若复数满足，为虚数单位，则______．3.若随机变量服从正态分布，，则______．4.设向量，，则与的夹角的大小为______．5.若等差数列的首项，前5项和，则______．6.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第60百分位数为______cm．7.已知圆锥的底面半径为3cm，侧面积为，则此圆锥的体积为______．8.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为______．9.已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为______．10.已知圆锥曲线的方程：．当、为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点、满足，则满足题意的有序实数对共有______对．11.如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在区域种荷花，在区域建小型水上项目．已知．当四边形OCDB的面积最大时，BD的长为______千米．（精确到千米）12.对于数列，若存在正数，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．若首项为1，公比为（且为常数）的等比数列符合“条件”，则公比的取值范围为______．二、选择题（满分18分，其中第13-14题，每题4分；第15-16题，每题5分）：13.已知事件A和事件满足，则下列说法正确的是（）．A.事件和事件独立 B.事件和事件互斥C.事件和事件对立 D.事件和事件互斥14.下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（）A. B. C. D.15.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.16.定义在上的函数，集合对任意的，有．对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（）①存在，使得是偶函数； ②存在，使得在处取极小值；③存在，使得在上严格减； ④存在，使得的最大值是．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个三、解答题：17.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分设．（1）若，求的取值范围；（2）设函数是定义域为的偶函数，当时，．若关于的方程（常数）在上有实数解，求实数的取值范围．19.（本题满分14分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：前50名后50名近视4232不近视818（1）求a的值，并估计这1000名学生视力的平均数（精确到0.01）；（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如上图表格数据：根据表中数据，能否有把握认为视力与学习成绩有关？（）（3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，求的分布列及数学期望．20.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知椭圆的左、右顶点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点．（1）若，的离心率为，求的值；（2）若，为等腰三角形且在第一象限，求的面积；（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．21.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分设函数的极小值点组成集合．（1）若，求集合；（2）若，，求实数的取值范围；（3）若定义域为的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在区域种荷花，在区域建小型水上项目．已知．当四边形OCDB的面积最大时，BD的长为______千米．（精确到千米）【答案】【解析】设，四边形的面积为，

∵四边形可以分为和两部分，

∴四边形的面积，

令，即解得或，

∵存在唯一的，使得

当时，在单调递增；

当时，在单调递减，

此时从而千米.二、选择题13.B14.C15.D16.D三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1），平均数为（2）有关（3）分布列如下，

20.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知椭圆的左、右顶点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点．（1）若，的离心率为，求的值；（2）若，为等腰三角形且在第一象限，求的面积；（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）已知椭圆的方程为，则已知，则，可得.又因为，即，移项可得，

因为，所以

（2）当时，椭圆的方程为，则，

因为为等腰三角形且点在第一象限，，所以，则

设点，因为，根据两点间距离公式，可得，即

又因为点在椭圆上，所以.

将代入中，得到，解得或当时，，此时点与重合，不符合题意，舍去.

当时，，因为，所以.所以点.所以的面积为；

（3）设直线的方程为，，

联立，消去并整理得

此时，解得，

由韦达定理得，

因为与关于原点对称，所以，

又，所以，），

因为，所以，因为，

所以，

整理得，因为，所以，即，

因为，所以，解得，又，所以．

则的取值范围为．21.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分设函数的极小值点组成集合．（1）若，求集合；（2）若，，求实数的取值范围；（3）若定义域为的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，令，解得.

当时，单调递减；当时，单调递增.所以是的极小值点，.

（2）.令，解得或.

因为，所以在处取得极小值.

当时，单调递增，无极值点，不符合题意.

当时，，在时，，单调递减；在时，）单调递增，符合题意.当时，，在时，单调递减；在时，单调递增，是极大值点，不符合题意.

当时，，在时，单调递增；

在时，单调递