考研数学（数学一）模拟试卷316

考研数学(数学一)模拟试卷316

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、非齐次线性方程组Ax二b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩

为r,则

A^r=m时,方程组Ax=b有解.

B、r=n时，方程组Ax二b有唯一解.

C、m=n时，方程组Ax二b有唯一解.

D、r

标准答案：A

知识点解析:因为A是mxn矩阵,若秩r(A)=m,则m=r(A)Wr(A,b)<m.于是

r(A)=r(A,b).故方程组有解，即应选(A).或，由r(a尸m,知A的行向量组线性

无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A,b)的m个行向量也是线性无关

的.亦知r(A)=r(A,b).关于(B)、(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出

r(A,b)=n(注意A是mxn矩阵，m可能大于n),由r(A)=r亦不能推导出r(A,

b)=r,你能否各举一个简单的例子？至于(C),由克莱姆法则，r(A)=n时才有唯一

解，而现在的条件是r(z)=r,因此(C)不正确.本题答对的同学仅40%,一是由

r(A)=m不会分析出r(A,b)=m,一是由r(A)=n误认为必有r(A)=n.

2、设向量a=ai，ai，...,as(s>l),而仇=a-ai，|h=a-a2，…，ps=a-as»则().

A、r(aj,a2，...,as)=r(pi,彷，…，Ps)

B、r(ana2»...,as)>r(pi,次，…，ps)

C、r(ci|»Ct2ras)〈r(Pi，P2，Ps)

D、不能确定两者之间的大小关系

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

5]

设5=%，=b2,/=,%=4,则三个平面

-Qj」fcj-

axx+61y+cxz+dx=0,

a2x+b2y+c2i+dt=0,

a)x+b3y+CjZ+d,=0

两两相交成三条平行直线的充分必要条件是

♦•••

(A)秩武..。))=]，秩r(.a2a3a4)=2•

(B)秩=2,秩r(.a2a3a,)=3.

(C)a,.a:，.中任两个向量均线性无关,且a4不能由%,%,由线性表出.

(D)a,,a2,a,中任两个向量均线性无关，且a«»可由6、小、。、线性表出.

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

a/+b、y+c.z+4=0,

azbyczd=0,必无解.

{2+2+2+2

a3x+b3y+c3z+</,=0

因此r(%,%，。3)★r(%g，%外)，可排除(D).

而=I,说明三个平面的法向St共线，因此这三个平面必平行或重合，可排

除(A).

当三个平面两两相交成三条平行宜线时，这三个平面的法向址是共面且互不平行的.

巴儿6

即(5，d冯)，(。2也，C2),(QJ,5,J)共面且互不平行.因此。2&C=。且任两行

%&Cy

不成比例.从而秩=2.但当=2时，不能保证任意两个平面不平

行，故(B)是必要条件.

由排除法可知，应选(C).

4、

设g(x)可导，且“f0时，&(z)是x的高阶无穷小，则当x-0时，必有().

(A)/(x)是无穷小量

(B)J；gU)山是二的高阶无穷小

(C)六是无穷大量

(D)若G'Q)=屋/，则GG)是7的高阶无穷小

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

[g(D出,x

由洛必达法则limJ—=1而弊=0.选(B).

10Xx-04X

注(A〉、(C)不正琉可令g(z)="2.j显然是比z高阶的无穷小.但N-o时，

g'(z)无极限，且g(z)有无限个本点，*/g(i)无意义.(D)不成立是明显的.

5、

设二维随机变毋(X,Y)服从二维正态分布N(0,-1;1,4；0),则下列结论中不正确的是

(A)X与Y相互独立.

(B)aX+6Y服从正态分布.

(C)P\X-Y<1|=~

(D)PU+r<i|=.[]

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

【分析】本题考查二维正态分布和正态分布的性质，注意要求找出不正确的选项.

【详解】由题设知=0,根据(X,Y)服从正态分布，有X与Y相互独立;利用二维正态分布的性质

知,aX+bY仍服从正态分布;而E(X-Y)=1,E(X+Y)=-1,根据正态分布的性质，在

其数学期望左右两侧取值的概率为可见(D)项结论不正确，故应选(D).

、评注】设(X：)服从二维正态分布M出3卬；,房泸)，则具有以下常用性质：

①X与Y相互独立的充要条件是p=0；

②X~N(M,鬲)，丫~M也，0；),COV(*,y)=/MTjiTzl

^)aX+6丫~N(afjk[+,Mo：++2abp(rl(r3).

若/（X）在点石的某邻域内有连续的三阶导数，且ru>==o，ru）<。，则

<A）函数/（X）在点X=〃）处取得极小值.

<B）函数/（x）在点工="。处取得极大值.

（C）Or。JQ。））是曲线y=/（公的拐点.

（D）（工0，/（工0））不是曲线3=/（了）的拐点.

[]

A、

B、

C,

D、

标准答案：C

知识点解析：

分析:由题设,八刃在点温的某邻域内,Gr）VO,从而在该邻域内，Cr）单两递减.又知

0,因此在该邻域内，当工<6时/⑴>0,曲线是凹的；当工〉工。时，，（幻V0.曲线是凸的，故

Cto.7•（&））是拐点.HP（C）对.

（A）与（B）都错.事实上，当1Vzo时•由/'G）>0,知，（外单调递增；同理,当z>z。时/Cr）单

调递减，而/（工。）=0,故在该邻域内./（工）（0,仅当]=工。时取等号,从而f（z）在该邻域内单调递减,因

此，入不是人力的极值点.

7、

设A是秩为3的4阶矩阵,外,,,.是非齐次线性方程组=b的三个解，若%+2,=

（0,-6,-3,6）,.-26=（1,3,3,-为任意常数，则方程组Ax=b的通解x=

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】本题考查方程组解的性质与解的结构.由于n-r(4)=4-3=1,通解形式为

a+柯，其中。是Ax=b的解.可是导出组Ax=0的基础解系.

由于4(%+2%)=3b,知/(%+2%)是特解，又2%-%=.♦(.-.)是方程

组=b的解，知(A)、(C)之特解正确.

由于.+2a?+3(a,-2a,)=(a(-a,)+5(.-«j)=(3,3,6,3),是Ax=0的

解，故(1,1,2,1),是Ax=0的基础解系.故应选(C).

评注本题考查方程组解的性质与解的结构，委会找方程组的特解，会找齐次方程组

的解(皋融解系).

8、

设随机变量X,丫独立同分布，且X的分布函数为尸(%),则Z=maxJX.ri的分布函数为

(A)尸(*).(B)F(x)F(y).

(C)1-[1-F(x)]2.(D)[1-F(x)][l-F(y)].

[

A、

B、

C>

D、

标准答案：A

知识点解析：

【分析】设Z的分布函数为&(动•则

Fz(x)-P\Zx\=P\max(X,y)<x\=P|Xw%,yw%].

由于x与y独立同分布,于是花

2

Fz(x)=W*|P|yW3=F(X).

应选(A).

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

0-

0

T」，B二MAP,其中P为3阶可逆矩阵，则B?004-

,300-

030

标准答案：Loo-J

知识点解析：B"巩2A%"A2004P-2A2=P-1EP-2A2.

10、设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数

为.

标准答案：0.9

知识点解析：暂无解析

11、

+焉+…+----)=.

ls4Ze9ri-3M-2

标准答案：1/3

知识点解析：

由JL+-L+…q--------5____

4289n2-3〃-2

-g(l-4+---3+•••+.1.-z-7FT)=J(1.”[[)

3447in-23〃+133〃+1

即可得所求答案.

12、若随机变量Xi，X2，…，Xn相互独立同分布于N(|1,22),则根据切比雪夫不

等式得PHX一以IN2Iw.

标准答案：|阮

知识点解析：因为X1，X2,…，Xn相互独立同分布于N(11,22),所以X~N(v，

。2/、U而P""一〃"?।W—$—=

2/n),从而「2n

13、(2010年试题，11)已知曲线L的方程为y=l—IxI(—1WXW1),起点为(一

.f町&+xadv

1,0),终点(1,0),4=.

标准答案：根据Li：y=l+x,xe[—1,0]；L2：y=l—x,xW[0,1]及L的方程可

jxydx+x2dy=|xydx+x2dy+|xydx♦x2dy

=JJ(1+4)dx+—d(]♦#)+卜(1-x)dx+x2d(1-x)

=j(#+2x')(U+j(s-2/)ck

=信普)[+信-竽)卜》。

知，L=Li+Lz，故

解析二被积表达式可分成2xy+x2和一xy两部分，前者可求原函数，后者可转代定

(xydz+x2dy=^2xydx♦x2dy-J^xydx

=(d(/y)-],(1-|x|)ck

/2\|(1阳=0n

积分求解.=(3皿)

知识点解析：暂无解析

14、(2008年试题，二)微分方程xy'+y=0满足条件y(l)=l的解是

y=-------------

标准答案：将微分方程zy+y=0积分得InIyI=—InIxI+C,利用题设条件得

»二由.又因为y(l)=l,所以‘;二解析二仔细观察会发现原微分方程可写成

2

(xy)=0,则有xy=C.又y(l)=l,则得C=1.故而得片，

知识点解析：暂无解析

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

15、

设八外连续.且脚空=一2,求四却0a+/»)_/«_

外]市.

标准答案：

解由lim^^=—2知/(0)=0,/(0)=-2

A04,

又J/(f+h)dt=|f(u)duT『Q-A)d/=J/<u)du

lin1■［；*+=«二-=hm1"…)

故

=lim—hm.二驾=2HO)+2/(0)=-8.

A-ChAiII

知识点解析：暂无解析

X|♦。|町♦。餐=a；,

«i♦。产2+其盯=&，

设线性方程组

*1♦。3盯♦Q.1=a；.

16、匕+。■《=。：，(1)证明：若a】，a2,a3,加两两不相

等,则此线性方程组无解;(D)设ai=a3=k,a2=a4=-k(k#)),且已知仇，也是该方

"_1]1'

Pi=IM=1

程组的两个解，其中,写出此方程组的通解.

标准答案：

1Qia?:a?

j2•3

(1)增广矩阵X的行列式Kl=：,=n(q-%)・

asa3：a3•<•</«4

la,。：：a：

由5,%,03.(14两两不相等，知；A|0,从而矩阵4的秩八4)=4,

但系数矩阵4的秩r(4)W3,故r(4)^r(4),因此方程组无解.

(11)当5=Qy=k,a2=a4=-k(kK0)时,方程组为■

fx.+kx2t+A、1=A'一.［k

即।2,，因为।：“2A.0,

2

lx|-kx2♦AXJ=一P1-k

故"A)=r(4>=2,从而方程组有解,且对应的导出方程组的基础解系应含有3・2=

1个解向依，因为四，优是原齐次方程组的两个斜，故f=匹-⑶=I-1

-1」1

-2'

o是对应齐次线件方程组的解.且g#0.故$是导出方程组的基础解系.

-2-

,-112•

于是原齐次线性方程组的通解为x=⑶♦"=I♦，0(c为任意常数).

,1L.2。

知识点解析：暂无解析

17、设函数f(x)在［0,十⑼上连续、单调不减且f(0)X),试证函数

设函数/(“)在［0,+9)上连续、单调不减且/(0)N0,试证函数

■、户「的)出,x>0,

F(x)=xJo

0.xz0

在［0,+8)上连续且单调不减(其中n>0).在［0,

loo)上连续R单调不减(其中n>0).

标准答案：由题设知f(x)在［0,+8)上连续、单调不减且f(0)K),此外F(0)=0,

rr/(o<k

而当父>0时，limF(x)=lim-.............=limx"/(x)=0,

所以F(0)=limF(x)=0,即有F(x)在［0,♦ao)上连续;.

・«♦

x^x)-X-市x*7(x)-

当”>0时，尸(4)---------------j--------------=：-------------

X------------X

由积分中值定理知,存在一点f6(0,X),使得('»(«)市=£/U),

因此尸(X)=口中蚀=灯①

Xz

由前述知/(f)Wf(x),则广⑴N0,因此F(x)在(0,+8)上单调不减.

综上，F(x)在10,+ao)上连续且单调不减.

知识点解析：暂无解析

18、

求球面/+/+/=春与椭球面35+。・+J=宇的交线上对应于*=1的点处的切线方程.

标准答案：

|［一点点酎)本・寿寮的知识点是：空间•线在某点处的切贰才融的未鼎

［解］设切点为P(l,y,z).其中九*满足方硝

・春—，1

<,,X出y=I.

l(r-D2+/=>3.

故切点有两个6(】，!1)・匕(1・/・-I).

记/«,川)»X2♦/*x}--1-.=3*1♦(y-l):♦?-y-,

曲面工(O，y.z)=0及人(工，,1)=0在点(-九1)的法向量分别为1,［.交线=0在切点

楂(%”)=。

P,(i=।,2)处的切纹的方向向量为则7II(7x扇)|匕1-1.2

r一E.7T

一T

。Z

蛆M

-2X

世

.”

6X中

laMx力

蚣2(

-T

4h1

〃

高c

与3(OS

2£

寸-

K7

丫-(Xr)

7-1-

-2y)Th/-

1

T

故所求切线有两条,其方程分别为十12

知识点解析：暂无解析

设/(x)具有二阶连续导数.R/(0)=0/(0)=1.乂设曲线枳分

j[xe2x-6/(x)Jsinyd.r-L5/(x)-，(x)]cosydy与路径无关,求/(*).

标准答案：

【分析】按照曲线积分与路役无关的充要条件:牛=乎得一微分方程，再解之.

dydx.

【解】由题设•知

(ye2x-6f{x})»iny]=^[-[5f(x)-/(*))cosy].

由此得TG)+%(#)=xe2\(»)

相应齐次方程的通解为Y=C,e2x+(2次

可设方程(*)之特解为y=x(Ax+产•于是行

(r*)*=(2Ax2+2Ax+28x+

(,•)°=(4A/+8/U+4/?x+2/t+4")『二

代入(*),比较系数得八=-y,«=-1.因此

?v

方程(*)之通解为/(x)=>'+)•=G尸+C2e-}(彳+2)」二

再由初值条件40)=0/(0)=1,可得特解

/(.T)=-2V2X+2e"--y-.r(x+2)e2x.

知识点解析：暂无解析

20、

已知函数/(X)在[0,+8)内可容J(0)=1，且，(x)+/(X)-士=0

求/(X).并证明©-*W/C)Wl(x^0).

标准答案：

【分析】由于/(4)出现在被积函数中，因此应考虑求导，以消除积分号.但是

三万(7")出的分母中含力工应考虑先将所给表达式变形，使上述表达式分母中不含％.

【解】①将所给表达式恒等变形，化为

X+l)[/(x)+/(x)]-p-(t)dt=0

(•)

由JVG)可导，(•)式总含r/u)二阶可导的条件.将(*)式两端关于工求导,整理可

得

「⑴+(⑴=。

这是FG)的可分离变故的方程(或认作一阶线性微分方程)，可解得

/(x)=

X+1

由于/(0)=1,(*)式中尚含了条件

r(o)=-i

由此可定出c=-1,因此

/⑴=-771

②当工NO时/(x)=-<0,可知/U)单调减少，从而

¥41

/(X)<〃0)=1

当4NO时，令伊G)=/(x)-e-x,则

D«)'=xex

>0

x+1

可知W*)单调增加•因此

(p(x)N3(。)=0

可得/(x)-e-x^OJ(x)Ne-工

故知名至0时,e-x号八工)W1.

知识点解析：暂无解析

21、

矩形的两边长分别为X\,X〜U(10・20),Y〜U(2O,4O)相互独立.求面积S的分布函数.并

求P(S>400).

标准答案:

（Ml面积s=XY,因此本期是求函数的分布问题，需要先求出（x,y）的联合分布,在这个

基础上再求s-XY的分布函数.

910&N&20

X-17(10,20)/x(x)

0,其他

1204ya40

Y〜U(2O,4O)MW20

0其他

相互独立，所以（X,Y）的联合密度为

10<X<20.204_y《40

200

0其他

面积S的取值范围为

200<x<800,

分布函数为

s4200时Fs(s)0

52800时Fs(s)1

在20