考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷27

考研数学一(概率与数理统计)模拟试

卷27

一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

1、於A?IB是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是()

A、彳与万不相容.

B、彳与“相容.

C、P(AB)=P(A)P(B).

D、P(A—B)=P(A).

标准答案：D

知识点解析：因为AB二0,所以A—B=A—AB=A—0=A,从而P(A—

R)=P(A),故选项D正确-对于些项A、用反例排险二如取O={1,2,3},

A={i),B=(2),则48=0.但彳=|2,3|1=彳互=131，0故选项A不

正确；如果悠A={IJB={2L3),显然——

AV=0,但彳=8,0=A,故彳方=0,即彳与万不相容，故选项B也不正确,对于

选项C,由于48=0,所以P(AB)=0,但由题设可知，P(A)P(B)>0,因此选项C

也不正确.

2、设A,B是任意两个随机事件，则Pl("UB)G4U')G4U8)(4U8"=()

A、0.

1

B、亍

1

C、力

D、i.

标准答案：A

知识点解析：__

由事件运算法则的分配律知(4=(AC彳)U8=0UH二心

同理(4U*)(彳U万)=瓦

所以(4U8)(彳Uh)(AUB)(AUB)=8万=0,

于是P|(4U5)(4UB)(AUH)(4Ui)l=P|0|=0.

故选A.

3、袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个.甲、乙两人依次从袋中各取一球，

记人="甲取到白球"，B=”乙取到白球”.①若取后放回，此时记p产P(A),

P2=P(B)；②若取后不放回，此时记P3=P(A),P4=P(B).则()

A、P1¥P2#P3rp4・

B、P1=P2和3加4.

C>PIP2=P3^P4.

D、P1=P2=P3=P4.

标准答案：D

知识点解析•：依据取球方式知P・P2=P3，乂因为“抽签结果与先后顺序尢关”，得

P3=P4,所以正确答案是选项D.

4、设随机变量X服从正态分布NQi,42),Y〜N(p,52)；记pi=P{X印一4},

P2=P{Y印+5},则()

A、pi=p2.

B、P1>P2.

c、P1<P2.

D、因pi未知，无法比较pi与P2的大小.

标准答案：A

知识点解析：

pi=P|XW〃-4|==G(-1)=I-0(1)t

=P|r>5|=i-Pir<5|=i2件父=i-o(i).』侑汨左”

P2M+M+v5/计算得知

pi=P2»故选项A正确.

5、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则下列服从

相应区间或区域.上均匀分布的是()

A、X2.

B、X—Y.

C、X+Y.

D、(X,Y).

标准答案：D

知识点解析：根据由X,Y的独立性可知，(X,Y)的联合密度

〃、P，0<“<1,0<y<1,

10•其他・因此(X,Y)服从区域口={炽，y)|0<x<l,0

VyVI}上的二维均匀分布，故选项D正确.

--101

~_L±L'

6、设随机变量42了」(i=l,2)且满足P{X]X2=O}=1,则P{Xi=X2)等

于()

A、0.

1

B、4

1

C、2

D^1.

标准答案：A

知识点解析:由P{XiX2=0}=l得知,P{XiX2#)}=0.于是根据Xi，X2的分布律,

有P{X1=-1,X2=-1)=0,P{X1=-1,X2=l}=0.P{X1=1,X2=-l}=0,

P{X|=1,X2=l}=0.再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X|,

X2)的联合分布律如下

-101刊，=yj

11

-10

T0T

111

00

TT~2

11

100

4~T

!11

W1

424

表.由上表显然可

见，X]=X2有三种1胄况，每种情况的概率均为0,因UtP{X1=X2)=O,故选项A正

确.

7、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X—2Y

的方差是()

A、8.

B、15.

C、28.

D、44.

标准答案：D

知识点解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题.可根据方差的运算

性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C2D(X)以及相互犯立随机变量的方差性质

D(X土Y户D(X)+D(Y)自行推演.所以选项D正确.

8、设随机变量X],X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且

(A)P>0，根据切比雪夫不等式直接可得()

wp{^iX、-n

⑹叩力<£，21---2-

Jne'

(D)P{]:»<£)注1--y

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

由题意知£(X,)=0,i=1.2,…，儿记G=Ljx,则£(»=0,。(亍)=L粮据切比雪

n.»|n

夫不等式，有川<

}=P||X-£(X)|<e[31-=!._L

故选C.

9、设总体X服从正态分布N(0,o2),X,S2分别为容量是n的样本的均值和方

差，则可以作出服从自由度为n—1的t分布的随机变量是()

(A)冬

(B)缥

(C)”.

(D)引

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：

根据题设知区~M0")K=:£尤~~S)，5)64(n

而

1),其与6独立.所以1—0

W1'RJX的简单随机样本，记E(X)寸，D(X)=o2,

F卒9…，

,D(S)>0,则()

A、S是。的无偏估计.

B、S2是招的无偏估计.

C、〒是『的无偏估计.

1yx2

D、。-1台'’是口*2)的无偏估计.

标准答案：B

知识点解析：根据排除法逐项分析，可知

0(S)=E(S2)-炉(S)>0=>E2(S)#£(S2)=</=£(s)#

E(X2)=D(X).£(亍)=+/

n

q占£土占£以冷=占・〃(。")

r(a2+/)=-\E(X2)/E(X2).

1n-1

所以可知B正确.

二、填空题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

11、10个同规格的零件中混入3个次品，现在进行逐个检查，则查完5个零件时

正好查出3个次品的概率为.

标准答案：20

知识点解析：记人=”查完5个零件正好查出3个次品”，现要求的是P(A)的值.事

实上，事件A由两个事件合成：B="前4次检查，查出2个次品”和C="第5次检

查，查出的零件为次品”,EPA=BC,由乘法公式P(A)=P(BC尸P(B)P(C|B),事件B

尸⑻=噌"=春

是前4次检查中有2个正品2个次品所组合，所以%。IU已知事件

B发生的条件下，也就是已检查了2正2次，剩下6个零件，其中5正1次，再要

抽检一个恰是次品的概率"，⑻".故。⑷

1

12、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于了的概率为

2

标准答案：4

知识点解析：这是一个几何概型，设x,y为所取的两个数，则样本空间C={(x,

［、=l(*y)l(x，y)wc.l-”.

y)|O<x,yVl},记A2,所以

3.

尸(4)_-±-A

s«14其中SA，Sc分别表示A与。的面积.

y=x—

13、设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量2的概率密

度函数fY(y)=.

2e，z,y>--t

标准答案：2

知识点解析：

X~£(2).所以其概率密度函数为人(幻=fe''>0，

I0,zCO.

令丫=•，所以

2

Fr(y)=P(Vwy)=P(X~；Wy)=P(XWy+；)=[/,(x)dx=FJy+y),

pe-2-1,y>-y;

所以启y)=F；(y)=%(y+芸=A(r*f)=

Io，

14、设随机变量X服从参数为九的指数分布，则PM〉应行1=----------------

1

标准答案：丁

由即设，可知。(X)=%,于是

A

P\X>yPCSTl=P">「Ae”dx

人与

二-e…"=±.

知识点解析：-C+e・

15、假设随机变量X服从参数为入的指数分布，Y=|X|,则(X,Y)的联合分布函数

F(x,y)=.

0,4这0或n这0,

F（4,y）一,0<xwy,

e-A,,0<yx.

标准答案：

x>0,

知识点解析：根据题意X的概率密度函数为-r所以P{X>

0)=1,则F(x,y)=P{X<x,|X|<y}=P{X<x,X<y,X>0

t0,xWO或yWO,

=0<xCy,

"[0<XCyl,0<yCX,

0,zW0或yW0,

1-et0<4Wy,

1-e0<yCz.

1

16、设平面区域D由曲线,4及直线y=0,x=l,x=e2所围成，二维随机变量

（X,丫）在区域Djjj艮从均匀分布，则（X,丫）关于X的边缘概率密度在x=2处的值

为.

1

标准答案：7

S=fdxfdy-|工也-2

知识点解析：区域D的面积为°7"Ax-'因此（X,Y）的联合概

〃1怯‘（”）£。，

f（x.y）=2

率密度是.，其他•且其关于x的边缘概率密度为

（⑴=Q⑴d「1'=五，IWXWJ,

'I0,其他

因此可知"（2）="

17、已知随机变量X],X2，…，Xn相互独立，且都服从标准正态分布，Yi=Xi，

Y"U犷则丫…服从

分布，参数为.

心）

标准答案：正态;

知识点解析:

匕-丫2=X-％+X、=-X,--+工工乂,所以匕-均为相互独立正

n^7iHn口6

•02

态变量和，且服从正态分布.

又(匕_匕)。(匕)51♦中二初二」，

E=0,_4=Sn/Z+n或nn

故匕_%~,

N(0,*)

18、相互独立的随机变量X]和X2均服从正态分布2,则D(|Xi—

X2|)=.

标准答案：

知识点解析：根据题意，随机变量X],和X2相互独立，且服从正态分布了)

夕(工)=

设Z=X1—X2，则Z〜N(0,1),其概率密度函数为

£(IZ|)=/.IzIq(z)dz

=[二|z|-^zze^dz=2,e-亨&

=尉"<«(务©

所以,。(lx-El)=i+o-2=i-2.

IT1T

19、已知随机变量X的概率密度为2'—8VxV+8,则D(x2)=

标准答案：20

知识点解析：由于D(X?)=E(X4)一

E(X2)=J**x7(x)dx=2px2・ye^dx=[Qe"ck=2!.

J；外岫=2f/(x4e-,dx=4!,

EW.0所以

D(X2)=41一(21)2=24^4=20.

20、设X],X2，…，Xn是来自正态总体NQi,。2)的简单随机样本(佗2),记样本

则统计量Y=-2X)2

均值”1的方差

D(Y)=_______

标准答案：8(n—*1)o4

知识点解析：构造新的简单随机样本:Xi+Xn+l，X2+Xn+2，…，Xn+X2n»显然

Xi+Xn+i〜N(2山2o2).所以，新的样本均值和新样本方差为

=2元占"=4.

nEn#n-I司n-I

_\\C2(Zl-1)・

因为性质可得——~95-1),根据。(/(〃-1))=2(〃

就一；八(r2^(r二

-1),有

Y

山二乒+呜)=3。⑴=2(n-l),

即0(丫)=8(n-1)(/.

21、设Xi,X2，…，Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，亍和S2分

别为样本均值和样本方差.若亍+kS?为叩2的无偏估计量，则1<=________.

标准答案：一1__

由于MfAS?为np2的无偏估计,所以E(V+kS2)=np2.

则np+knp(I-p)=np2,

即有1+A(1-p)=p,

知识点解析：可得人:一1・

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

22、证明:如果P(A|B)=P(A|万)，则事件A与B是独立的.

标准答案：利用互逆事件概率和为1可证明.如果A与B型独立的，则满足

P(A|B)=P(A).由于B与B是互逆事件，因此满足P(B)+P(万)=1,

P(A|B)=P(A|B)[P(B)+P(B)]=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B).已知P(A|B)=P(A|万)成立，且

由全概率公式可得，P(B)P(A|B)+P(瓦P(A|瓦二P(A),因此P(A|B)=P(A),所以事件

A与B是独立的.

知识点解析：暂无解析

23、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

2

件是相互独立的，并且概率都是5.设x为途中遇到红灯的次数，求随机变量x

的分布律、分布函数和数学期望.

B(32)

标准答案：根据题意，X服从二.项分布1‘51因此X的分布律为

P\X=k\=心・信丁・(1-守。=0,1,23

X0123

27,54368

p125125125125

因此,X的分布函数为

0,x<0,

27人~.

运，°。<L

=P|XW%|1x<2,

晋，2W%<3,

1'”=3.X的数学期

亡曰日做X)=3・春=割

望是55

知识点解析：暂无解析

F(x,y)=，-葭-1,+e-3,>0,

24、设(X,Y)的联合分布函数)jIo，其他，其中

参数>>0,试求X与Y的边缘分布函数.

标准答案：当x>0时，Fx(x)=F>{X<x}=F(x,+oo)=]一ex；当烂0时，Fx(x)=O,

-e'\x>0,

FXM=

所以关于X的边缘分布函数为0,*W0,同理，关于丫的边豫分

1y>0,

My)=

布函数为i0,yW0.

知识点解析：暂无解析

7

Z二X—Y的概率分布；(II)记U]=XY,Vi=求(Ui，V。的概率分布；(HI)记

U2=max(X,Y),V2=min(X,Y),求(U2,V2)的概率分布及U2V2的概率分布.

标准答案：根据矩阵法求解，由题设得

11111

P.7VTVT

(x.n(-1.-1)(-1,1)(0,-1)(0,1)(i.D

z=x-y0-2i一i0

5«XY!-100i

X

v0i

匕8T1-10

(Jt=max(X.y)-1101i

.=max(X.r)-1-1-10i

1-1fl0i

由此即得：（1）z=x-丫的概率分布

z=x-yai-2-101

±,L2.±

P\z=k\6633

（11）（4,匕）的概率分布为

-10!

1

-100

6

1

0

00~2

1

100T

(m)(U2,5)的概率分布

-101

!

-1T00

1

0T00

11i1

666

S匕的概率分布为

UM=k-101

j_JL

PI-%=A|TTT

知识点解析：暂无解析

P(A)=：.P(8lA)=；,P(4|8)=4■•令

43Z

V[1,4发生，发生.

26、设A,B为随机事件，且I。，从不发生；历,8不发生.求:

(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(口正和Y的相关系数pxY.

标准答案:

(I)因为网4幻=P(A)P(B\A)==,P(8)=留%=/，所以

P\X=i.yx1|=P(AB)=1,

P\x=l,r=0|=P(A万)=P(A-)-P(AB)=

o

P\x=O,r=1|=P(AR)=P(B)-P(AB)=吉，

P\X=O,r=0|=P(A包=1_P(A♦B)=1-P(4)-P(«)+P(AB)=系(或尸=0,K

(n)x,y的概率分布分别为

X01Y01

3

P1P51

4466

则£(X)-#⑴="⑴=爪D").^E(XY)=I

所以Cov(X,y)=E(XY)-E(X)-E(Y)=/，从而

_Cov(x,y)_

P"~/D(X)•/D(Y)-15・

知识点解析：暂无解析

27、从正态总体N(3.4,6?)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区

间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？

附:标准正态分布袤中(*)=贤n*山

Z1.281.6451.962.33

0.9000.9500.9750.990

标准答案：

以无表示该样本的均值,则士声~/V(oj)

从而0|1.4<M<5.4]=P|-2<i-3.4<2|xP[|X-3.4|<2\

="{I亍.3.4|布<平卜2外,卜1NO.95.

因此。停卜0.975,由此可得1.96,即nN(1.96x3)2=34.57,所以n至少取35.

知识点解析：暂无解析

28、两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得其电阻(C)如

下：第一批导线：0.143,0.142,0.143,0.137；第二批导线：0.140,

0.142,0.136,0.138,0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布N(阳，

及NQ12,0午其中叱阳及5,。2都是未知参数，求这两批导线电阻的均

值差用一0(假定6=02)及方差比4的置信水平为0.95的置信区间.

标准答案：已知ni=4,皿=5,根据己知可得两个样本的均值和方差分别为局

=0.14125C,SI2=8.25X106Q2；3=0.13920,S22=5.20x106Q2.当oi，

①未知，且假定a=s，置信水平为0.95,则a=0.05,自由度为k=4+5—2=7,

查询t分布表可得仔(幻='。3⑺=Z36’$⑴的观测值S。，为S(产2.55x10^

,%/-+-^(«(7)-0.00404,

3,可以得到7%叼所以均值差内一眼(假定6=。2)的置

信水平为0.95的置信区间为______

，-♦■周三加+叼-2)%-八S■点三由+叼-2))

=(0.14125—0.1392—0.00404,0.14125—0.1392+0.00404)=(-0.002,

0.006)Q.pi,|12，未知时，置信水平为0.95,则a=0.05,自由度为ni—

1=3,02—1=4,查询F分布表得

Ff(n,-1,^-1)=13(3,4)=9.98,

="*(3,4)=般烹用=册，

2

所以空的置信水平为0.95的置信区间为

02

iS：__________________S：)

!0尸式/-1,叼-1)5/”式叫-1皿-1〃

8.25x10、8.25x10

5.20x10-*x9.98\"丫i"1

XZUX1UviTioJ

=(0.159,23.96)0.

知识点解析：暂无解析

29、某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为f(t)=

pe川，：>0,

I°，其他，其中r>0未知，现从这批器件中任取n只在时刻上0时投入独立

寿命试验，试验进行到预定时间To结