第二十一章圆（上）同步练习（含解析）（2024版）

第二十一章圆（上）

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一、单选题

1.如图所示，已知矩形A8CO的边A4=3cm,A£>=4cm若以点A为圆心作04,使8C,。三点中

至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则。A的半径一的取值范围是（）

A.3<r<4B.4<r<5C.3<r<5D.4<r<5

2.如图，已知正五边形A8CDE内接于OO,连接40,则NCDB的度数是（）

A.72°B.54°C.36°D.30°

3.如图，在半径为4的中，半径OC垂直于弦人8,。为上的点，NWC=30°,则AA的长是

B.D.86

4.下列三个命题：

①圆既是轴对称图形，乂是中心对称图形;

②垂直于弦的直径平分这条弦；

③相等圆心角所对的弧相等：

其中是真命题有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

5金.如图，AB是。O的直径，点C是圆上一点，ZBAC=70°,则NOCB为（）

A.70°B.20°C.140°D.35°

6.如图，VABC是00的内接三角形，若N3C4=60。，则N4BO=（）

A

A.30°B.45°C.60°D.120°

7.下列事件中，为必然事件的是（）

A.等腰三角形的三条边都相等；

B.经过任意三点，可以画一个圆；

C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；

D.任意画一个三角形，其内角和为360°.

8.如图，0。是V4AC的外接圆，ZACO=45°,则-3的度数为（）

C

A.30°B.35°C.45°D.60°

9.有卜・列说法：①直径是圆中最长的弦：②等弦所对的圆匿角相等；③圆中90°的角所对的弦是直

径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，O。过点B、C,圆心O在等腰RtAABC的内部，ZBAC=90=,OA=1,BC=8.则的

半径为（）

o

B

A.5B.而C.45/2D.717

11.如图，已知正方形A8CO的边长为6,以点C为圆心，3为半径作圆，尸是。。上的任意一点,

将点P绕点。按逆时针方向旋转90。，得到点Q,连接8Q,则8。的最大值是（）

3,3+3C.3>/2+3D.7.5

12.如图，是△A8C的外接圆,NOC8=40。，则NA的度数等于（）

B.50°C.40°D.30°

二、填空题

13.如图，A8,C是0O上三点，OCLAB.若NAOC=50。，则NB4C=

14.如图，AB是。O的直径，点C、D是圆上两点，且NCDB=27。，则/AOC=。

15.已知：0。的半径是6,AA是0。的弦，且A3的长为66，则弦A4所对的弧的长度为.(结

果保留))

16.如图，在平面直角坐标系中，点A(-6,8),B(-6,0),以A为圆心，4为半径作。4点户

为。A上一动点，M为OP的中点，连接BM,设BM的最大值为m,最小值为“，则m-n的值为_.

三、解答题

18.【问题提出】

(1)如图①，已知在四边形力88中，AD//BC,对角线AC与8。相交于点。，则5八m

S.QD(填或“=.

【问题探究】

(2)如图②，在中，A8=4,AC=3,N8AC=90。，点E、点/分别为5C、4C边上的

两个点，连接4E、EF,过点尸作FQ〃力E,交BC于点。,连接40,若E尸恰好将VA8c分为面

积相等的两部分，求AO的长.

【问题解决】

(3)杨叔叔承包了一块土地欲进行耕种，土地形状如图③所示，其中四边形A8CO的面积为12600平

1Q

方米，AB//CD,AB=160米，6=120米，tan5=—,CO所在圆的半径为65米.已知CO的中

点〃处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在A〃上找一点Q,使/'Q将这块土地的面积分为相

等的两部分，用于耕种两种不司的作物，并沿。。修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计），请在图

中找出点。的位置，并计算灌溉水渠P。的长.（结果保留根号）

图①图②

19.如图，在6x6的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求完成下列作图:

①仅用无刻度直尺：②保留作型痕迹.

图1图2

⑴在图1中请用一把无刻度的尺子，画出线段"N三等分点产，Q.

⑵在图2中以48为直径的半圆上找一点P,画出/P84,使得NP8A=22.5。.

20.如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门P。，当他带球冲到点4时，同伴乙已经冲到点B,

此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑）

21.一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点。为圆心，5m为半径的圆的一部分，M是。。中

弦CD的中点，KW经过圆心。交于点E.若CD=6m,求陵道的岛（ME的长）.

E

O

CMD

22.唐代架轮船是原始形态的轮船.如图，某架轮船的轮子被水面截得的弦A/3长为6m,轮子的吃

水深度C。为1.5m,求该桨轮船的轮子直径.

23.如图，A3是。。的直径，C是。。上一点，连接4c8C,若。是AC的中点，连接O。，BD分

别交AC于点E/，求证：N0=；/A4C.

24.已知，如图，四边形A3c。中，4=90。，AB=5y/3,BC=8,CD=6,4)=5.试判断点A,

B,C,£＞是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理山.

参考答案:

题号12345678910

答案CCBCBACCAA

题号1112

答案AB

1.C

【分析】根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B,G。与0A的位置关系，即可得出半径「的取

值范围.

【详解】解；连接4C,

A,______________,D

R

•・•矩形ABCD中，八5=3,AD=4,

・••BC=AD=4,

•*-AC=ylAB2+BC2=5»

•••以点A为圆心作。A,使8C,。三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，

•••0A的半径，,的取值范围是：3</<5.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理,

及点与圆的位置关系.

2.C

【分析】求出NCOB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题.

【详解】解：如图••,多边形旗CDE是正五边形，

360°

・・・"08=掾=72。，

ZC£)fi=-ZCOB=36°,

2

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理.

3.B

【分析】设A8.0C交于点E,根据垂径定理得出AC=CB，根据圆周角定理及其推理得出

ZBOC=2ZAZ)C=60°,进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得8£,即可求解.

【详解】解：如图，设4及OC交于点E,

•・•半径OC垂直于弦/W,

AAE=EB,AC=CB

*/ZADC=30°

，/BOC=2ZADC=60°,

在中，OB=4,NOBE=30°,

BE=ylOB--OE2=2技

:・AB=2BE=4后,

故选:B.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练运用以上知识是解题的关键.

4.C

【详解】试题分析：：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；

②垂直于弦的直径平分弦，正确；

③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，所以相等的圆心角所对的弧相等，错误.

故真命题是①②.

故选C.

考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.垂径定理；3.命题与定理.

5.B

【分析】由AB是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得NACB=90。，继而求得NB

的度数，然后由OB=OC,即可求得答案.

【详解】解：TAB是。0的直径，

AZACB=90°,

VZBAC=70°,

:.ZB=900-ZBAC=20°,

VOB=OC,

/.ZOCB=ZB=20°,

故选B.

【点睛】本题是对圆中角度转换的考查，熟练掌握圆周角知识是解决本题的关健.

6.A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，先求解4。4=2乙48=12伊，再

利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案.

【详解】解：・・・N8C4=60。，A8=A8，

工ZAOB=2ZACB=\20°,

•：OA=OB,

：.NOAB=NOBA=|x(180°-l20°)=30°,

故选A

7.C

【分析】根据题意并熟知事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，再

逐一分析每个选项即可得到本题答案.

【详解】解：・・•等腰三角形只有两个腰相等，故选项说法错误，即不可能事件，故A选项排除，

•・•经过不在同一直线上三个点可以确定一个圆，故B选项不是必然事件，

;在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧必定相等，故C选项为必然事件，

•・•三角形内角和为180。，故选项说为360。为不可能事件，故D选项排除.

故选：C.

【点睛】本题考查随机事件，等腰三角形性质，圆的性质，圆心角和弧的关系，三角形内角和.

8.C

【分析】本题考查了等边对等角、圆周角定理、三角形内角却.

连接3,根据等边对等角得出/OAC=NOC4=45。，再根据三角形内角和得出NAOC=90°,最后

根据圆周角定理即可得出答案.

【详解】解：连接OA

-OC=OA,ZACO=45°,

ZO4C=ZOC4=45°

/.ZAOC=180°-ZACO-ZO4C=180°-45°-45°=90°

ZB=-AAOC=45°

2

故选C.

9.A

【分析］根据直径的定义对①进行判断：根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关

系对④进行判断.

【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；

90。的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.半圆（或更径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了

圆的认识和圆心角、弧、弦的关系.掌握这些知识点是解题关键.

10.A

【分析】过O作OD_LBC,由垂径定理可知BD=CD=;BC,根据AABC是等腰直角三角形可知

ZABC=45°,故aABD也是等腰直角三角形，BD=AD,再由OA=1可求出OD的长，在RkkOBD中

利用勾股定理即可求出OB的长.

解：过。作OD_LBC,

•「BC是OO的一条弦，日BC=8.

ABD=CD=-BC=4,

2

・・・0D垂直平分BC,又AB=AC,

•••点A在BC的垂直平分线上，即A,O及D三点共线，

「△ABC是等腰直角三角形，

/.ZABC=45°,

AAABD也是等腰直角三角形，

AAD=BD=4,

VOA=1,

.\OD=AD-OA=4-I=3,

在RsOBD中,

OB=+=V32+42=5•

故答案为A.

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的

关键.

11.A

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆外一点到圆上一点的最值.连接AQ,

CP,证明△WQ9Z\CQP（SAS）,得到4Q="=3,进而得到点。在以点A为圆心，3为半径的圆

上，进而得到当&AQ三点共线时，8Q的值最大为8A+AQ,即可得出结果.确定点。的运动轨迹,

是解题的关键.

【详解】解：连接AQ，CP,如图:

•・•四边形A8CO是正方形，

/.ZADC=90°,AD=CD

ZADQ+NCDQ=90。，

根据旋转的性质可得。。=OP,NQQP=90。

.•・NCOP+NCOQ=90。，

ZADQ=ZCDP,

在△ADQ和△CD2中，

AD=CD

44。。="。尸,

DQ=DP

・••AADe^ACDP(SAS),

.・.AQ=CP=3r

・••点。在以点A为圆心，3为半径的圆上，

••・当点。在84的延长线上时，3。取最大值，如图:

・•・8Q的最大值为AQ+AB=3+6=9.

故选A.

12.B

【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理：在等腰三角形0cB中，由己

知NOC8=40。和三角形内角和定理求得顶角NCOB的度数1(X)。，然后由同弧所对的圆周角是圆心角

的度数一半的圆周角定理，求得答案.

【详解】在△0C8中，的半径），

/OBC=/OCB（等边对等角）：

NOCB=40°,NCOB=18（）°-ZOBC-/OCB,

/.ZCOB=100°：

又ZA=1Z.COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），

/.Z4=50°,

故选B.

13.25

【分析】本题考杳垂径定理，圆周角定理，连接BC,圆周角定理得到NA4C=g/AOC=25。，垂径

定理得到AC=3。，得到的C=ZA8C,即可.

【详解】解：连接8C,则：NA8C乙4OC=25。，

*：OC±AB,OC为半径,

•**AC=8C，

・•・ZBAC=ZABC=25°,

故答案为：25.

14.126°

【分析】先利用圆周角定理得到/BOC=54。，然后利用邻补角的定义计算NA0C的度数.

【详解】解：VZBOC=2ZCDB=2x27°=54°,

...ZAOC=1800-ZBOC=180°-54°=126°.

故答案为：126.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

15.4九或8%/8乃或4%

【分析】过也。作交AB于力,C,交。。于点。、E,首先根据垂径定埋可得AC=3/，

AD=BD，再利用三角函数解得4"=60°，ZAOB=I20°,然后利用弧长公式，即可获得答案.

【详解】解：如下图，过点。作OD_LAB,交44于点C,交0。于点。、E,

根据题意，。。的半径是6,AB=6C，

/.OA=6,AC=BC=gAB=3>/3,AD=BD»

・•・在Rt^OAC中，sinZAOC=—=—=—,

OA62

r.ZAOC=60°,

又；AD=BD，

・••ZAOC=ZBOC,

，ZAOB=ZAOC+ZBOC=120°,

120°

**•ADB=_4x2x64=4万,AE8=2x6乃-4乃=8/r•

故答案为：4万或8乃.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、弧长公式等知识，利用垂径定理和

三角函数求出NAO8的值是解题关键.

16.4

【分析】在x轴上取一点石(-12,0),连接PE.由OM=PM,OB=BE,推出因为点

2

P在。A上运动，所以P,A,8共线时，可以取得最大值或最小值，最大值=£产=10+4=14,最小

值£产“-10-4-6,由此即可解决问题.

【详解】解：在x轴上取一点E(—12,0),连接PE.

EBO

•・•点4(-6,8),B(-6,0),

：,OB=RE=6,AE=x/62+82=10,

•：OM=PM,OB=BE,

2

•・•点尸在G)A上运动，

:・P,A,8共线时，可以取得最大值或最小值，最大值=£9=10+4=14,最小值£P"=10-4=6,

〃=3,

故答案为4.

【点睛】本题考杳点与圆的位置关系，三角形中位线定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是

学会用转化的思想思考问题.

17.30。或150°

【分析】如图所示：由VA3c是半径为2cm的圆内接三角形，若4C=2cm,可得出AOBC是

等边三角形，分两种情况①当点A在优弧8c上时，②当点A在劣弧AC上时，即可得出结论.

【详解】解：如图，连接OB,OC,

,：OB=2cm,BC=2cm.

；AOBC是等边三角形,

...-60.

当点A在优弧8C上时，乙4=30,

当点A在劣弧8C上时,记点A为点A,NA=150。,

故答案为：30。或150。.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解

此题的关键.

（）；（）点见解析，PQ=5历

18.(1)2I3Q

【分析】（I）利用平行线间的距离相等，可得VA8C和△03。的BC边上的高相等，则VABC和△O4C

是同底等高的三角形，它们的面积相等，都减去△8OC的面枳后即可得到结论;

（2）由于尸O〃AE,利用（I）的结论可得%F0=S△的，利用已知和面积割补法可得兀师二S,e，

由此得到点。为的中点，即4。为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

即可求得结论;

（3）过点/，作P”_LCO于点〃，延长P”交A8于点在MB上截取=连接CN,则由AM,

MP,PD，A。围成的图形与MN，MP,PC，CN围成的图形面积相等；在八8上取一点。，使APM。

的面积等于△CN8面积的一半即可；过点A作4G_LCD于点G,过点。作CESA8于点E,过点。作

3〃A。于点尸，设的圆心为。，连接OO,利用梯形的面积公式，垂径定理及其推论和解直角

三角形求出相应的线段即可得出结论.

【详解】解：（1）•.♦AO〃4C,

S^AlfC~SAQUC=S&DBC~SdOHC•

一SJOB~Sqo。.

故答案为:

(2)-FD//AE,

S&FAE=S^DAE，

'△DOE•

•.•斯恰好将VA8C分为面枳相等的两部分,

S四功取=S&FEC•

-

5网如仅48EFSa0F=S2Kt亡—S^a)o.

KP^V'^iABKO=Aw边形CFQ/J.

••S四边舷48m4SdODES四边，诊OOF*S&AOF

即S“二SMO

:.BD=CD,

UPAO为斜边BC上的中线.

:.AD=-BC.

2

在「△ABC中，

•.­AB2+AC2=BC\

.".Z?C=V32+42=5.

/.AD=-.

2

（3）过点P作P”_LC。于点H,则P"将弓形面积二等分.

延长P”交A8于点M,在地上截取MN=M4,连接CN,

则由人M,MP,PD，A。围成的图形与MN,MP,PC，CN围成的图形面积相等.

若想将图形的面积二等分，只需在地上取一点。，使Sg，w=；SAm,即可，如图，

J

M

N

0

E

则尸。为所开挖的渠道.

过点A作AG_LCZ＞于点G,过点、C作CE/AB于点E,过点C作C尸〃A。于点尸,

设C。的圆心为0,连接O力，

•.•P是C。的中点，PH1CD,

二•CD的圆心。在线段PM上,

•/OHA.CD,

:.CH=DH=0）（米）.

/.OH=y/OD2-DH-=V652-602=25（米）•

/.PH=OPOH=6525=40（米）.

•.•四边形ABC。的面积为12600平方米，AB//CD,

.（I60+120）XCF

・・-----------------------=12600.

2

：.CE=90（米）.

:.AG=MH=CE=^（米）.

.-.PM=P/7+AW=40+9（）=130:米）.

在RtZ\C£8中，

CE

'：ta»B-,

BE

.18_90

:.BE=85（米）.

•/AB//CD,CF//AD,

1•四边形4尸CO为平行四边形.

.■.AF=CD=\20（米）.

,-.Z?F=AB-AF=160-120=40（米）.

；.EF=BE-BF=85-40=45（米）.

在RUADG和RtACEF中，

AG=CE

AD=CF'

二RlAADG^RtAC£F（HL）.

,-.DG=EF=45（米）.

：.HG=DH-DG=O）-45=\5（米）.

：.AM=MN=GH=\5（米）.

=AB-AW-^=16（）-15-15=13（）（米）.

-X130x90=ixlxl30xA/C.

222

：.MQ=45（米）.

:.AQ=AM+MQ=\5+45=eO（米）.

Q的位置在距离点A60米的地方.

在RIAPMQ中，

PQ=ylm^MQ2=V1302+452=5x/757（米）.

【点睛】本题是一道圆的综合题，t要考查了同底等高的三角形的面积的关系，平行线的性质，平行

四边形的判定与性质，勾股定理，梯形的面积，直角三角形斜边上的中线的性质，利用面法割补法进

行计算是解题的关键.

19.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）取格点E、F、J、K、G,连接£/、JK、NG交MN于点尸、Q,即可得出答案；

（2）连接。丁，交O。于一点P，连接/8,即可得出答案.

【详解】（I）解：取格点£F、人K、G,连接石/、JK、NG交MN于点、P、Q,如图所示：

11111

1111

1111

1111G\

L■—.•・一〒

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L\—N一—一L11F\

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L...y七二工②?、

111

111

111

L\JM\

11111

11111

11111

1_________1______1______1__________1

根据格点特点可知，NG〃EF〃JK,

:.MQPQPN=MK：KF：FG,

*：MK=KF=FG,

J.MQ：PQ：PN=\：\：\,

即点P,点。即为所求作的点.

（2）解：连接0。交0。于一点P,连接尸丛点。即为所求，如图所示:

T\

VAO=AT,ZTAO=90°,

・•・ZAOT=ZA70=-x90°=45°,

2

・•・NABP=-ZA0T=22.5°.

2

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆周角定理，平行分线段成比例定理等知识，解题的关键

是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型.

2（）.甲将球传给乙，让乙射门好

【分析】设AQ交。。于点M,连接PM,则N8=NPMQ,因为NPMQ是△小M的一个外角，由外

角性质得NPMQANA,所以即可分析求得答案.

【详解】解：甲将球传给乙，让乙射门好，理由如下：

如图所示，设4Q交。。于点用，连接尸M,

则N8=NPMQ,因为是△的一个外角，

由外角性质得NPMQ=NA+/APM>ZA,所以N8>NA,

所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好.

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添