素养升级练14 圆锥曲线中的离心率（解析版）

素养升级练14圆锥曲线中的离心率

一、单选题

L⑵21・浙江宁波•高三月考）如图，椭圆「，》3小。）的左，右焦点分别是耳，/正六边形

人5尸2c力片的一边鸟c的中点恰好在椭圆「上，则椭圆「的离心率是（）

人•警B.存!「V14-1D.亨

V**----------------

3

【答案】B

【详解】

设外。的中点为尸，连接0P，尸6,则PO_LCE，/尸。6=30。，/月居P=60。,

因为|0用=。,

所以「周=5。

在尸中，由余弦定理得归用2=忻用2十旧国2-2亩国俨用COS/"行尸

所以附卜冬

因为|尸制+|P闾=2%所以乎c+gc=2〃

4(x/l3-l)>/l3-l

123

故选：B

2.⑵21•全国,高三月考（理））已知椭圆C（+上叱”）的焦距为4,过。上一点尸作圆八），』

的两条切线，切点分别是A,B,若弦长|4用的最大值为半，则C的离心率为（）

B.孝「2V2

AV.---D-7

-53

【答案】I）

【详解】

因为椭圆的焦距为2c=4,可得c=2,

设“XQJ,8（七,乃），?（不，%），

因为直线。4的斜率为

2

因为在点A处的切线方程为：＞一＞|二一；（》一王）即yly+xlx=x；+y\=\,

同理在点8处的切线方程为：y2y+x2x=\,

•W)+X)b=l

因为两切线相交于点P（孙%）,所以，

F/+y2y0=1

因为A（X[,y）,8（马,方）同时满足直线=1的方程,

所以有线/工+义丁=1即为切点弦AA的方程.

此时圆心O到直线AB：与%+%），=1的距离d=『==,

所以弦长|A耳=2"^,因此弦长|4日的最大值为半，d取得最小值为;,

所以J/2+%2最大值为3,

又鬲+）『的几何意义是点p（%,）b）到原点的距离，

因为点尸（毛,儿）到原点的距离最大值为"，所以〃=3,

c2

所以椭圆C的离心率为e=-=7,

a3

故选：I）.

3.（2021•天津二中高三期中）已知椭圆三+£=1（。＞〃＞0）的左右焦点分别为片,,过匕的直线与

椭圆交于儿8两点,若A8J.B号,则椭圆离心率。的取值范围为（）

崎

A.*+8B.

C.，+coD.

【答案】D

【详解】

由题设，知：BFJBF2,若=x,贝1」3鸟=2。一工，

・•・B斤+BF；=x2+（2a-4=£6=4/,整理得/_+2（/一/）=。,

AA=4«2-8(«2-C2)>0,可得/=12工，乂0<e<l,

a~2

•,亭”1.

故选：D

4.（2021•山西长治-高三月考（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥

曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长

为72的矩形A8C。截某圆锥得到帏圆r,且「与矩形A8CO的四边相切，椭圆「的离心率为0.6,若点M,

N为椭圆「长轴的两个端点，P为椭圆上除去长釉端点外的任意一点，则面积的取值范围是（）

A.（0,80）B.（0,80]C.（0,160）D.（0,160]

【答案】B

【详解】

以所在的直线为x轴，以MN的中点为坐标原点O,建立平面直角坐标系，

则椭圆了的方程为5+先=1,

（44+43=72s

。=10

由题意可得卜=£=0.6解得：8=8,所以椭圆z■的方程为二+21=1,

a2/210064

lr+c=aI』

因为点Af,N为椭圆「长轴的两个端点，所以MN=20,

点P到x轴的距离为尸MN的高，则PAW的高力«0,8],

所以，/MN面积为S=；MN.h=10/2e（0,80],

故选：B.

5.（2021•四川成都•高三期中（文））设月，尸2是双曲线=/>0）的左、焦点，在双曲线C

的一条渐近线上存在一点P，使得三角形0耳巴为等腰三角形，且NP鸟匕=120。，则双曲线C的离心率为

（）

A.gB.—C.—D.拉

222

【答案】C

【详解】

因为△PK5为等腰三角形，且NPEK=120。，所以冗尸2=PE=2%其中c>o,

.不妨假设点P在渐近线y上且在第一象限内，过点P作尸囚人工轴，交x轴于点.

由题意NP居N=60。，则用N=c/Z=Gc,可得P（2c,小），

则八•二上？。，所以从=[〃2,

a4

222

所以《2=/+〃=a+^-a=^-a,故双曲线C的离心率e=£=立，

44a2

故选:C

可得直线AF?的方程为：）=，（x-c）,

ba'+c'

y=-^-C)x=------22

X2ca+c"(/一/)

,02可得：，

由，2,即A

ry~~\b(a-i2ac

/『Iy=r

lac

设|A6卜m,=%

可得SWE=；田段.|以|=；.（党用+|A£|+|A周）彳,

乙乙J

b(c2-a2')3(c2-a2)

即'勿=g.(2c+/〃+〃).g，整理可得:

--------=2c+in+n，

lac

即m+〃=——3a-2c,

a

由双曲线的定义可得：m-n=2a,

所以〃=3工c工5

la2

设直线A?2的倾斜角为氏在4加入中，〃sin0="「"）

lac

tan6>=-,sin26>+cos26^=1,所以sin'=/,」，、,

所“〃，卜2/)/)J02+从"C?一片)cc~-c

2acsin0lacblacb2a

所以2£l—3a—c=^^,整理可得：2«2+«C-C2=O,

2a22a

解得：2。=。或〃=一。（舍），

所以双曲线的离心率为e=£=2,

a

故选：B.

8.（2021•吉林•长春H-高高三月考（理））过双曲线//1（〃>0力>0）的右焦点尸作倾斜角为60。

的直线交双曲线右支于A,8两点,若AF=5FB，则双曲线的离心率为（）

A.—B.C.2D.一

53

【答案】D

【详解】

过右焦点F的直线的倾斜角60。、

不妨设直线方程为：x=^-y+c,

联立方程卜冬+c，

[/?2x2-a2y2=a2b2

得+2^//cy+Z/=0,

设A(、,yJ,3(天,必)，F(c,0),

因为4/二5FB，

所以y=-5%,

所以詈-4c2

b2-3a2

所以12/-46二51,因为。2+y,

所以12/-41一/)=5/,所以16/=婚,

所以;=3,所以£=：.

a~9a3

故选：D

二、多选题

9.（2021•辽宁铁岭•二模）设£、尸?分别是双曲线C：——£=1的左右焦点，过工作x轴的垂线与C交

b

于A,B两点,若人为正三角形，则下列结论正确的是（）

A.b=2B.C的焦距是2石

C.C的离心率为6D.4环的面积为4G

【答案】ACD

【详解】

设14Kl=1,则|A£I=2/,|片月|=",离心率选项C正确,

\AF,\-\AF2|

/.e==fb=2,选项A正确,

|耳目=2，1+〃=26,选项B错误，

设AC3%）,将4=6代入得（石⑵,

ABF1的面积为5=；归国-2以=46,选项D正确，

故选:ACD.

10.（2021•福建♦晋江市磁灶中学高三开学考试）已知〃是椭圆G工+丁=1上的动点，。是圆〃：

6

*+1尸+），2=（上的动点，则（）

A.C的焦距为逐B.C的离心率为叵

6

C.圆〃在C的内部D.|々|的最小值为平

【答案】BC

【详解】

由椭圆方程知：。=瓜』£=5故焦距为2c=26，故A错误；C的离心率e=£=叵，故B正确；

a6

由圆〃的方程知：圆心。TO）,半径为（，而向1差且椭圆上x=-l的点到〃的距离为|田=粤邛，

故圆〃在C的内部，故C正确；

设p（〃7,〃），则〃2=|-竺，而|00『=（6+1）2+1=义"/+2〃?+2=?（〃7+?）2+2，又一遍SmjR,可知

66655

[P*=Q，故IPQImJPD『当弋,故D错误.

故选：BC

11.（2021•江苏•扬中市第二高级中学高三开学考试）已知椭圆工+耳=1（0<8<2）的左、右焦点分别为

4b~

R3,过点"的直线/交椭圆于儿3两点，若|八号+忸局的最大值为5,则下列说法正确的是（）

A.椭圆的短轴长为26B.当|4周+忸周最大时，|4周二忸用

C.离心率为3I）.|”|的最小值为3

【答案】ABCD

【详解】

解：由题意知〃=2,所以忸段+|隹|+|明=44=8,

因为|A闾+怛周的最大值为5,所以|相|的最小值为3,故D正确

当且仅当轴时，取得最小值，此时｛一《｝《一。一£|，卜周"忸图’

故B正确:

代入椭圆方程得，土+旦=1,乂c.2=a2—〃2=4—〃2,

44/72

所以土亘+旦=1，8P1--+-^=1,所以工=£,解得：b=J5,

44b244/724b24

所以椭圆的短轴长为26，故A正确；

所以c=l,所以e=£=g,故C正确.

a2

故选；ABCD.

12.（2M・广东中山・模拟预测）双曲线=1的左右焦点分别为6，F”倾斜角为60的直线/

过双曲线。的右焦点K，与双曲线。右支交于A4两点，且则（）

A.双曲线C的离心率为2B.八记鸟与△8耳入内切圆半径比为3:1

C.△川与片5周长之比为4:1D.△加鸟与△脱江!面积之比为5:1

【答案】BD

【详解】

设归耳=工，则%修=5%，

由双曲线的定义可得：|阿=|附+2a=5x+2,雇|=|锢+2=x+2a,

在入4月八中，由余弦定理可得：（5x+%）2=（5x1+（2c）2-2-5x2c-cosl20,

22

即2/+1Oax-2c-5cr=0,所以2a?_2c=5cx-1Oat

在中，由余弦定理可得：（x+2a）2=Y+（2c）2-2*2c8s60,

即2/+2ar-2c2+b=0,所以2/一2c?=-以-2ar，

Z-84

可得55-10以=-以一2以，所以6c=8a,所以离心率6=-=：=：；,故选项A不正确;

。63

S—,AF-,\•h

设点耳到直线/的距离为力，则产=———=5:1,故选项D正确；

、・BFR1.BF2h

47

将c=§a代入2°产-2c2=-以-2g可得；x=—,

774

所以F的周长为C八"；=5x—a+2a+5x—4+2x—a=—a,

2151533

774«4

△防用的周长为C防外=-a+2a+—a+2x-a=-a,

所以△八耳店与居周长之比为看2一=三5=5:3,故选项C不正确;

设△人匹玛与△以述2内切圆半径分别为彳，弓,

△力匕鸟的面积与的面积之比为1------=卓4—

—"C-r>—•—ci-r>

2跖nrF用2215-

所以弓他=3:1,故选项B正确；

故选:BD.

三、填空题

22

13.(2021•浙江省三门中学高三期中)设椭圆三+三=1(〃>>>0)的左、右焦点分别为匕、尸2，尸是椭圆

上一点，|P£|=4|/啊,"/羯=三兀则椭圆离心率的取值范围为

乙)，2

【答案】

【详解】

设耳(-G0),5(G0),由椭圆的定义可得归:+|尸闾=2%

设|P《|=匕则|尸制=力,所以仅+l)f=2a,即(4+1)2?=4/,①

因为4次所以(万+1)/=4/,②

22+1c2

两式相除可得E=

3

令加=2+1c3可得九=〃?一1,

22

rr,,,A+\(/??-1)+1/一26+2_f1Y_1,

所以e-=y^―^=-——;—=----;—=2---2—+1

(A+1)'〃厂”r加

(11丫1

=2-----+—,

Iin2J2

因为3;4机43,所以1:"上1工2；，

23m3

所以当即〃?=2，4=1时，取得最小值;，此时e最小为立，

m222

当_!_=?或苫即〃?=3,4=］时e?取得最大值，，此时e最大为正,

〃？33293

所以椭圆离心率的取值范围为也4x4且,

23

故答案为:

14.（2021•内蒙古宁城•高三月考（文））已知匕，F2分别为椭圆0：2+1=1（〃>/,：>0）的左右焦点，。

为坐标原点，椭圆上存在一点儿使得210Pl=|£闾，设△士公；的面积为S,若S=（归用-|P可丫，则该椭

圆的离心率为.

【答案】—

3

【详解】

由题意210Pl=|耳勾，故耳鸟为直角三角形

又（|P£|-|P闾）2=（附|+|P用）2-4|P£||桃|=，|尸耳|桃|,又用+1尸玛1=2a

又耳鸟为直角三角形,故

UP4«2--=4c2/.c2=—

99

故答案为：逝

3

•>

y~

15.（2021•山西大附中高三月考（理））过双曲线G二-=1（。>0/>0）右焦点尸作直线，，且直线，与

a~F

双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A,直线/与另一条渐近线交于点4.已知。为坐标原点，若的

内切圆的半径为与1,，则双曲线C的离心率为

【答案】记或2或毡

33

【详解】

若儿8在），轴的同侧，不妨设A在第一象限，如图，设.。44的内切圆的圆心为M,则M在乙4OA的平分

线。t上，过M分别作A仆」04于N,MT_LA8于丁，得四边形ML4N为正方形，由焦点到渐

近线的距离为人，得|必|=。，

因为|